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Temas - franma

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1
Temas de Física / Choque inelástico y resorte.
« en: Ayer a las 11:54 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un bloque de masa \( m=0.45 kg \) se mueve a \( 2.0 m/s \) y choca inelásticamente con otro de masa \( M=0.35 kg \) en reposo, que tiene un resorte y un sistema mecánico que accionado al comprimir el resorte atrapa la masa \( m \).
¿Cuánta energía se almacena en el resorte después del choque?
Si la compresión del resorte es de 0.95 cm, ¿Cuál es la constante del resorte?

Adjunto la imagen del ejercicio, me había olvidado.


Realice lo siguiente:
\( p_i=mv \)
\( p_f=(m+M)v_f \)

\( v_f=\dfrac{mv}{m+M} \)

Ahora con energía:
\( E_i=\dfrac{mv^2}{2} \)

\( E_f=\dfrac{(m+M)v_f^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} \)

\( \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{(m+M)(\dfrac{mv}{m+M})^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} \)

\( mv^2 = \dfrac{m^2v^2}{m+M} + kx^2 \rightarrow \boxed{kx^2= m(v^2 - \dfrac{mv^2}{m+M})} \)

Para la segunda parte:

Si la compresión del resorte es de 0.95 cm, ¿Cuál es la constante del resorte?

\( k= mv^2 - \dfrac{m^2v^2}{m+M} \rightarrow k= \dfrac{mv^2}{x^2} - \dfrac{m^2v^2}{(m+M)x^2} \)

Remplazando con los datos del ejercicio se tiene (¿aquí debo pasar la compresión a metros?):
Si no debo pasarla a metros:
\( k\approx 0.8725 \)

Si debo pasarla a metros:
\( k\approx 8725 \)

¿Es correcta mi solución? Y me queda la duda si se debe o no pasar la compresión a metros.

Saludos,
Franco.

2
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una partícula de masa \( m_1 \) que se mueve a una velocidad \( v_1i \) choca en forma perfectamente inelástica con \( m_2 \), inicialmente en reposo.
(a) ¿Cuál es la energía cinética del sistema antes de la colisión?
(b) ¿Cuál es la energía cinética del sistema después de la colisión?
(c) ¿Qué fracción de la energía cinética original se perdió? (Considere la expresión: \( \displaystyle1-\frac{K_f}{K_i} \))

Sea \( v_G \) la velocidad del centro de masa del sistema. Analice la colisión desde un marco de referencia que se mueva con el centro de masa. Repita las partes (a), (b) y (c), como las ve un observador situado en este marco de referencia. ¿Se pierde la misma cantidad de energía cinética en cada caso? Explique.

Corregido (Gracias Delmar):

Para la primera parte (desde un referencial solido):
(a) \( \displaystyle K_i=\frac{m_1v_1^2}{2} \)
(b) \( \displaystyle K_f=\frac{(m_1+m_2)v_f^2}{2} \)

(c) \( \displaystyle 1 - \frac{m_1v_1^2}{(m_1+m_2)v_f^2} \)

Segunda parte(referencial que se mueve con el centro de masa):
Cualquier velocidad medida desde este referencial será la velocidad del objeto desde el referencial fijo menos la velocidad del referencial móvil.
(a) \( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1-v_G)^2}{2} + \frac{m_2(-v_G)^2}{2} \)

(b) \( \displaystyle K_f=\frac{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2}{2} \)

(c) \( \displaystyle 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2} \)

¿Es correcto? No se que decir sobre si se pierde la misma cantidad de energía en cada caso (referencial móvil y fijo).

Saludos,
Franco.

3
Temas de Física / Centro de masa y velocidad relativa.
« en: Ayer a las 08:25 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un hombre de masa \( m \) se halla asido a la parte inferior de una escalera de cuerda suspendida de un globo de masa \( M \); véase la figura. Inicialmente, el globo se halla estático, respecto al terreno.
(a) Si el hombre comienza a trepar por la escalera a una velocidad \( v \) (con respecto a la escalera), ¿en qué dirección y a qué velocidad (respecto a la Tierra) se moverá el globo?
(b) ¿Cuál es el estado de movimiento después de que el hombre deja de trepar?



Me quede trancado al comienzo...

La velocidad del centro de masa al comienzo es 0:
\( \displaystyle V_{cm}=\frac{v_1m + v_2M}{m+M} \) por lo que \( v_1m + v_2M=0 \)

Ahora, la velocidad del hombre me la dan en respecto al globo, su velocidad respecto al suelo seria (la del globo respecto al suelo mas la suya):

\( V_{HS}=V_{GS} + V_{HG}  \)
\(  V_{HS}=v_2 + v \)

\( v_1m + v_2M=0 \rightarrow (v_2 + v)m + v_2M=0 \rightarrow v_2 = \displaystyle \frac{-vm}{m+M} \)

¿Es correcto?

