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Temas - Marcos Castillo

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1
Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!

2
Cálculo 1 variable / Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 02:15 pm »
Hola

Tengo un ejercicio resuelto ilustrativo y una cuestión teórica

Citar
Ejemplo 7 Resuelva el problema de valor inicial

\( \begin{cases}{y'=\dfrac{3+2x^2}{x^2}}\\y(-2)=1 \end{cases} \)

¿Dónde es válida la solución?

Solución

\( y=\displaystyle\int \left ({\dfrac{3}{x^2}+2}\right )dx=-\dfrac{3}{x}+2x+C \)

\( 1=y(-2)=\dfrac{3}{2}-4+C \)

Por tanto, \( C=\dfrac{7}{2} \) y

\( y=-\dfrac{3}{x}+2x+\dfrac{7}{2} \)

Aunque la solución parece estar definida para todo valor de \( x \) excepto el 0, el PVI sólo tiene solución para \( x<0 \). Esto se debe a que \( (-\infty,0) \) es el mayor intervalo que contiene al punto inicial -2 pero no \( x=0 \), donde la \( y \) está indefinida

Cito el texto de la cuestión teórica:

Citar

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. La ED del ejemplo 5 (\( x^2y''-xy'-3y=0 \)) es de segundo orden ya que en ella interviene \( y'' \), y no hay derivadas de \( y \) de orden superior. Nótese que en la solución que se ha verificado en el ejemplo 5 intervienen dos constantes arbitrarias, \( A \) y \( B \). Esta solución se denomina solución general de la ecuación, ya que se puede demostrar que cualquier solución es de esta forma, dando valores concretos a las constantes \( A \) y \( B \). Se obtiene una solución particular de la ecuación asignando valores concretos a esas constantes. En la solución general de una ecuación diferencial de orden \( n \) aparecen \( n \) constantes arbitrarias.
Un problema de valor inicial (PVI) está formado por:

(a) una ecuación diferencial (para resolverla encontrando una función desconocida) y
(b) valores de la solución y de un número suficiente de sus derivadas en un punto determinado (el punto inicial) para determinar los valores de todas las constantes arbitrarias en la solución general de la ED y obtener, así, una solución particular.

Observación Es habitual utilizar el mismo símbolo, por ejemplo \( y \), para indicar la variable independiente y la función solución de una ED o de un PVI. Es decir, la función solución se denominará \( y=y(x) \), en vez de \( y=f(x) \).

Observación La solución de un PVI es válida en el máximo intervalo que contenga a los puntos iniciales donde se define la función solución.


Es esta última observación: no entiendo por qué la solución es válida en el máximo intervalo que contenga al punto inicial.

¡Un saludo!

3
Cálculo 1 variable / Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 01:22 pm »
Hola, tengo un texto y dos dudas. Primero cito:


Citar
PRIMITIVAS

Comenzaremos por definir la primitiva de una función \( f \) como una función \( F \) cuya derivada es \( f \). Es apropiado requerir que \( F'(x)=f(x) \) en un intervalo.

DEFINICIÓN 7

La primitiva de una función \( f \) en un intervalo \( I \) es otra función \( F \) que cumple
\( F'(x)=f(x) \) para \( x \) en \( I \)

Las primitivas no son únicas. De hecho si \( C \) es una constante, entonces \( F(x)=x+C \) es una primitiva de \( f(x)=1 \) en cualquier intervalo. Siempre se puede añadir una constante a la primitiva \( F \) de una función \( f \) en un intervalo y obtener otra derivada de \( f \). Lo que es más importante, todas las primitivas de \( f \) en un intervalo se pueden obtener sumando constantes a una primitiva concreta. Si \( F \) y \( G \) son primitivas de \( f \) en un determinado intervalo \( I \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}(G(x)-F(x))=f(x)-f(x)=0 \)

en dicho intervalo \( I \), de forma que \( G(x)-F(x)=C \) (una constante) en \( I \) por el Teorema 13 de la sección 2.6.

Spoiler
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)
[cerrar]

Por tanto, \( G(x)=F(x)+C \) en \( I \).

Nótese que ni esta conclusión ni el Teorema 13 son válidos en un conjunto que no sea un intervalo. Por ejemplo la derivada de

\( \mbox{sgn}\;x=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Es 0 para todo \( x\neq 0 \), pero \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio.

Es el razonamiento de por qué debe ser un intervalo:

\( \mbox{sgn}\;x=\dfrac{d|x|}{dx}=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Citar
Es 0 para todo \( x\neq 0 \)

Aquí está la clave de mi duda: si es 0 para todo \( x\neq 0 \), ya no es un intervalo. El razonamiento queda: "No debe ser un intervalo, porque no es un intervalo, pero  \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio."

Vamos, que algo se me escapa, y no sé qué.

