[S.S]

Hola a todos.

Trabajando en Do Carmo, se me pide demostrar lo siguiente:
Sea \( C \) curva regular y sea \( \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow{C}, \beta:J \subset \mathbb{R} \rightarrow{C} \) dos parametrizaciones de \( C \) en un entorno \(  W = \alpha(I) \cap{ \beta(J)} \) de \( p \), entonces \( h = {\alpha}^{-1} \beta : \beta^{-1}(W)\rightarrow{\alpha(W)} \) es un difeomorfismo.

El problema de la prueba reside en la diferenciabilidad de \( h \) y \( h^{-1} \), encontré este argumento pero no sé como precisamente se usa el teorema de la función inversa(Esto porque en las derivadas de las parametrizaciones los dominios y codominios no tienen la misma dimensi ó n y no puedo usar el enunciado  habitual y no conozco un teorema de la función inversa para curvas ¿existe?), el argumento es el siguiente:
Ya que \( \alpha \) y \( \beta \) son diferenciables y la curva es regular, entonces por el teorema de la función inversa \( \alpha^{-1} \) y \( \beta^{-1} \) son diferenciables.


Gracias.
Pdta: En Do Carmo se le pide a la derivada de la parametrización que sea injectiva, pero no sé si esto sea que al  menos una de las "entradas"   de la derivada no se anula para todo punto en el dominio de la parametrización.

[Luis Fuentes]

Hola

Pdta: En Do Carmo se le pide a la derivada de la parametrización que sea injectiva, pero no sé si esto sea que al  menos una de las "entradas"   de la derivada no se anula para todo punto en el dominio de la parametrización.

Que la derivada de la parametrización sea inyectiva quiere decir que la diferencial como aplicación lineal en cada punto es inyectiva; equivalentemente que las derivadas de cada componente en ese punto (y que corresponde a las entradas de la matriz asociada a la aplicación diferencial) no se anulan simultáneamente en tal punto.

Trabajando en Do Carmo, se me pide demostrar lo siguiente:
Sea \( C \) curva regular y sea \( \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow{C}, \beta:J \subset \mathbb{R} \rightarrow{C} \) dos parametrizaciones de \( C \) en un entorno \(  W = \alpha(I) \cap{ \beta(J)} \) de \( p \), entonces \( h = {\alpha}^{-1} \beta : \beta^{-1}(W)\rightarrow{\alpha(W)} \) es un difeomorfismo.

El problema de la prueba reside en la diferenciabilidad de \( h \) y \( h^{-1} \), encontré este argumento pero no sé como precisamente se usa el teorema de la función inversa(Esto porque en las derivadas de las parametrizaciones los dominios y codominios no tienen la misma dimensi ó n y no puedo usar el enunciado en habitual y no conozco un teorema de la función inversa para curvas ¿existe?), el argumento es el siguiente:
Ya que \( \alpha \) y \( \beta \) son diferenciables y la curva es regular, entonces por el teorema de la función inversa \( \alpha^{-1} \) y \( \beta^{-1} \) son diferenciables.

Por ser regular las derivadas de \( \alpha \) y \( \beta \) tienen cada una de ellas alguna componente no nula respectivamente en \( \alpha^{-1}(p) \) y \( \beta^{-1}(p) \). Además por la unicidad de la recta tangente en el punto a la curva tienen que no anularse en una misma componente. Pongamos la primera. Entonces localmente:

\( h=\alpha_1^{-1}\beta_1 \)

donde ahora \( \alpha_1 \) y \( \beta_1 \) que corresponden a la primera componente son simplemente funciones de abiertos de \( \Bbb R \) en abiertos de \( \Bbb R \) y funciona el teorema de la función inversa usual en una variable.

Saludos.

P.D. Para ser sincero hay un mínimo cabo suelto en todo esto que no me deja 100% satisfecho. Pero dejo primero que me des tu visión.

[S.S]

Hola Luis, gracias por la respuesta.
En el enunciado general  del teorema de cambio de parámetros para superficies regulares se plantea una nueva función \( F: U\times {\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) definida por \( F(u,v,t) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t) \), ya que no se sabe que significa que \( x^{-1} \)  sea diferenciable sobre una superficie. Mas adelante en el texto se prueba que \( x^{-1} \)  es diferenciable sobre el subconjunto de la superficie que parametriza, con base a el teorema de cambio de parametros. En principio intentente hacer una prueba similar a la antes mencionada por la misma cuestión, no se que significa que \( \alpha^{-1} \) sea diferenciable sobre una curva, pero no me salio. ¿no es necesario esquivar esta cuestión en esta prueba?