(a) El globo se movería hacia abajo (el suelo).
(b) Cuando el hombre deje de trepar todo se quedara quieto de nuevo (tanto el hombre como el globo).

Saludos,
Franco.

4
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Describir las siguientes regiones del espacio como intersección de semiespacios:
a) El cubo que tiene como vértice el punto \( (0,0,0) \) y los vértices adyacentes de este son \( (1,0,0), (0,1,0)
 \) y \( (0,0,1) \).
b) La pirámide de base el cuadrado de vértices \( (1,1,0), (1,−1,0), (−1,1,0), (−1,−1,0)  \) y vértice \( (0,0,1) \).

Lo que no entiendo de este ejercicio es que es exactamente un semiespacio y como delimitarlo.
En \( \mathbb{R}^2 \) si quiero delimitar un cuadrado de vértices \( (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \) puedo utilizar los siguientes semiplanos: \( 0 \leq x \leq 1 \) y \( 0 \leq y \leq 1 \) y su intersección será el cuadrado buscado.

Los semiespacios son como semiplanos pero en 3D ¿verdad? Lo que no se es como delimitarlos.

Intuyo que necesitare 3 semiespacios para el cubo, uno mas que me delimite la profundidad comparado con el de \( \mathbb{R}^2 \).

Saludos,
Franco.

5
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Centro de masa.
« en: 14 Mayo, 2021, 02:28 am »
Buenas,

No se asusten por el nombre  >:D es sobre centro de masa pero con un enfoque geométrico.
El enunciado dice lo siguiente:
Si se tienen \( n \) partículas puntuales de masas \( m_i \) ubicadas en los puntos \( P_i \) el centro de masa se puede definir como:

\( \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_iP_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}} \)

Probar que:
a) El centro de masa de dos puntos esta en el segmento de recta por ellos.
b) Si n puntos están en una recta el centro de masa también esta en esa recta.
c) El centro de masa de tres puntos del plano esta en el triangulo que tiene estos puntos como vértices.

(a) La verdad no se bien por donde comenzar, se me ocurre al menos que al estar ponderando las posiciones por la masa del objeto y dividendo entre la masa total (al fin y al cabo solo se multiplican escalares por vectores colineales) así el centro de masa debe al menos estar en la recta que une ambos cuerpos. No sabría como acotar esto al segmento.

Para las otras partes estoy aun mas perdido.

Este ejercicio tengo ganas de terminarlo yo (así practico mas mi geometría  :laugh: :laugh:) así que por favor dadme consejos o ideas pero no la solución.

Saludos,
Franco.

6
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Sean las rectas r y s definidas:

r:\begin{cases}{x = 4 − 4\lambda}\\y=5+4\lambda\\z=-2+\lambda\end{cases}

s:\begin{cases}{x=2+2\lambda}\\y=5+2\lambda\\z=1-\lambda\end{cases}

a) Encontrar la normal común a ambas rectas.
b) Calcular la distancia entre ambas rectas, y hallar puntos P y Q en r y s respectivamente, tales que
la distancia entre P y Q sea igual a la distancia entre r y s.

Lo único que se hacer de este ejercicio es calcular la distancia entre ambas rectas.

Se ve a primera instancia que las rectas no son paralelas así que calculare la distancia con la formula para 2 rectas no colineales.
Tomo un punto de s y uno de r:
\( P_r=(4,5,-2) \)
\( P_s=(2,5,1) \)

\( \vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (2,5,1) - (4,5,-2) = (-2,0,3) \)

Ahora hago el producto vectorial de sus vectores directores:

\( \vec{V_r} \)x\( \vec{V_s}=\begin{vmatrix}{i}&{j}&{k}\\{-4}&{4}&{1}\\{2}&{2}&{-1}\end{vmatrix}=(-6,-2,-16) \) Por simplicidad llamémosle \( v \).

\( \displaystyle d(r,s)=\frac{|\langle \vec{P_rP_s},v \rangle|}{||v||} = \frac{36}{\sqrt{296}} \)

Se me ocurre tal vez para encontrar puntos en ambas rectas que disten eso sustituir en la formula para distancia entre 2 puntos las ecuaciones paramétricas de r y s e intentar despejar lambda y mu pero no se si funcione.

Cualquier ayuda es bienvenida.

\( \color{red}{\text{Agrego:}} \)
Para el apartado (a) ¿bastaría con hacer el producto vectorial entre sus vectores directores? Ya que obtengo un vector perpendicular a ambas rectas. Si ese es el caso el resultado es el que utilice para el calculo de distancia \( v=(-6,-2,-16) \)

Saludos,
Franco.

