Hola, estoy leyendo un artículo en el cual se define en cierto momento de forma recursiva una familia de funciones \( \beta_k: \mathcal{B}_{(1)} \times \mathcal{B}_{(1)} \longrightarrow [0, +\infty[ \) donde \( \mathcal{B}_{(1)} \) es el conjunto de normas en \( c_{00} \) cumpliendo que \( \mu(e_k)=1 \) para cada \( k \in \mathbb{N} \), donde \( \{e_k: k \in \mathbb{N}\} \) es la base canónica de \( c_{00} \).
A este espacio se le dota de la topología inducida por la topología producto en \( \mathbb{R}^{c_{00}} \).
Ahora, la definición de la familia es como sigue, se define \( \beta_1(\mu, \lambda)=0 \) para cada \( \mu, \lambda \in \mathcal{B}_{(1)} \) y
\( \displaystyle \beta_{k+1}(\mu, \lambda)=\sup \left\{ \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda): a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R}, \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1}\right\} \)
siendo \( C_k >0 \) una sucesión de valores reales positivos.
Se establece entonces que los \( \beta_k \) son aplicaciones continuas, y para ello se define
\( U_\delta^{k+1}(\mu)=\left\{ \nu \in \mathcal{B}_{(1)}: \forall x \in \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_{k+1}\} \setminus \{0\}, (1+\delta)^{-1} \leq \dfrac{\nu(x)}{\mu(x)} \leq 1+\delta \right\} \)
y se ve que es un entorno abierto de \( \mu \).
Se procede entonces por inducción y se dice que, suponiendo que \( \beta_1, \cdots, \beta_k \) son continuas, dado \( \varepsilon >0 \), existe cierto \( \delta >0 \) tal que para cada \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) se cumple que
\( \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | < \varepsilon \)
Ahora, dejan los detalles de como obtener esta última afirmación a cargo del lector y no consigo demostrarlo.
Mi idea ha sido la siguiente:
Sean \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) para cierto \( \delta >0 \) por determinar y \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que
\( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)
entonces
\( \displaystyle\left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{\lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{ \sum_{i=1}^k |a_i| (\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda))}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \delta \left( \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) + \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)\right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \leq \)
\( \displaystyle \leq \delta \left( 2 + \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) + \lambda\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \)
Ahora, por la elección de los \( a_1, \cdots, a_k \), y teniendo en cuenta que para \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \) las normas \( \mu \) y \( \lambda \) son equivalentes, el primer sumando en la última línea de lo anterior es de la forma \( \delta C \) donde \( C>0 \) no depende de los \( a_1, \cdots, a_k \) ni de \( \mu', \lambda' \), luego podemos hacerlo tan pequeño como deseemos sin más que tomar un \( \delta \) adecuado. Para el segundo sumando, teniendo también en cuenta que el máximo de los \( |a_i| \) estará acotado por una constante que no depende de los \( a_i \) (de nuevo por equivalencia de normas en \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \), esta vez para la norma infinito), y por la hipótesis de continuidad de los \( \beta_i \), también podremos hacerlo tan pequeño como deseemos.
Me gustaría ver que
\( \displaystyle \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | \leq\sup \left\{ \left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right |\right\} \)
donde el supremo se toma sobre los \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que \( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)
Pues, si esto es cierto, ya tendría demostrada la continuidad por lo anterior, pero no consigo ver si esto es verdad pues tengo ciertos problemas con el \( \beta_{k+1}(\mu', \lambda') \) al no poder tomar los \( a_1, \cdots, a_k \) de modo que sirvan para ambos supremos.
¿Alguna idea de como concluir esta demostración?
O bueno, si fuera incorrecto o alguien conoce otro camino para demostrarlo, también agradecería mucho los comentarios puesto que llevo atascado ya un tiempo con esto :/
Un saludo y muchas gracias por las respuestas.
