Autor Tema: Conjetura sobre la conjetura de Collatz

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09 Septiembre, 2019, 12:35 am
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Luckdevil

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Antes de nada decir que me he encontrado otra vez con esta conjetura, ya inicie otro mensaje para intentar resolverlo pero acabo con penosos resultados (Intentaré borrarlo pronto). Tambien decir que estaba escribiendo un mensaje bastante extenso y no se porqué se me ha borrado de repente, así que seré breve:

¿Que pasaría si en lugar de dividir entre 2, seguimos multiplicando por 3 y sumando 2^n, donde n es el número de veces que puede dividirse entre 2 el valor inicial?

Pondré una tabla con 2 filas, donde la primera fila son pares y la segunda representa el número de veces que es posible dividir entre 2 dicho par.

\begin{bmatrix}{2}&{4}&{6}&{8}&{10}&{12}&{14}&{16}&{18}&{20}&{22}&{24}&{26}&{28}&{30}&{32}\\{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{4}&{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{5}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{34}&{36}&{38}&{40}&{42}&{44}&{46}&{48}&{50}&{52}&{54}&{56}&{58}&{60}&{62}&{64}\\{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{4}&{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{6} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{66}&{68}&{70}&{72}&{74}&{76}&{78}&{80}&{82}&{84}&{86}&{88}&{90}&{92}&{94}&{96}\\{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{4}&{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{5}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{98}&{100}&{102}&{104}&{106}&{108}&{110}&{112}&{114}&{116}&{118}&{120}&{122}&{124}&{126}&{128}\\{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{4}&{1}&{2}&{1}&{3}&{1}&{2}&{1}&{7} \end{bmatrix}

En la conjetura de Collatz con el número 7 daría los siguientes resultados:
7, 22, 11, 34, 17...
Aqui, en su representación usaremos el 14:
14, 44, 136...
Como veis también podría haber hecho:
22, 68... (68 es 136 dividido entre 2)

Pues bien aquí va la pregunta:
Si cojemos un número que sea divisible entre 2 una sola vez (los que vienen representados con un 1 debajo de ellos), lo multiplicamos por 3, sumamos 2 y dividimos el resultado entre 2, ¿el número que está abajo un puesto a la derecha, será igual al que estaba antes menos 1 cuando estos eran valores más altos que 2, es decir, acabarán en posiciones en las que a su derecha abajo tengan un 2? Es un poco lío, haré un ejemplo:
Cojo el 46 (al lado tiene al 48 con un 4),
multiplicó por 3, más 2 y entre 2,
obtengo 70 (al lado tiene al 72 con un 3),
repito procedimiento,
obtengo 106 (al lado tiene al 108 con un 2)

Bueno, hasta aquí, gracias por leer, se me ha complicado un poco la pregunta.
Otro día intentaremos meternos con estos unos que tienen un 2 a su derecha, lo intentaremos viendo que posición toman con respecto a los intervalos entre 2^n y 2^(n+1) ¿podremos seguirles la pista?, ¿quedará resuelta la conjetura algún día? Yo creo que si, es cuestión de ponerse con un poco de tiempo. Gracias por leer.


09 Septiembre, 2019, 10:58 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Antes de nada decir que me he encontrado otra vez con esta conjetura, ya inicie otro mensaje para intentar resolverlo pero acabo con penosos resultados (Intentaré borrarlo pronto).

No tienes porque borrar nada. Todo el mundo comete errores o hace intentos fallidos. Lo interesante es aprender de ellos con espíritu crítico y autocrítico.

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Tambien decir que estaba escribiendo un mensaje bastante extenso y no se porqué se me ha borrado de repente,


Si uno está escribiendo algo largo es buena costumbre de vez en cuando hacer un "Ctl-C" de todo, o incluso escribirlo primero en un editor de textos sencillo.

Citar
Pues bien aquí va la pregunta:
Si cojemos un número que sea divisible entre 2 una sola vez (los que vienen representados con un 1 debajo de ellos), lo multiplicamos por 3, sumamos 2 y dividimos el resultado entre 2, ¿el número que está abajo un puesto a la derecha, será igual al que estaba antes menos 1 cuando estos eran valores más altos que 2, es decir, acabarán en posiciones en las que a su derecha abajo tengan un 2? Es un poco lío, haré un ejemplo:
Cojo el 46 (al lado tiene al 48 con un 4),
multiplicó por 3, más 2 y entre 2,
obtengo 70 (al lado tiene al 72 con un 3),
repito procedimiento,
obtengo 106 (al lado tiene al 108 con un 2)

Si, eso es cierto.