Un saludo

4
Hola, Rincón

Citar

Otra interpretación de la ecuación paramétrica \( X=A+\lambda\mathbf v \) es que el vector \( \vec {AX} \) depende linealmente del vector \( \mathbf v \). Por tanto

\( \mbox{det}(\vec{AX},\mathbf v)=\begin{pmatrix}{x_1-a_1}&{x_2-a_2}\\{v_1}&{v_2}\end{pmatrix}=0 \)

Desarrollando

\( v_2(x_1-a_1)+(-v_1)(x_2-a_2)=0 \)

o sea

\( v_2x_1+(-v_1)x_2+(v_1a_2-v_2a_1)=0 \)

Todas las rectas tienen una ecuación que se puede reducir a la forma general o implícita

\( Ax_1+Bx_2+C=0 \)

Siendo los números \( A \) y \( B \) no ambos nulos.

Si el sistema de referencia es cartesiano, el vector formado por los coeficientes de las variables \( x_1 \) y \( x_2 \) en la ecuación general es \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \), que es ortogonal al vector de dirección.




¿Cómo doy encaje a la imagen? Yo dibujo \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \) y me sale ortogonal, pero en sentido contrario al de la imagen, que indica \( \mathbf n=(A,B) \)

Un saludo

5
Hola, estimado Rincón, me encuentro con algo que creía que dominaba, pero no:

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=0 \)

Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene que

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{x_1}&{x_2}&{1}\\{a_1}&{a_2}&{1}\\{b_1}&{b_2}&{1}\end{vmatrix} \)

¿Cuáles son las transformaciones elementales?

¡Un saludo!

6
Cálculo 1 variable / Diferenciación implícita
« en: 04 Junio, 2021, 10:58 am »
Hola, RM

Aquí estoy de nuevo. Es un ejercicio concreto ya solucionado. Lo cito:

Citar

Diferenciación implícita

(...)

Las curvas son generalmente ecuaciones en dos variables. Estas ecuaciones se pueden expresar en la forma

\( F(x,y)=0 \)

Ejemplo 1

Calcule \( dy/dx \) si \( y^2=x \)

Solución: La ecuación no es una función, pero podemos enfocarla como dos funciones diferenciables de \( x \): \( y_1=\sqrt{x} \) e \( y_2=-\sqrt{x} \):

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) y \( \dfrac{dy_2}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Sin embargo, es posible obtener la pendiente de la curva \( y^2=x \) en cualquier punto \( (x,y) \) que cumpla la ecuación sin despejar previamente \( y \). Para calcular \( dy/dx \) simplemente se diferencian con respecto a \( x \) los dos miembros de la ecuación \( y^2=x \) tratando \( y \) como una función diferenciable de \( x \) y utilizando la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \):

\( \dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(x) \)\( \left ({\mbox{La Regla de la Cadena da}}\dfrac{d}{dx}y^2=2y\dfrac{dy}{dx}\right ) \)

\( 2y\dfrac{dy}{dx}=1 \)

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y} \)

Obsérvese que esto coincide con las derivadas calculadas anteriormente para ambas soluciones explícitas

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2y_1}=\dfrac{1}{2\sqrt x} \)    y    \( \dfrac{dy_2}{dx}=\dfrac{dy}{2y_2}=\dfrac{1}{2(-\sqrt x)}=-\dfrac{1}{2\sqrt x} \)
"

Duda: La regla de la cadena dice: \( (f\circ{g})'=(f'\circ{g})\cdot g' \)

Es decir, \( f\circ g=y^2 \), osea, \( f(g(x))=y^2 \). ¿Cuál es \( f \) y cuál \( g \) en este caso?

¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)

¡Un saludo!

7
Hola, ¿qué tal?. Tengo un texto y al final me ha surgido una duda. Primero el texto y luego la duda:

"Derivadas en economía

Del mismo modo que los físicos utilizan los términos de velocidad y aceleración para referirse a las derivadas de ciertas cantidades, los economistas también tienen su vocabulario especializado para denominar a las derivadas. Las denominan marginales. En economía el término marginal se refiere a la velocidad o tasa de cambio de una cantidad con respecto a la variable de la que depende. Por ejemplo, el coste de producción \( C(x) \) en una operación de fabricación es función de \( x \), el número de unidades de producto producidas. El coste marginal de producción es la velocidad de cambio de \( C \) con respecto de \( x \), y por tanto es \( dC/dx \). Algunas veces el coste marginal de producción corresponde aproximadamente al coste extra de producir una unidad más, es decir,

\( \Delta{C}=C(x+1)-C(x) \)

Para ver por qué esto es aproximadamente correcto, observemos en la Figura 2.32 que si la pendiente de \( C=C(x) \) no varía muy rápidamente cerca de \( x \), entonces el cociente de incrementos \( \Delta{C}/\Delta{x} \) tomará un valor próximo a su límite, la derivada \( dC/dx \), incluso cuando \( \Delta{x}=1 \).



Ejemplo 5 (Tasas marginales de impuestos). Si la tasa marginal de impuestos sobre ingresos es del 35% y los ingresos crecen en 1000 Euros, habrá que pagar unos 350 Euros extras en impuestos. Significa que en el nivel de ingresos actual \( l \), la tasa de incremento de de los impuestos \( T \) con respecto a los ingresos es \( dT/dl=0,35 \). Es decir, se pagan 0,35 Euros de impuestos por cada euro extra que se ingresa. Por supuesto, si el nivel de ingresos aumenta mucho, puede pasarse a otro segmento impositivo y aumentar las tasas marginales.

