Hola
Obviando la posdata es fácil.
Usando el
Corolario.
Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas es continua y no se anula, la otra función es continua.
\( g(x)\cdot{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=1 \) para \( x\in{A} \), constante y por lo tanto continua,
Ese corolario además tiene toda la pinta de salir de dos resultados previos: el producto de continuas es continuo y la inversa de una continua no nula es continua, que es justo lo que pretendes probar.
Para resolver lo que te piden la clave es acotar por ejemplo así:
\( \left|\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{g(a)}\right|=\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|} \)
Ahora como \( g(a)\neq 0 \) y \( g \) es continua en \( a \) existe un \( \delta_1>0 \) tal que si:
\( |x-a|<\delta_1 \) entonces \( |g(x)-g(a)|<|g(a)|/2 \); en particular \( |g(x)|>|g(a)|/2 \)
Por tanto si \( |x-a|<\delta_1 \)
\( \dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}<\dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2} \)
ahora necesitas garantizar que:
\( \dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2}<\epsilon \)
es decir que:
\( |g(x)-g(a)|<\dfrac{\epsilon |g(a)|^2}{2} \)
Hazlo volviendo a aplicar la continuidad de \( g(x) \) en \( a \).
Saludos.