Sea \( n \) un número par tal que \( n+2=2^k\cdot q \), con \( q \) impar  y \( k\geq 2 \).

Entonces al aplicar la operación que dices se obtiene:

\( n'=\dfrac{3\cdot n+2}{2}=\dfrac{3(2^kq-2)+2}{2}=2^{k-1}(3q)-2 \)

y por tanto \( n'+2=2^{k-1}3q \), es decir, el exponente de "ese número de la derecha" pasó de \( k \) a \( k-1 \).

Saludos.

10 Septiembre, 2019, 08:15 pm
Respuesta #2

Luckdevil

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Dada a la rápida respuesta, y a mi baja capacidad matemática actual (no me dedico a esto y estoy un poco oxidado ;D), voy a intentar seguir planteando preguntas.

Dado un número que está en un intervalo entre 2 potencias de 2 consecutivas, ¿se puede demostrar que al multiplicarlo por 3 y sumarle 2^n (donde n es el número de veces que esté número es divisible entre 2), el resultado estará entre la mitad del intervalo siguiente y la mitad del intervalo que va después del siguiente?

Y además, como ahora será un número que al menos sea divisible entre 4, ¿podemos dividir entre 2 los que están en el intervalo de después del siguiente (y solo estos, y pasarlos al intervalo anterior) y decir así que cada número de un intervalo tiene un valor por el que pasa que está justo en el intervalo siguiente?, es decir, si cojo un valor entre 16 y 32, irá a un valor entre 48 y 96, y de estos a su vez al ser divisibles al menos entre 4, cojer los que están entre 64 y 96 y pasarlos a entre 32 y 48 (teniendo cada número entre 16 y 32, una representación entre 32 y 64)

Postdata:
He intentado acotar de algunas formas basándome en intervalos o en mitades y mitades de intervalos, pasan cosas curiosas pero aún estoy intentando ver el porqué (en algunas acotaciones, acotando superior e inferiormente, solo me salta la cota superior cuando va al cuadrado, y aunque no me he fijado mucho en la inferior creo que se puede hacer de forma que acabe coincidiendo con la superior)

¿Será posible una representación de todos los números de un intervalo en el intervalo superior? Y de ser así, ¿será posible una representación de todos los números de un intervalo en su intervalo inferior?

No diré que ya casi está porque ya vi el desastre de mi último intento pero continuamos  :banghead:, hasta que caiga. Gracias por leer.

11 Septiembre, 2019, 11:03 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Dado un número que está en un intervalo entre 2 potencias de 2 consecutivas, ¿se puede demostrar que al multiplicarlo por 3 y sumarle 2^n (donde n es el número de veces que esté número es divisible entre 2), el resultado estará entre la mitad del intervalo siguiente y la mitad del intervalo que va después del siguiente?

No estoy seguro de exactamente lo que quieres comprobar ahí; para tenerlo más claro te propongo que expongas aquí unos cuantos ejemplos concretos. Si en alguno no se cumple ya tendrás que tu propiedad es falsa; si se cumple en todos, a la luz de los ejemplos entenderé mejor a que te refieres y podremos generalizar la idea.

Saludos.

13 Septiembre, 2019, 04:05 pm
Respuesta #4

Luckdevil

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Mensaje eliminado y reescrito (la anterior idea era un callejón sin salida)

 Resumen de lo que veo, (creo que se me acaban las vacaciones)
En la lista de arriba los números de la forma 2+16N decrecen de la siguiente forma
18, 2 posiciones al 14
34, 4 posiciones
50, 6 posiciones
Y así sucesivamente, son unos con un valor mayor que 3 a la izquierda

Los unos con un 3 a la izquierda van al mismo valor que el 3 de su izquierda (24*3+8=26*3+2), así que, por ejemplo, el 6*4=24, el 6 y el 26 van al mismo sitio, al 10, el 10 y 42 al 2, el 14 y el 58 van al 22, así que si cumple para un valor 2+4N cumple para 8+16N+2

Otra curiosa, el 14 (último valor de su intervalo de potencias) después de iteraciones pasa por 34 (primer valor que de esta forma acaba con un 2 a su derecha), pero 34+2*36=106 valor por donde pasa el 30, el último de la siguiente iteración y así sucesivamente para la primera diagonal que crea el último valor de cada intervalo de potencias de 2.