7
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
1. Sea \( f:R^3 \rightarrow R^3  \) una función. Decimos que \( f \) preserva las distancias, es decir, que para cualquier par de puntos \( P,Q \) se cumple \( d(P,Q) =d(f(P),f(Q)) \).

a) Probar  que  si \( f \) preserva  la  distancia  entonces  se  verifica  que \( ‖P−Q‖=‖f(P)−f(Q)‖ \),  es  decir,preserva la norma de los vectores.
b) Si sabemos ademas que \( f(O) =O \), probar que f preserva ángulos, es decir que si el angulo entre dos vectores no nulos \( u,v \) es \( \alpha \) entonces el angulo entre \( f(v) \) y \( f(u) \) también es \( \alpha \).

Para la parte (a):

\( ‖P−Q‖=‖f(P)−f(Q)‖  \) que se puede escribir como \(  ‖\vec{QP}‖=‖\vec{f(Q)f(P)}‖  \)  y esto se puede escribir como \(  d(Q,P)=d(f(Q),f(P))  \) esto se cumple ya que por hipótesis \( f \) preserva la distancia.

Para la parte (b):
\( \displaystyle cos(\alpha)=\frac{\langle v,u \rangle}{‖v‖ \cdot ‖u‖} \) esto tendría que ser igual a \( \displaystyle cos(\alpha)=\frac{\langle f(v),f(u) \rangle}{‖f(v)‖ \cdot ‖f(u)‖} \)

Entiendo que ya demostré que se conservan las normas , así que me quedaría probar que el producto interno se mantiene, no se por donde empezar eso ni en donde debo utilizar el hecho de que \( f(O)=O \).

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

8
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
En cada caso hallar la ecuación de todos los planos que satisfacen las condiciones especificadas:
Pasa por el punto \( C= (1,1,1) \), es paralelo al eje \( \vec{Oy} \) forma un  angulo de \( \frac{\pi}{6} \) con el eje \( \vec{Ox} \).

Este me esta costando bastante, hasta el momento tengo lo siguiente:
El eje Oy es la recta \( (x,y,z)=(0,0,0) + \lambda (0,1,0) \) ,  ¿puedo usar su vector director como vector para mi plano?
Ademas cuento con el punto (1,1,1) por lo que me falta 1 vector director mas para mi plano el cual llamare v.

Se que \( \displaystyle cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{<v,(1,0,0)>}{||v||} \) ¿Es correcto utilizar el vector director del eje x aquí?

Si lo anterior es correcto y logro despejar v el plano quedaría: \( \pi = (1,1,1) + \lambda (0,1,0) + \mu v \)

Saludos,
Franco.

9
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Encontrar las ecuaciones parametrizadas y reducidas de la recta que pasa por el punto \( (-1,2,3) \), se intersecta con la recta \( P=(1,-1,3) + \lambda (3,2,5)  \) y es ortogonal a la recta:
\begin{cases}{x=-1+6\lambda}\\y= -3-2\lambda \\ z= 2-3\lambda \end{cases}

A diferencia de el ejercicio anterior, al hablar de ortogonalidad creo que en este caso si se refiere solamente a que su producto interno sea 0, y no que ademas de eso se corten.

Mi problema con este ejercicio es que no se que estrategia seguir exactamente, si alguien me pudiese dar alguna idea de los pasos a seguir yo lo intentare resolver.

Saludos,
Franco.

10
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Encontrar la ecuacion reducida y parametrica de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a:
\begin{cases}{2x+y-4z+\color{red}{2}\color{black}{=0}}\\4x-y-5z+4=0 \end{cases}
Corregida la ecuación de la recta que estaba mal copiada.

Hice lo siguiente:
La pase a forma paramétrica:
\begin{cases}{x=-1+\frac{3}{2}\lambda}\\y=\lambda \\z=\lambda \end{cases}

Ahora el producto escalar de sus vectores directores debe de ser 0 para que sean perpendiculares:
Para la recta buscada existen infinitos vectores directores, algunos que encontré:
\( (2,-3,0) , (0,0,-6) , (0,-6,0) \)

El problema es que hay infinitos posibles vectores directores, ¿como se cual debo usar?

O tal vez estoy confundiendo perpendicular con ortogonal (Si es que tienen algo distinto).

Saludos,
Franco.

11
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Producto escalar.
« en: 11 Mayo, 2021, 03:12 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
¿Es cierto que si \( v \) es un vector no nulo entonces la igualdad \( 〈u,v〉=〈w,v〉 \) implica \( u=w \)? ¿Que puede decirse de \( u−w \)?

Para la primera parte es fácil dar un contra ejemplo:
\( u=(10,0,0) \)
\( w=(5,0,5) \)
\( v=(1,1,1) \)

\( 〈u,v〉= 〈w,v〉 = 10 \) sin embargo \( u≠w \).

