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Teoría de números / Re: Ayuda con este problema
« Último mensaje por martiniano en Hoy a las 07:56 am »
Hola.

Encuentre todos los numeros positivos n tales que para todos los enteros impares a si $$
n \geq a^{2}
$$ entonces a divide a n

Fíjate que:

Para \[ n\leq{3^2} \] lo cumplen todos los números.
Para \[ 3^2\leq{n\leq{5^2}} \] lo cumplen los múltiplos de \[ 3 \].
Para \[ 5^2\leq{n\leq{7^2}} \] lo cumplen los múltiplos de \[ 3\cdot{5}=15 \], es decir, el \[ 30 \] y el \[ 45 \].
Para \[ 7^2\leq{n\leq{9^2}} \] lo cumplirían los múltiplos de \[ 3\cdot{}5\cdot{}7=105 \]. Pero esto no es posible porque \( 105>9^2=81 \).

Y ahora justifica que ya no hay más soluciones por encima de este valor porque si \( n>81 \) fuese otra solución, entonces el producto de los impares menores que \[ \sqrt[ ]{n} \] sería mayor que \[ n \].

Un saludo.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Vectores ortonormales
« Último mensaje por martiniano en Hoy a las 07:40 am »
Hola.

Mira a ver si te sirve esto:

\[ |x_1+...+x_n|^2=(x_1+...+x_n)\cdot{}(x_1+...+x_n)=x_1^2+...+x_n^2+\displaystyle\sum_{i\neq{}j}{2\underbrace{x_i\cdot{}x_j}_{0}}={\underbrace{|x_1|}_{1}}^2+...+{\underbrace{|x_n|}_{1}}^2 \]
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Teoría de números / Ayuda con este problema
« Último mensaje por Berner en Hoy a las 07:24 am »
Encuentre todos los numeros positivos n tales que para todos los enteros impares a si $$
n \geq a^{2}
$$ entonces a divide a n
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Vectores ortonormales
« Último mensaje por zapayan en Hoy a las 06:00 am »

Estimados amigos, tengo el siguiente problema

Si \( u_1, u_2. .....u_n \) son vectores ortonormales, demuestre que:

\( \left|u_1+....+u_n\right|^2=\left|u_1\right|^2+....+\left|u_n\right|^2=n \)

Ahora bien, los vectores son ortonormales si son ortogonales y con norma \( 1 \).
¿Como puedo usar esta hipótesis en la demostración?

Muchas gracias por su atencion, espero sus aportes.
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Álgebra / Re: Probar que mcd(x,y)=mcd(x,y +nx)
« Último mensaje por Juan Pablo Sancho en Hoy a las 04:29 am »
Para cuestiones nuevas debes poner hilos nuevos.
Sea \( d = mcd(x,y,z)  \) y \( k = mcd(x,mcd(y,z))  \)
Como \( d|y  \) y \( d | z  \) entonces \( d|mcd(y,z)  \) en consecuencia \( d | k  \)

Como \( k|  mcd(y,z) \) tenemos que \( k|y  \) y \( k|z \) entonces \( k|d \).
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Buenas noches espero estén bien, bueno básicamente tengo dos ejercicios el primero intenté realizarlo sin éxito(les adjunto el archivo de GeoGebra de como quedó) y el segundo no sé como empezarlo.


La letra del ejercicio 1 dice así:

->Definir un archivo GeoGebra, un deslizador \( x_0 \) en el intervalo \( [-18,-2] \)

->Considerar la inecuación de la forma \( ax-5>=3x+2 \) con a un número real. Hallar \( a \) en función de \( x_0 \) sabiendo que \( (-infinito, x_0] \) es la solución de dicha inecuación. ¿Qué condición debe cumplir \( a \)?

->Representar la inecuación en GeoGebra de forma tal que al mover el deslizador se visualicen las rectas.

Hacer la inecuación visible en un cuadro de texto.

La letra del ejercicio 2 así:

->Definir un archivo GeoGebra, un deslizador \( x_0 \) en el intervalo \( [-20,20] \)

->Considerar la inecuación de la forma \( x^2+px+q <=x+2 \) con \( p \) y \( q  \) números reales. Hallar \( p,q \) en función de \( x_0 \) sabiendo que \( [-2, x_0] \) si \( x_0>-2 o [x_0,-2] \) si \( x_0<-2 \) es la solución de dicha inecuación.

->Representar la inecuación en GeoGebra de forma tal que al mover el deslizador se visualicen la recta y parábola involucradas en la inecuación y se vea la solución correspondiente.

Hacer la inecuación visible en un cuadro de texto.

Nota: En el archivo que adjunté si marcan la casilla de control está las cosas que le puse, tengo entendido que cuando se pone a en función de \( x_0 \), lo que se hace en ese caso es dejar a solo y despejar el resto, aún así entiendo que para graficar en GeoGebra tengo que poner p(x)=función pero no me sale graficar la inecuación.

Por último no se si deba plantear un tema por el ejercicio 1 y otro por el ejercicio 2 ya que tienen quizá tengan similitud en la forma de resolverse.