Para el resto aún no consigo deshacer el lazo
Se puede decir en definitiva que todo 1 con un 2 a su derecha decrece
(El primer uno de un intervalo va a la segunda posición comenzando desde la mitad de su intervalo (34 al 52),el segundo a 6 posiciones más adelante y así sucesivamente, posiciones que no son unos y van directos a una posición anterior.

A la vista de estos y otros patrones observados, la solución pasa, casi con toda seguridad por hacer un PIRAMIDE matemática en función de los intervalos de potencias de 2 (y ha de ser con ordenador y luego marcar donde van cada diagonal de cada número hasta que llegue a un valor inferior, pensé que no sería necesario y es un trabajo cuanto menos pesado). Apuesto a qué así el patrón de bucles queda resuelto (también espero que alguien esté de acuerdo conmigo y lo haga, sino es posible que lo haga yo de aquí a unos años)

Gracias por leer (aunque creo que se puede llegar a algún tipo de recurrencia, sería un poco locura intentar seguir buscándola matemáticamente cuando tengo la creencia de que el gráfico piramidal lo resolvería con claridad)



18 Septiembre, 2019, 04:43 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Sinceramente me parece extremadamente vago, impreciso, todo lo que dices ahora; que en unos pocos casos se cumpla una cierta reguralidad (que ni si quiera me queda clara), no quiere decir que se cumpla en general.

 Vuelvo a insistir en que si quieres ayuda en esto escribas con calma y de manera clara unos ejemplos. Lo hiciste en tu primer mensaje; luego ya no. Una vez que se entiendan la idea, se pueden amplificar los ejemplos vía ordenador y tratar de buscar una formalización. Vaya por delante que no creo que nada de esto sirva para probar la conjetura de Collatz.

Saludos.

19 Septiembre, 2019, 03:49 am
Respuesta #6

Luckdevil

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Lo que intento es sacar propiedades para intentar acercarnos a la demostración, empezaremos con una de ellas: (ver que \( 2^n-1 \) y \( 2^{n+1} -1 \) con n impar pasan por el mismo punto.) (no está demostrado, es una intuición)

Un valor \( 2^n-1 \) acaba convirtiéndose tras n-1 pasos (llamo paso a multiplicar por 3, sumar 1 y dividir el resultado entre 2),acaba convirtiéndose en \( 2*3^{n-1} - 1 \). Ejemplo, el 7 va a 11, que va a 17 (en la tabla, al ser pares no sería igual pero parecido)

Primero intentaremos ver que todo valor \( 2^n-1 \) está relacionado por estos valores de la siguiente forma:
1, 1*3+2=5*, 5*3+2=17, 17*3+2=53, 53*3+2=161...

Y que si cojemos estos valores, podemos hacer
1*3+1=4, 5*3+1=16, 17*3+1=52, 53*3+1=160...
que son justamente los anteriores menos 1.

Recuerdo lo dicho en el segundo párrafo:
9*2-1=17, 27*2-1=53, 81*2-1=161...

Estos valores vistos en la tabla (que es por 2, técnicamente hablando y si meternos en mucho detalle) tienen una particularidad, el 53 que en la tabla es el 106, tiene justo antes el valor 104 que es divisible entre \( 2^3 \) lo que hace que en la tabla 106*3+2=104*3+8, es decir que van al mismo valor por lo que podemos decir que \( 2^n-1 \) y \( 2^{n+1} -1 \) están relacionados cuándo n es impar. Porque digo cuando es impar, porque que la serie 9*2-1, 27*2-1, 81*2-1... visto en términos de la tabla es divisible por 8 y solo por 8 una vez si, una no y así sucesivamente.

Claro que esto está sin demostrar, mis capacidades matemáticas actuales no me lo permiten, podría poner algo como:
\( \displaystyle\frac{((2^n-1)*3^{n-1} +3^{n-1}-2^{n-1})}{2^{n-2}}*3+2 =  \)
\( \displaystyle\frac{((2*2^n-1)*3^n+3^n-2^n)}{2^{n-1}}-2  \)
y después ver como puedo demostrar lo de la divisibilidad entre 8 para la mitad de las veces lo que haría que una digonal impar y la siguiente diagonal estuviesen relacionadas pero esto no se yo hasta que punto podría hacerlo de manera precisa (creo que se puede pero por más fórmulas que ponga creo que un matemático me sacaría siempre fallos por algún lado).

Y sacar propiedades como esta es solo un pequeño paso para una demostracion que parece no terminar nunca.

