Autor Tema: Conjetura sobre la conjetura de Collatz

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22 Septiembre, 2019, 06:21 pm
Respuesta #10

Luckdevil

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Respuesta al mensaje anterior: Ambos pasan por el 5. Y también el 13*4+1=53 y también 53*4+1 y... Lo expresarse aunque no sea correcto como 3+10*(1,+4,+16,+64,...), es decir 3+10*1, 3+10*5, 3+10*21, 3+10*85... Todos estos pasan por 5, tras multiplicarles por 3, sumarles 1 y dividirlos entre 2(dividirlos entre 2 tantas veces sea necesario hasta que den impar).

Bueno, como no se si tendré tiempo propondré alguna de las ideas muy por encima. (Supongo que no me sigas mucho, cuando estudiaba siempre me decían que me saltaba pasos y recuerdo que tengo las matemáticas algo olvidadas).

Llamaremos f(x) =(x-1)/3
f(16)=5
Desde todos los \( 2^n \) que se pueda (es decir, los que al restarle 1 son divisibles entre 3, es decir, desde 4, 16, 64, 256) sacaremos su valor al revés obteniendo:
1, 5, 21, 85..., estos valores se pueden expresar como 1, 1+4, 1+4+16, 1+4+16+64...
Así que si x es uno de estos números, f(x) =\( 2^n \)

Cojamos ahora el 5 y hagamos algo parecido.
Valores iniciales: 10, 40, 160... todos \( 5*2^n \) que al restarles 1 son divisibles entre 3.
Al restarles 1 y dividirles entre 3 dan:
3, 13, 53..., es decir, 3, 3+10*1, 3+10*5, 3+10*21... donde el 10 es ademas 3*3+1.
Aunque no es correcto lo pondré como
3+10*(1,+4,+16,+64,+..)

Lo del mensaje anterior venía por esto, si vemos los dos primeros valores, 3 y 13, 3*4+1=13, pero este tipo de sucesiones se puede obtener para cualquier número por ejemplo para el 7:
7*3+1=22 así que:
Existe un número tal que, al hacer lo que hacíamos con el 5 obtenemos(en este caso todos pasan por el 11):
7+22*(1,+4,+16,+64...) es decir, 1, 29, 117... veamoslo:
f(11*2) =(11*2-1)/3=7
f(11*8) =29
f(11*32)=117
Es decir, que todos estos valores pasan por el 11.
Si cojemos los dos primeros valores 7 y 29, 7*4+1=29, esto se puede hacer con cualquier número.

Hasta aquí, no explicaré más porque tampoco pretendo demostrarlo y voy directo a una de las ideas (aquí ya si que ademas de ser impreciso también me saltare todos los pasos porque solo es una idea, tengo otras con las que creo que se podría demostrar pero son demasiado complicadas para mi, incluso para explicarlas). Es una idea muy poco desarrollada todavía, así que no creo que se entienda nada:

\begin{bmatrix}{4}&{+1}&{5}\\{16}&{+5}&{21}\\{64}&{+21}&{85}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{2}&{+5}&{7}\\{8}&{+21}&{29}\\{32}&{+85}&{117}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{16}&{+1}&{17}\\{64}&{+5}&{69}\\{256}&{+21}&{277}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{2}&{+1}&{3}\\{8}&{+5}&{13}\\{32}&{+21}&{53}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{8}&{+1}&{9}\\{32}&{+5}&{37}\\{128}&{+21}&{149}\end{bmatrix}

Repito que esta muy poco desarrollada y tampoco explicó lo que pretendo, lo pongo más bien como autorecordatorio por si tengo que dedicarme a otras cosas poder tenerla en cuenta en el futuro. Si tengo tiempo intentaré precisarla mas. (en realidad aún me quedan actualmente 3 o "4" ideas distintas por donde intentar atacar)

Uno de los puntos de vista de esta conjetura es como el de demostrar que entre 2 potencias de 2 siempre se puede obtener un valor en su mitad y que entre esta mitad y una de esas potencias de 2 siempre se puede encontrar una mitad y así hasta que quede un impar, lo que pasa es que en este caso es bastante más complicado. Repito que también me quedan otros 3 o 4 puntos de vista distintos.








23 Septiembre, 2019, 11:17 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Repito que esta muy poco desarrollada y tampoco explicó lo que pretendo, lo pongo más bien como autorecordatorio por si tengo que dedicarme a otras cosas poder tenerla en cuenta en el futuro. Si tengo tiempo intentaré precisarla mas. (en realidad aún me quedan actualmente 3 o "4" ideas distintas por donde intentar atacar)

 Bien; esperaré a que tengas las ideas suficientemente maduras como para expresarlas de manera comprensible.  ;)

Saludos.

21 Octubre, 2021, 07:32 pm
Respuesta #12

Granmurillo

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Me parece que la propiedad a la que se refiere es:

- Para todo \( k ∈ I , f (4 k + 1) = f ( k ) \) . (Porque \( 3 (4 k + 1) + 1 = 12 k + 4 = 4 (3 k + 1) \) .)

Entonces \(  f (4 (3) + 1) = f ( 3 ) \) . (Porque \( 3 (4 (3) + 1) + 1 = 12(3) + 4 = 40/2=20/2=10/2=5  \) y también \(  (3(3)  + 1)=10/2=5  \) .)

Otro ejemplo \( 3 (4 (9) + 1) + 1 = 12(9) + 4 = 112/2=56/2=28/2=14/2=7  \) y también \(  (3(9)  + 1)=28/2=14/2=7  \)

Otras propiedades de la función son:

- En más generalidad: Para todo \( p ≥ 1 \) y \( h \) impar , \( f^{p^{-1}} (2^p h - 1) = 2 × 3^{p^{-1}} h - 1 \) . (Aquí \( f^{p^{-1}} \) es la notación de iteración de función ).

- Para todos los impares \( h \) , \( f (2 h - 1) ≤ \displaystyle\frac{3 h - 1}{2} \)