Ejemplo 6 (Coste marginal de producción) El coste de producir \( x \) toneladas de carbón por día en una mina es \( C(x) \) Euros, siendo

\( C(x)=4200+3.40x-0.001x^2+0.000002x^3 \)

(a) ¿Cuál es el coste medio de producir cada tonelada si el nivel diario de producción es de 1000 toneladas? ¿Y si es de 2000 toneladas?

(b) Calcule el coste marginal de producción diaria es de 1000 toneladas y de 2000 toneladas.

(c) Si el nivel de producción crece ligeramente de las 1000 toneladas o de las 2000 toneladas, ¿qué sucederá con el coste medio por tonelada?

Solución

(a) El coste medio por tonelada de carbón es

\( \dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{4200}{x}+5.40-0,001x+0.000002x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(1000)/1000=10.6/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(2000)/2000=13.5\;\mbox{E/ton} \).

(b) El coste marginal de producción es

\( C'(x)=5.40-0.002x+0.000006x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste marginal es de \( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste marginal es de \( C'(2000)=25.4\;\mbox{E/ton} \).

(c) Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste medio por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio. En \( x=2000 \) ocurre lo contrario. Un incremento en la producción aumentará el coste medio por tonelada."

Dudas:

Voy a hablar, a ver si es correcto:

En el ejemplo 5, la tasa es \( dT/dl\cdot 100 \), porque para ángulos pequeños, \( \tan \alpha \approx \alpha \)

En relación al párrafo (c) último de la cita. Me centro en la primera frase: "Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio."

He dibujado con Geogebra \( C(x) \), y he visto que las pendientes cerca de \( x=1000 \) son muy pronunciadas. No sirve la fórmula \( dC/dx \cdot 100 \). Hallo el arcotangente de 9,4/ton, que es 83,92º, y esa es la tasa marginal de costes en \( x=1000 \): 83,92%

¿El criterio de la segunda derivada no sería más rápido?: \( C''(1000)=0,118>0 \), y por lo tanto es un mínimo local en ese intervalo (¿qué intervalo?, me pregunto)....Pero no, porque \( C''(2000)=0,24 \)...

¡Un saludo!

8
Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!

9
Cálculo 1 variable / ¿Función creciente en un intervalo, o no?
« en: 28 Marzo, 2021, 05:40 am »
Hola, qué tal, RM

Tengo un texto que me desconcierta. Creo que hay dos erratas. Lo escribo, y intercalo las dudas:

"TEOREMA 12 Sea \( J \) un intervalo abierto, y sea \( I \) un intervalo que contiene a todos los puntos de \( J \), y posiblemente uno de sus extremos, o ambos. Sea \( f \) una función continua en \( I \) y diferenciable en \( J \).

(a) Si \( f'(x)>0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es creciente en \( I \).

(b) Si \( f'(x)<0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es decreciente en \( I \).

(c) Si \( f'(x)\geq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no decreciente en \( I \).

(d) Si \( f'(x)\leq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no creciente en \( I \).

(...)

Observación A pesar de lo que dice el Teorema 12, \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \) no implica que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \). Véase el Ejercicio 20 al final de esta sección, donde se presenta un contraejemplo."

Primera duda: el Teorema 12 no afirma que si  \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \), eso implique que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \).

El texto llega al ejercicio que creo que menciona:

"*20. Sea \(  f(x) = \left \{ \begin{matrix} x+2x^2\sin{(1/x)} & \mbox{si }\;x\neq \color{red}0
\\ 0 & \mbox{si }\;x=0\end{matrix}\right. \)

(a) Demuestre que \( f'(0)=1 \) (Sugerencia:Utilice la definición de derivada)

(b) Demuestre que todo intervalo que contenga a \( x=0 \) contiene también puntos en los que \( f'(x)<0 \), por lo que \( f \) no puede se creciente en ese intervalo."

Duda: he dibujado la función y su derivada en Geogebra, y la función es creciente en un entorno próximo a \( x_0=0 \)



Mi conclusión personal: esto no es un contraejemplo del Teorema 12. Es un enriquecedor apunte. Pero no sé si estoy metiendo la pata: he usado Geogebra, y se trata de una impresión visual. No he hecho ningún cálculo, como sugiere el libro.

¡Un saludo!

10
Cálculo 1 variable / Continuidad de la función compuesta
« en: 21 Marzo, 2021, 09:48 pm »
Hola

El concepto de continuidad de la composición se me resiste en relación al hilo

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116229.0, titulado "Demostración de la Regla de la Cadena".


No me entusiasma de todo la notación usada por el libro, porque \( k \) depende de \( h \); al denotarlo con una letra sin más uno olvida esa relación y eso te está despistando.

Entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))} \)

Y ahí se usan dos cosas:

- Por ser \( g \) continua en \( x \) se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}g(x+h)=g(x) \).
- Lo anterior unido al hecho de que \( \displaystyle\lim_{z \to{0}}{E(z)=0} \) sirve pare concluir que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)



Me lío con la \( z \) como variable :-[ ¿Cómo se llega a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)?.

En general:

si \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(x)=L  \) y \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}g(x)=a \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}f(g(x))=L  \)

O en otra versión equivalente si \( f(x) \) es continua en \( a \) y \( g(x) \) es continua en \( b \) y \( g(b)=a \) entonces la función compuesta \( (f\circ g)(x) \) es continua en \( b \).

O dicho de una tercera forma: la composición de funciones continuas es continua.

Esto te lo tienen que haber demostrado antes de ir con la regla de la cadena.


Dudas: no es lo mismo el concepto de límite y el concepto de derivada. Por otra parte, hay tres variables independientes, \( z \), \( k \), y \( x \).

Cómo lo soluciono:

La ley de composición establece que si \( f(x)=g(h(x)) \)

-\( h \) es continua en \( x=a \) y

-\( g \) es continua en \( h(a) \)

entonces \( f \) es continua en \( x=a \)

En base a esta definición, hago lo siguiente.

1- \( g \) es continua en todo su dominio.

2- \( E \) es continua en \( z=0 \). Puedo llamar \( x \) a \( z \), por ser una variable independiente.

3- \( E(g) \) es continua en \( x=0 \)

\( \therefore{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{E(g)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g)}}=0 \)

Es decir, en este caso el concepto de límite coincide con el de derivada.

¿Correcto?.

¡Un saludo!

11
Cálculo 1 variable / Demostración de la Regla de la Cadena
« en: 15 Marzo, 2021, 06:13 am »
Hola, estimado RM

Tengo un texto, y algunas dudas. Primero el texto, y luego las dudas:

"Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u=g(x) \) con \( g \) una función derivable en \( x \). Sea la función \( E(k) \) definida así:

                                          \( E(0)=0 \)

                                          \( E(k)=\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u) \),   si \( k\neq 0 \)

Por definición de derivada, \( \lim_{k \to{0}}{E(k)=f'(u)-f'(u)=0=E(0)} \), por lo que \( E(k) \) es continua en \( k=0 \). Además, sea \( k=0 \) o no, tenemos que

                                         \( f(u+k)-f(u)=(f'(u)+E(k))k \)

Sea ahora \( u=g(x) \) y \( k=g(x+h)-g(x) \), de forma que \( u+k=g(x+h) \), con lo que se obtiene

                                         \( f(g(x+h))-f(g(x))=(f'g(x)+E(k))(g(x+h)-g(x)) \)

Como \( g \) es diferenciable en \( x \), \( \lim_{h \to{0}}{[g(x+h)-g(x)]/h=g'(x)} \). Además, \( g \) es continua en \( x \) por el Teorema 1

Spoiler

TEOREMA 1 Ser diferenciable implica ser continua

Si \( f \) es diferenciable en \( x \), sabemos que existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x) \)

Utilizando las reglas de los límites (Teorema 2 de la sección 1.2),

Spoiler
TEOREMA 2 Reglas para los límites

Si \( \lim_{x \to {a}}{f(x)}=L \), \( \lim_{x \to {a}}{g(x)}=M \), y \( k \) es una constante, entonces

1. Límite de la suma: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)+g(x)]}=L+M \)

2. Límite de una diferencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-g(x)]}=L-M \)

3. Límite de un producto: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=LM \)

4. Límite de una multiplicación por una constante: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{kf(x)}=kL \)

5. Límite de un cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{L}{M} \), si \( M\neq 0 \)

Si \( m \) es un entero y \( n \) un entero positivo, entonces

6. Límite de una potencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)^{m/n}]}=L^{m/n} \) siempre que \( L>0 \) cuando \( n \) sea par, y \( L\neq 0 \) si \( m<0 \)

Si \( f(x)\leq{g(x)} \) en un intervalo que contiene a \( a \) en su interior, entonces

7. Conservación del orden \( L\leq{M} \)

[cerrar]

tenemos que

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f(x+h)-f(x))}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left ({\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right )(h)}=(f'(x))(0)=0 \)

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \).
[cerrar]

por lo que \( \lim_{h \to{0}}{k}=\lim_{h \to{0}}{(g(x+h)-g(x))=0} \). Como \( E \) es continua en 0, \( \lim_{h \to{0}}{E(k)}=\lim_{k \to{0}}{E(k)}=E(0)=0 \). Por tanto,

                                                     \( \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}} \) 

                                                                       \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f'(g(x))+E(k))\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}} \)

                                                                       \( =(f'(g(x))+0)g'(x)=f'(g(x))g'(x) \)

como se quería demostrar.

¿Por qué es necesario recordar la continuidad de \( g \) en \( x \)? Pienso que es para saber que la derivada de una función compuesta es también continua

\( \lim_{h \to{0}}{E(k)} \), ¿no es igual a \( E(k) \)?

¡Un saludo!