Por otro lado, decir que usando el 17 en la tabla, que es el 34, 34*3+4 va 106 y que 104 es divisible por 8. Así mismo, 106*3+4=322 (último de su diagonal) y que 322*3+4 va a 970 (último de su diagonal) y que 968 es divisible entre 8 (otra de mis intuiciones aún sin demostrar pero que podrían empezar a mostrar como se comportan los números y con esto llegar a deshecerse el bucle)

Curiosidad:
((7*4-6)*4/2-10)*4/2-16
(((15*4-14)*4/2-22)*4/2-34)*4/2-52
((((31*4-30)*4/2-46)*4/2-70)*4/2-106)-...
(((((63*4-62)*4/2-94)*4/2-142)*...

Mensaje añadido:
De hecho acabo de ampliar que esos puntos de unión son:
1*32
(1+3*3)*32
(1+3*3+9*9)*32
(1+3*3+9*9+27*27)*32
...
Para cada par de diagonales de la tabla.
Si lo anterior es demostrable, si se cumple para estos números se cumplirá para todos los valores de las diagonales principales

19 Septiembre, 2019, 11:49 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Un valor \( 2^n-1 \) acaba convirtiéndose tras n-1 pasos (llamo paso a multiplicar por 3, sumar 1 y dividir el resultado entre 2),acaba convirtiéndose en \( 2*3^{n-1} - 1 \). Ejemplo, el 7 va a 11, que va a 17 (en la tabla, al ser pares no sería igual pero parecido)

Eso es cierto. Basta tener en cuenta que \( 3^k2^n-1 \) con \( n>0,k\geq 0 \) se transforma en un paso en \( 3^{k+1}2^{n-1}-1 \) y razonar inductivamente:

\( \dfrac{3\cdot (3^k2^n-1)+1}{2}=\dfrac{3^{k+1}2^n-2}{2}=3^{k+1}2^{n-1}-1 \)

En cuanto a la divisibildad por 8 no estoy seguro de a que te refieres. Pero si lo concretas mejor no debería de ser difícil de comprobar. Basta trabajar módulo 8.

Saludos.

21 Septiembre, 2019, 06:55 pm
Respuesta #8

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Propiedad (para los que no la conozcan todavía):

Todo 4k+1 se puede convertir en k (si k es impar, si k es par todavía esta en pruebas)
Esta propiedad viene de los valores que salen de ir al revés empezando por \( 2^n \).
Los valores de \( 2^n \) que al restarle 1 son divisibles entre 3... dan el sumatorio de... :
Vamos (1, +4, +16, +64, +256...), estos valores son 1, 5, 21, 85... valores que *3+1 dan \( 2^n \)

Veamos ejemplos:
K+(K*3+1)(1,+4,+16...)
Por ahora solo lo usaremos con el 1 porque el resto carecen de importancia (son casos repetidos)
K+(K*3+1)*1
1+4=5
2+7=9
3+10=13
4+13=17

Se hace de la siguiente manera:
Valor 13, es un caso k impar
(13-1)/4=3
(3*3+1)=10,   10/2=5
Esto significa que el 13 pasará por el 5 y a su vez que el 3 pasará por el 5.
Cuando k es impar se puede enlazar, es decir (13-1)/4 = 3, si 3 fuese 4k+1 se podría repetir.
Valor 17, es un caso k par
(17-1)/4=4
(4*3+1)=13
Esto significa que el 17 pasara por el 13.
Y así para todos

Postdata: a veces es peor usar esto que el camino normal, también he visto otras fórmulas pero más complejas, menciono esta porque a alguien que empieze a intentar demostrar esta conjetura le vendrá bien (sobre todo para poder ver mejor donde está el problema y no estar tan pendiente de estos valores)

Sigo con las diagonales principales que es a lo que estoy, algo estoy tramando pero no me acaba de salir.
Nuevamente, gracias por leer.








21 Septiembre, 2019, 09:37 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Propiedad (para los que no la conozcan todavía):

Todo 4k+1 se puede convertir en k (si k es impar, si k es par todavía esta en pruebas)
Esta propiedad viene de los valores que salen de ir al revés empezando por \( 2^n \).
Los valores de \( 2^n \) que al restarle 1 son divisibles entre 3... dan el sumatorio de... :
Vamos (1, +4, +16, +64, +256...), estos valores son 1, 5, 21, 85... valores que *3+1 dan \( 2^n \)

No te entiendo.

No se que quieres decir que \( 4k+1 \) "se convierte" en \( k \).

Por ejemplo para \( k=3 \) se tiene \( 4\cdot 3+1=13 \).

La secuencia de Collatz para el \( 13 \) es:

\( 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 \)

¿Dónde está esa conversión?.

Saludos.