Gracias y de verdad estuve horas intentando el primero y no llegue muy lejos, no me gusta pedir mucha ayuda pero choqué contra un muro jajaj :banghead:

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Álgebra / Re: Probar que mcd(x,y)=mcd(x,y +nx)
« Último mensaje por Soofíaa en Hoy a las 02:18 am »
Estimado, muchas gracias!! quedó todo claro.

Si no sería mucha molestia me gustaría agregar este propuesto:

Si extendemos la definición de máximo común divisor a más números:
\( mcd(x_{1}, . . . , x_{n}) \) es el mayor divisor de \( x_{1}, . . . , x_{n} \). Probar que \( mcd(x, y, z) =mcd(x, mcd(y, z)) \).

Es como una extensión del primero, sin embargo, no se me ocurre como plantearlo ya que es hasta \( n \) números
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Veamos si ahora se entiende la idea con un nuevo enunciado como me proponían.


Proponemos un juego, se pide elegir al azar una opción entre las disponibles, el problema cuenta con \( n \) opciones, se acierta cuando la opción elegida  contiene en su descripción un valor porcentual igual la probabilidad total que se tiene de acertar el propio problema  como sumatoria de la cantidad  de opciones \( i \) respecto del total  de opciones \( n \) que contienen justamente  ese valor de probabilidad en la descripción.


Entonces si el que diseña el problema lo hará consistente lógicamente, si


  • Entre las opciones escribe 1 cuya descripción indique la probabilidad \( 1/n \)  ó
  • Entre las opciones escribe 2 cuyas descripciones indique la probabilidad \( 2/n \)  ó
  • …..
  • Entre las opciones escribe \( n \) cuya descripción indique la probabilidad \( n/n \)  100%
Esto significa  que no habría paradoja si así fuera o fueran escritas  las opciones, o dicho de otro modo.


Tiene que haber  \( i \)  descripciones que contengas el valor \( i/n \) de probabilidad, siendo \( i \) la cantidad de opciones que tienen en la descripción en el total de oferta de opciones  con el valor de probabilidad \( i/n \).
Así que podemos hacer un problema paradójico, no respetando lo anterior en cualquiera de las \( n \) opciones.
Cuando decía que podía responder si mirar el contenido de las opciones, porque solo así soy libre de elegir al azar, me equivocaba, porque así definido el juego tiene el problema asignar un valor de probabilidad a cada posible confección de las opciones, con lo que tenemos infinitas combinaciones no lógicas por sobre unas tampoco finitas posibles combinaciones que provean algún acierto. Que quiero decir, que solo es posible establecer la probabilidad total de acertar, leyendo las opciones, contando cuantas tienen el mismo valor de probabilidad dividir la cantidad contada por el número de ofertas disponibles, y si coincide con el valor de la opción, es que habrá un resultado lógico.


Pero si se evalúan todas las opciones y no se encuentra un resultado lógico, entonces hay paradoja, pues la probabilidad total de acertar para cada opción es distinta a la brindada en la opción.
Ahora ya habiendo definido 1 combinación de  \( n \) opciones de la infantas combinaciones de \( n \) opciones posibles, si nos ponemos a evaluar  la probabilidad total de acertar para cada valor de opción disponible, ya estamos evaluando si existen \( i \) opciones con valor \( i/n \), no estamos actuando al azar pues la probabilidad de escoger depende  de \( i/n = \)valor de la opción


Como en todo juego el objetivo es acertar, y si en las opciones, se lee una opción 100%, si escoges al azar pierdes porque el porcentaje de éxito solo será 100% si todas las opciones son 100%, pero si escoges adrede la opción porque sabes es la ganadora, para ti la opción tiene un 100% de probabilidad de éxito, y la puedes escoger para ganar que es el objetivo del juego… y me dirán y el azar??? No habiendo otras opciones lógicas como \( 1/n \) ,  2 opciones de \( 2/n \) etc. , es la única que garantiza ganar y tiene el 100% de probabilidad de escogerse, ya que el resto no son lógicamente viables, y me dirán y es solo 1 entre \( n \)  la probabilidad de escogerla al azar,  pero  es la única que el azar te permite escoger y te asegura el éxito, con resultado  puedo escoger 1 sobre 1 =100% , el resto las he descartado lógicamente , pues me dejaron leer su contenido.
 A ver si es la única opción lógica, es la única que se cuenta para escoger dadas las opciones realmente dadas no n, si el resto son inconsistentes, no suman ni a favor ni en contra de la probabilidad de acertar, no son opciones posibles de elegir, luego \( n \) se va reduciendo hasta la unidad.










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Álgebra / Re: Demostración de producto de mcm con mcd
« Último mensaje por Juan Pablo Sancho en Hoy a las 12:51 am »
Si \( d = mcd(x,y)  \) entonces \( x'= \dfrac{x}{d}  \) y \( y' = \dfrac{y}{d}  \) queda \( mcd(x',y') = 1 \).
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Álgebra / Re: Demostración de producto de mcm con mcd
« Último mensaje por Soofíaa en Hoy a las 12:48 am »
Oh, genial, muchas gracias.

Tengo una pequeña duda, a qué se refiere concretamente con los \( x'  \)e \( y' \) ?

Saludos
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