12
Cálculo 1 variable / Ser diferenciable implica ser continua
« en: 13 Marzo, 2021, 10:17 am »
Hola, estimado RM

Tengo un texto, y unas dudas. Primero el texto, y luego las dudas:

"TEOREMA 1 Ser diferenciable implica ser continua

Si \( f \) es diferenciable en \( x \), sabemos que existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x) \)

Utilizando las reglas de los límites (Teorema 2 de la sección 1.2),

Spoiler
TEOREMA 2 Reglas para los límites

Si \( \lim_{x \to {a}}{f(x)}=L \), \( \lim_{x \to {a}}{g(x)}=M \), y \( k \) es una constante, entonces

1. Límite de la suma: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)+g(x)]}=L+M \)

2. Límite de una diferencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-g(x)]}=L-M \)

3. Límite de un producto: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=LM \)

4. Límite de una multiplicación por una constante: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{kf(x)}=kL \)

5. Límite de un cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{L}{M} \), si \( M\neq 0 \)

Si \( m \) es un entero y \( n \) un entero positivo, entonces

6. Límite de una potencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)^{m/n}]}=L^{m/n} \) siempre que \( L>0 \) cuando \( n \) sea par, y \( L\neq 0 \) si \( m<0 \)

Si \( f(x)\leq{g(x)} \) en un intervalo que contiene a \( a \) en su interior, entonces

7. Conservación del orden \( L\leq{M} \)

[cerrar]

tenemos que

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f(x+h)-f(x))}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left ({\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right )(h)}=(f'(x))(0)=0 \)

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \)."


Es la última frase lo que no entiendo. La única forma que tengo de entenderlo es afirmar \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)} \):

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(h)}=f'(x)+f'(h) \); como \( h\in \mathbb R \setminus \{ 0\} \), \( f'(h)=0 \).

¿Correcto? ¡Un saludo!

13
Cálculo 1 variable / Regla general de la cadena
« en: 07 Marzo, 2021, 04:20 pm »
Hola, RM

La duda no está en la demostración, sino en la naturaleza de una expresión que aparece de paso. Primero el texto, y luego la duda:

Si \( f(x)=x^r \), entonces \( f'(x)=rx^{r-1} \)

Esta fórmula, que verificaremos en la sección 3.3, es válida para todos los valores de \( r \) y \( x \) para los que \( x^{r-1} \) tenga sentido como número real

(...)

Posteriormente demostraremos todos los casos de la regla general de la potencia. Por ahora ofrecemos una demostración del caso \( r=n \), un entero positivo, basada en la factorización de una diferencia de potencias n-ésimas:

\( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) \)

(Compruebe que la fórmula es correcta multiplicando los dos factores del miembro derecho). Si \( f(x)=x^n \), \( a=x+h \) y \( b=x \), entonces \( a-b=h \) y


\( f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}} \)
      \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{h\overbrace{[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^2+...+x^{n-1}]}^{\mbox{n términos}}}{h}} \)
      \( =nx^{n-1} \)


La duda es respecto a la expresión \( a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1} \). No es el binomio de Newton: faltan los coeficientes binomiales. Entonces, ¿qué es?.

¡Un saludo!

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Hola, RM

Tengo un texto, y una duda. Primero escribo el texto, y luego la duda.

Algunos ángulos especiales

Ejemplo 4

Calcule los valores del seno y el coseno de los ángulos \( \pi/3 \) (o 60º) y \( \pi/6 \) (o 30º).

Solución El punto \( P_{\pi/3} \) y los puntos \( O \)(0,0) y \( A \)(1,0) son los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado tiene longitud 1 (véase la Figura P.72). Por tanto, la coordenada \( x \) del punto \( P_{\pi/3} \) vale 1/2, y la coordenada \( y \) vale \( \sqrt{1-(1/2)^2}=\sqrt{3}/2 \), con lo que

\( \cos (60º)=\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\qquad \sin(60º)=\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Como \( \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} \), las identidades de ángulos complementarios nos permiten obtener que

\( \cos (30º)=\cos \dfrac{\pi}{6}=\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \sin (30º)=\sin \dfrac{\pi}{6}=\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} \)

Dudas: ¿por qué es un triángulo equilátero?(se me ocurre que es porque el ángulo es \( \pi/3 \), \( 180º-60º=120º \), y \( \dfrac{120º}{2}=60º \), pero no doy el salto a concluir que la cuerda mide 1
¿por qué hace falta el triángulo equilátero?(pienso que es para concluir que el coseno vale 1/2, y a partir de ahí ir deduciendo)


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Hola, estimado RM

Hay una identidad trigonométrica que es fácil de concluir en el texto de acceso a la universidad, pero difícil en el texto del libro de cálculo correspondiente  al Grado de Física en el que estoy matriculado. Os cito el texto, y después la duda.

Identidades de utilidad

Muchas propiedades importantes de \( \cos t \) y \( \sin t \) se desprenden del hecho de que son las coordenadas del punto \( P_t \) sobre la circunferencia \( C \) de ecuación \( x^2+y^2=1 \).

