Hola. ¿Cómo puedo probar que las medidas son mutuamente singulares?[
Sea \( r_n \) una sucesión de racionales y \( (w_n) \) una sucesión acotada en \( \Bbb C \). Considere la medida compleja definida sobre la sigma álgebra \( \mathcal B(\Bbb R) \), de los conjuntos de Borel de \( \Bbb R \), como
\( \nu(E)=\displaystyle\sum_{\{k\in \Bbb N,r_k\in E\}}\dfrac{w_k}{2^k},\qquad E\in \mathcal B(\Bbb R) \)
Si \( \lambda \) es la medida de Lebesgue actuando en \( \mathcal B(\Bbb R) \), entonces demuestre que \( \lambda\bot \nu \).
Yo consideré tomar \( A=\left\{r_n\right\} \) y \( B=\mathbb{R}\setminus\left\{r_n\right\} \). Con esto, \( \lambda(\left\{r_n\right\})\leq \lambda(\mathbb{Q})=0 \) pues \( $\mathbb{Q} \) es numerable y
\( \displaystyle \nu(\mathbb{R}\setminus \left\{r_n\right\})=\sum_{\left\{k\in\mathbb{N}:r_k\in E\right\}} \frac{w_k}{2^k}=\sum_{\emptyset} \frac{w_k}{2^k}=0 \)
pero supongo que está mal pues en ningun momento usé que la sucesión \( (w_n) \) es acotada. Sumado al hecho que la suma es sobre un conjunto vació lo cual no tiene mucho sentido...
No recuerdo en que libro está este problema.
