En la teoría de la medida es usual definir la norma Bounded-Lipschitz de una medida \( \mu\ \textrm{ en } C_b(\mathbb{R}^n)^\prime \) como
\( \|\mu\|_{BL}=\sup\{\mu(\phi):\|\phi\|_\infty+\|\nabla\phi\|_\infty\leq1\}.
\)
Como caso particular podemos considerar \( \mu_f(\phi)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\phi(x)dx \), donde \( f \) es suficientemente regular.
Me preguntaba si existe alguna relación entre \( \|\mu_f\|_{BL} \) y alguna otra norma común de \( f \). Por ejemplo, no es difícil observar que \( \|\mu_f\|_{BL}\leq\|f\|_{L^1} \). Pero:
1. ¿Puede convertirse en una igualdad?
2. ¿Existen otras desigualdades similares?