El coseno es una función par. El seno es una función impar. Como la circunferencia \( x^2+y^2=1 \) es simétrica respecto al eje \( x \), los puntos \( P_t \) y \( P_{-t} \) tienen la misma coordenada \( x \), y coordenadas \( y \) opuestas (véase la figura P.68).



Dudas: ¿Cómo se llega a \( \cos (-t)=\cos t \) y \( \sin (-t)=-\sin t \)?; los rombos a ambos lados del eje \( x \), son para indicar la simetría, ¿no?.

¡Un saludo!

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¡Hola, qué tal, RM!

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:

Ejemplo 5

Dada \( G(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \), calcule \( G\circ{G(x)} \) y especifique su dominio.

Solución Calculamos

\( G\circ{G(x)}=G(G(x))=G\left ({\frac{1-x}{1+x}}\right )=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{1+x-1+x}{1+x+1-x}=x \)

Dado que la función resultante, \( x \), está definida para todos los reales \( x \), podemos estar tentados de pensar que el dominio de \( G\circ{G(x)} \) está formado por todos los reales. ¡Esto es incorrecto! Para pertenecer al dominio de \( G\circ{G(x)} \), \( x \) debe satisfacer dos condiciones:

(i) \( x \) debe pertenecer al dominio de \( G \).
(ii) \( G(x) \) debe pertenecer al dominio de \( G \).

El dominio de \( G \) está formado por todos los números reales excepto \( x=-1 \). Si se excluye el punto \( x=-1 \) del dominio de \( G\circ{G(x)} \), se cumplirá la condición (i). Obsérvese ahora que la ecuación \( G(x)=-1 \) no tiene solución \( x \), ya que es equivalente a \( (1-x)=-(1+x) \), o \( 1=-1 \). Por lo tanto, todos los números \( G(x) \) pertenecen al dominio de \( G \), y la condición (ii) se satisface sin ninguna restricción sobre la \( x \). El dominio de \( G\circ{G(x)} \) es \( (-\infty,-1)\cup{(-1,\infty)} \), es decir, todos los números reales excepto \( -1 \).

Mi intento:
(i) \( G\circ{G(x)}|x\in\mbox{dom}G(x) \) es lo que debe probarse: \( G\circ{G(x)}=x \): para que \( x \) esté en el dominio de \( G(x) \), hay que descartar \( x=-1 \);
(ii) \( G(x)|x\in\mbox{dom}G(x) \): esto no hay necesidad de probarlo.

Por lo tanto no veo diferencia entre \( G \) y \( G(x) \).

¡Un saludo!

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Teoría de Conjuntos / Cortaduras de Dedekind
« en: 31 Enero, 2021, 08:41 am »
Hola, estimado foro

Estoy dando vueltas a la fundamentación del análisis, y las Cortaduras de Dedekind son una de las vías. En este enlace se construyen de los números reales a partir de los números racionales:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=53074.0

Mi objetivo sería entenderlo. El otro punto de partida soy yo, Marquitos  8^): nociones básicas de teoría de conjuntos, estructuras algebráicas...Bueno, la primera duda:

I  \( \alpha \) es no vacío, y \( \alpha \) no es \( \mathbb Q \)
II Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)
III Si \( p\in \alpha \) entonces \( p<r \) para algún \( r\in \alpha \)

Un ejemplo de cortadura sería

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

¿De qué forma cumple este ejemplo las tres propiedades de las cortaduras?

Otra pregunta que me gustaría hacer es:

Necesito refrescar mis conocimientos de lógica proposicional, o de predicados, que no sé cuál de las dos resuelve mi duda: II implica las dos siguientes afirmaciones:

Si \( p\in \alpha \) y \( q\not\in \alpha \), entonces \( p<q \)
Si \( r\not\in \alpha \) y \( r<s \) entonces \( s\not\in \alpha \)

Justificación:
La primera afirmación es cierta puesto que si \( q<p \) por la condición (II) \( q\in \alpha \), contradicción. Y la segunda, si \( s\in\alpha \) por (II) \( r\in\alpha \), nuevamente, contradicción.

He estado estudiando estas dos implicaciones. El dominio es \( \mathbb R \), y he pensado que hace falta una secuencia de pasos (o tal vez no) dentro de la lógica de predicados. Y lo que he creído conseguir es el primer paso:

"Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb Q} \) y \( q<p \) entonces \( q\in \alpha \)", en lógica de predicados, sería \( \forall \;x\;y(P(x)Q(y)\wedge R(x,y)\longrightarrow{P(y)}) \), pero lo publico nada más que por querer tener iniciativa.

¡Un saludo!
 


18
Cálculo 1 variable / El Teorema del Valor Intermedio
« en: 25 Enero, 2021, 04:17 pm »
¡Hola RM! Estoy dando vueltas a este razonamiento, y no lo entiendo. Señalaré las dudas con letra cursiva.
 
TEOREMA 7 El Teorema del Valor Medio (Yo creo que se refiere al Teorema del Valor Intermedio)
Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \).