No sé si esto que mencione sea lo  no le deja satisfecho del todo en la prueba, si no fuera el caso le agradezco que me deje su punto de vista que seguro me va ayudar.
Gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, gracias por la respuesta.
En el enunciado general  del teorema de cambio de parámetros para superficies regulares se plantea una nueva función \( F: U\times {\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) definida por \( F(u,v,t) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t) \), ya que no se sabe que significa que \( x^{-1} \)  sea diferenciable sobre una superficie. Mas adelante en el texto se prueba que \( x^{-1} \)  es diferenciable sobre el subconjunto de la superficie que parametriza, con base a el teorema de cambio de parametros. En principio intentente hacer una prueba similar a la antes mencionada por la misma cuestión, no se que significa que \( \alpha^{-1} \) sea diferenciable sobre una curva, pero no me salio. ¿no es necesario esquivar esta cuestión en esta prueba?

Se puede intentar hacer con esa estrategia que apuntas. Si no indicas que has intentado no puedo decirte más al respecto. No obstante para que funcione igualmente está el problema que te comentaré después.

No sé si esto que mencione sea lo  no le deja satisfecho del todo en la prueba, si no fuera el caso le agradezco que me deje su punto de vista que seguro me va ayudar.

Lo que no me queda claro es si has leído mi demostración; si la entiendes; si no la entiendes; que punto no entiendes. No has comentado nada sobre ella. En esencia lo que hago es trabajar sólo con una de las coordenadas de la curva, para que la parametrización sea de \( \Bbb R \) en \( \Bbb R \) y poder así trabajar sin problema son su inversa y la diferenciabilidad de la misma.

Lo que me deja dudas es cuando afirmo:

Además por la unicidad de la recta tangente en el punto a la curva tienen que no anularse en una misma componente.

En un primer momento lo di por obvio; pero realmente si me planteo una justificación de eso sin usar el resultado que queremos probar, creo que se hacerla pero no es inmediata. Me queda la duda si hay algún atajo o otro camino para evitar complicarse.

Este mismo problema aparece si intentas el camino que apuntaste; tienes que justificar que en las dos parametrizaciones la derivada que no se anula en el punto corresponde a la misma componente.

De todas formas me gustaría que en un primer momento obviases este detalle y te centrases en comentarme tus dudas u objecciones sobre la demostración que te propuse.

Saludos.

[S.S]

Hola Luis, gracias por la respuesta.

Para ser sincero con lo que respecta  la prueba primero quisiera salirme un  poco del problema y preguntar cuestiones de orden mas bien teórico que veo no he profundizado. Por ejemplo:

1. ¿Cómo se calcula la inversa de una curva? podría darme un ejemplo particular para ilustrar. La verdad esta uno acostumbrado uno a ver la notación, pero hasta ahora no he realizado un calculo de una inversa de ese estilo.

2. Esta pregunta si es con respecto a la prueba:  Si \( h=\alpha_{1}^{-1}\beta_{1} \), ¿qué paso con las otras componentes, de las curvas?

3. Esta pregunta es más por saber si es valida la idea, me interesa más la otra prueba en discusión y las preguntas que me va generando, ya que en esta también hay detalles como usted lo menciona. Intententando seguir un proceso similar a Do Carmo formulé: Si \( W = \alpha(I)\cap{\beta(J)}  \), sea \( F: I\times \mathbb{R}^2\rightarrow{ \mathbb{R}^3} \) definida por: \( F(t,s,u) = (\alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t) + s, \alpha_{3}(t)+u) \), y sean \( r  \in \beta^{-1}(W)  \) y \( q = h(r), \alpha ^{\prime}(q) \neq 0,  \), sin perdida de generalidad sea  \( \alpha_{1} ^{\prime}(q) \neq 0 \). ¿Da resultado esta función para hacer el mismo proceso del teorema para supericies regulares? Si es el caso tengo otra pregunta ¿ se necesita que \(  q = \alpha^{-1}(p) \)?

pdta: Me fue imposible responder antes. Gracias.