DEMOSTRACIÓN Para ser concretos, supongamos que \( f(a)<s<f(b) \) (la demostración para el caso \( f(a)>s>f(b) \) es similar). Sea \( S=\{x:\;a\leq{x}\leq{b}\qquad{y}\qquad{f(x)\leq{s}}\} \). \( S \) es no vacío (\( a \) pertenece a \( S \)) y acotado superiormente (\( b \) es una cota superior) y por tanto, por completitud, \( S \) tiene una cota superior mínima; llamémosla \( c \).
    Supongamos que \( f(c)>s \). Entonces \( c\neq{a} \) y, por continuidad, \( f(x)>s \) en algún intervalo \( (c-\delta,c] \), con \( \delta>0 \). Pero esto dice que \( c-\delta \) es una cota superior de \( S \) menor que la mínima cota superior, lo que es imposible. Por tanto, \( f(c)\leq{s} \). (No entiendo este supuesto. Entiendo que \( c\neq{a} \), pero no sigo el razonamiento que hace a continuación.)
    Supongamos que \( f(c)<s \). Entonces \( c\neq{b} \) y, por continuidad, \( f(x)<s \) en algún intervalo de la forma \( [c,c+\delta) \) para algún \( \delta>0 \). Pero esto dice que \( [c,c+\delta)\subset{S} \), lo que contradice el hecho de que \( c \) es una cota superior de \( S \). (Esto tampoco, pero pienso que tiene que ser una explicación parecida a la del párrafo anterior) Por consiguiente, no podemos tener \( f(c)<s \) y entonces \( f(c)=s \).

¡Un saludo!

19
Cálculo 1 variable / El Teorema Max-Min
« en: 24 Enero, 2021, 05:47 am »
Hola, RM

Tengo una duda que no consigo solucionar en la demostración de este teorema.

TEOREMA 6 El Teorema Max-Min

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), entonces existen puntos \( v \) y \( u \) en \( [a,b] \) tales que para todo \( x \) en \( [a,b] \) tenemos

\( f(v)\leq{f(x)}\leq{f(u)} \)

es decir, \( f \) toma sus valores máximo y mínimo en \( [a,b] \).

DEMOSTRACIÓN Por el teorema 5 (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115724.0) sabemos que el conjunto \( S=\{f(x):\;a\leq{x}\leq{b}\} \) tiene una cota superior, y por tanto, por el axioma de completitud, una cota superior mínima. Denominemos \( M \) a esta cota superior mínima. Supongamos que no existe ningún punto \( u \) en \( [a,b] \) tal que \( f(u)=M \). Entonces por el Teorema 1(a), \( 1/(M-f(x)) \) es continua en \( [a,b] \). Por el Teorema 5, existe una constante \( K \) tal que \( 1/(M-f(x))\leq{K} \) para todo \( x \) en \( [a,b] \). Entonces \( f(x)\leq{M-1/K} \),lo que contradice el hecho de que \( M \) es la mínima cota superior de los valores de \( f \). Por tanto, debe existir algún punto \( u \) en \( [a,b] \) tal que \( f(u)=M \). Como \( M \) es una cota superior de los valores de \( f \) en \( [a,b] \), tenemos que \( f(x)\leq{f(u)}=M \) para todo \( x \) en \( [a,b] \).
    La demostración de que debe existir un punto \( v \) en \( [a,b] \) tal que \( f(x)\geq{f(v)} \) para todo \( x \) en \( [a,b] \) es similar."

TEOREMA 1 Combinación de funciones continuas
(a) Si \( f \) y \( g \) son continuas en el punto \( a \), entonces también lo son \( f+g \), \( f-g \), \( fg \) y, si \( g(a)\neq{0} \), \( f/g \)

DEMOSTRACIÓN El apartado (a) es un replanteamiento de varias reglas de combinación de límites; por ejemplo,

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=(\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)})=f(a)g(a) \)

Duda: ¿por qué \( 1/(M-f(x)) \) es continua en \( [a,b] \)?. Si suponemos que no existe ningún punto \( u \) en \( [a,b] \) tal que \( f(u)=M \), entonces \( f(x)<M\Rightarrow{0<M-f(x)} \). ¿Cómo encajo \( 1/(M-f(x)) \)?.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Teorema de acotación
« en: 22 Enero, 2021, 11:48 am »
Hola, RM

Tengo un teorema, y me está costando mucho entenderlo. Intercalaré las dudas en cursiva. Espero no ser pesado. Todo este tiempo he estado esforzándome en vano. Ahí va:


Teorema 5  Teorema de la acotación

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), entonces está acotada en dicho intervalo; es decir, existe una constante \( K \) tal que

\( |f(x)|\leq{K} \) si \( a\leq{x}\leq{b} \).
 
DEMOSTRACIÓN Demostraremos que \( f \) está acotada superiormente; la demostración de que \( f \) está acotada inferiormente es similar. Para todo entero positivo \( n \), sea \( S_n \) el conjunto de puntos \( x \) en \( [a,b] \) tal que \( f(x)>n \):

\( S_n=\{x:a\leq{x}\leq{b}\qquad{y}\qquad{f(x)>n}\} \)

Desearíamos demostrar que \( S_n \) es vacío para algún \( n \). Se deduciría entonces que \( f(x)\leq{n} \) para todo \( x \) en \( [a,b] \); es decir, \( n \) sería una cota superior de \( f \) en \( [a,b] \).
      Supongamos, por el contrario, que \( S_n \) es no vacío para todo \( n \). Demostraremos que esto lleva a una contradicción. Como \( S_n \) está acotado inferiormente ( \( a \) es una cota inferior), por completitud, \( S_n \) tiene una cota inferior mínima; llamémosla \( x_n \) (véase la Figura III.2). Evidentemente \( a\leq{x_n} \). Como \( f(x)>n \) en algún punto de \( [a,b] \) y \( f \) es continua en dicho punto, \( f(x)>n \) en algún intervalo contenido en \( [a,b] \). Se deduce entonces que \( f(x)\geq{n} \) (si \( f(x_n<n, \) entonces, por continuidad, \( f(x)<n \) para alguna distancia a la derecha de \( x_n \), y \( x_n \) no podría ser la máxima cota inferior de \( S_n \)).No entiendo esta frase.
Para todo \( n \), tenemos \( S_{n+1}\subset{S_n} \). Por lo tanto \( x_{n+1}\geq{x_n} \) y \( \{x_n\} \) es una sucesión creciente. Como está

acotada superiormente (\( b \) es una cota superior) esta sucesión converge, por el Teorema 2.

Teorema 2

TEOREMA 2 Si \( \{x_n\} \) es una sucesión creciente acotada superiormente, es decir,

\( x_{n+1}\geq{x_n}\qquad y \qquad x_n\leq{K}\qquad\mbox{para}\;n=1,\;2,\;3,... \)

entonces \( \mbox{lim}\;x_n=L \) existe (en otras palabras, si \( \{x_n\} \) es decreciente y acotada interiormente (creo que se refiere a "inferiormente"), entonces \( \mbox{lim}\;x_n \) existe)

DEMOSTRACIÓN Sea \( \{x_n\} \) creciente y acotada superiormente. El conjunto \( S \) de números reales \( x_n \) tiene una cota superior, \( K \), y por lo tanto tiene una cota superior mínima, \( L \). De este modo, \( x_n\leq{L} \) para todo \( n \), y si \( \epsilon>0 \), entonces existe un número positivo \( N \) tal que \( x_N>L-\epsilon \) (si no fuera así, \( L-\epsilon \) sería una cota superior de \( S \) que sería menor que la cota superior mínima). Si \( n\geq{N} \), entonces tenemos \( L-\epsilon<x_N\leq{x_n}\leq{L} \), por lo que \( \left |{x_n-L}\right |<\epsilon \). Por consiguiente \( \mbox{lim}x_n=L \). La demostración para el caso de una sucesión decreciente acotada inferiormente es similar."

Esto lo entiendo.

[cerrar]

Sea \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \). Por el Teorema 3, \( a\leq{L}\leq{b} \).

Teorema 3

Si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \), y si \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \), entonces \( a\leq{L}\leq{b} \).

DEMOSTRACIÓN Supongamos que \( L>b \). Sea \( \epsilon=L-b \). Como \( \mbox{lim}x_n=L \), existe un \( n \) tal que \( |x_n-L|<\epsilon \). Por consiguiente, \( x_n>L-\epsilon=L-(L-\epsilon)=b \), que es una contradicción, ya que se supone que \( x_n\leq{b} \). Entonces, \( L\leq{b} \). Un argumento similar permite demostrar que \( L\geq{a} \).

Esto sí lo entiendo.

[cerrar]

Como \( f \) es continua en \( L \), \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \) existe por el Teorema 4.

Teorema 4

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \) y si \( \mbox{lim}x_n=L \),

entonces \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \)

La demostración es similar a la del Teorema 1(b):

Si \( f \) es continua en el punto \( L \) y si \( \lim_{x \to{a}}{g(x)}=L \), entonces tenemos

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(L)=f(\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}) \)

En particular, si \( g \) es continua en el punto \( a \) (de forma que \( L=g(a)) \), entonces \( \lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(g(a)) \), es decir, \( f\circ{g(x)}=f(g(x)) \) es continua en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( \epsilon>0 \). Como \( f \) es continua en \( L \), existe un \( k>0 \) tal que \( |f(g(x))-f(L)|<\epsilon \) siempre que \( |g(x)-L|<k \). Puesto que \( \lim_{x \to{a}}{g(x)}=L \), existe un \( \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-a|<\delta \), entonces \( |f(g(x))-f(L)<\epsilon| \) y \( \lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(L) \).

Esta demostración la entiendo

[cerrar]

 Pero como \( f(x_n)\geq{n} \), \( \mbox{lim}f(x_n) \) no puede existir. Esta contradicción completa la demostración. Esto no lo entiendo

¡Un saludo!

PS: Es posible que haya alguna errata: el cuerpo de texto es muy grande :'(


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