No le encuentro sentido a la parte 2, no veo que tiene de especial \( u-w \), ¿Alguien me podría dar alguna idea?

Saludos,
Franco.

12
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sean \( u \) y \( v \) dos vectores de \( R^3 \)
Hallar \( ‖v‖ \) y \( ‖u+v‖ \) sabiendo que el angulo entre \( u \) y \( v \) es \( \frac{\pi}{4} \), que \( ‖u‖ = 3 \) y que el angulo entre \( u+v \) y \( u \) es igual a \( \frac{\pi}{6} \).

Hasta el momento hice lo siguiente:
\( <u+v,u>=(u_1+v_1)u_1+(u_2+v_2)u_2+(u_3+v_3)u_3=‖u‖^2 + <u,v> \)

\(  cos(\frac{\pi}{4})=\frac{<u,v>}{‖u‖\cdot‖v‖} \rightarrow <u,v>=cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ \)

Luego aqui he intentado despejar en:
\( \displaystyle cos(\frac{\pi}{6})=\frac{<u,v> + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} = cos(\frac{\pi}{6})=\frac{cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} \)

Pero no logro llegar a nada.

Espero alguien me pueda ayudar.

Saludos,
Franco.

13
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Se consideran las matrices:
\( A=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{g}&{h}&{i}\end{bmatrix} \)

\( B=\begin{bmatrix}{4g+4h}&{4d+4e}&{4a+4b}\\{g+2h}&{d+2e}&{a+2b}\\{i/2}&{f/2}&{c/2}\end{bmatrix} \)

Sabiendo que \(  det(A) = 2 \) calcular el determinante de B.

Hice lo siguiente:

\( \begin{vmatrix}{4g+4h}&{4d+4e}&{4a+4b}\\{g+2h}&{d+2e}&{a+2b}\\{i/2}&{f/2}&{c/2}\end{vmatrix} \)

\( 4\begin{vmatrix}{g+h}&{d+e}&{a+b}\\{g+2h}&{d+2e}&{a+2b}\\{i/2}&{f/2}&{c/2}\end{vmatrix} \)

\( 4\cdot\frac{1}{2}\begin{vmatrix}{g+h}&{d+e}&{a+b}\\{g+2h}&{d+2e}&{a+2b}\\{i}&{f}&{c}\end{vmatrix} \)

Aquí me perdí ya que no se a que fila se le suma un múltiplo de otra.

\( 4\cdot\frac{1}{2}\begin{vmatrix}{g}&{d}&{a}\\{g+2h}&{d+2e}&{a+2b}\\{i}&{f}&{c}\end{vmatrix} \)

\( 4\cdot\frac{1}{2}\begin{vmatrix}{g}&{d}&{a}\\{2h}&{2e}&{2b}\\{i}&{f}&{c}\end{vmatrix} \)

\( 4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\begin{vmatrix}{g}&{d}&{a}\\{h}&{e}&{b}\\{i}&{f}&{c}\end{vmatrix} \)

\( 4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\begin{vmatrix}{g}&{h}&{i}\\{d}&{e}&{f}\\{a}&{b}&{c}\end{vmatrix} \)

\( -4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\begin{vmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{g}&{h}&{i}\end{vmatrix} \)

El resultado seria \( -4 \cdot det(A) = -8 \) pero este no es el que muestra el solucionario.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.



14
Temas de Física / Motocicleta en loop (calculo de la normal).
« en: 01 Mayo, 2021, 03:58 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

La figura muestra un motociclista en un loop vertical de radio \( r = 5.0 m \). Al entrar al loop, el motociclista apaga el motor. El peso de la moto y el motociclista es de \( 1400 N \). No se consideran los efectos del rozamiento.

Luego de dar varias vueltas, cuando la moto pasa por el punto 1, la fuerza normal entre la pista y la moto es de \( 11200 N \). Calcule la fuerza normal entre la pista y la moto al pasar por el punto 3.

Nota: considere despreciables las dimensiones del sistema moto-motociclista.



Hice lo siguiente pero se hizo bastante largo y tedioso:
Spoiler
Fue por energía y dinámica:

En el punto 1:
\( \displaystyle N-mg=\frac{mv^2}{R} \)
\( \displaystyle 11200-1400=\frac{mv^2}{R} \)

\( \displaystyle R\frac{9800}{m}=v^2 \)

Ahora la energía (tomando como \( U_g=0 \) el suelo)
\( \displaystyle E_1 = \frac{mv_1^2}{2} \)

\( \displaystyle E_3 = \frac{mv_3^{2}}{2} + mg2R  \)

Despejo la velocidad en el punto 3:

\( \displaystyle v_3^2 = R\frac{9800}{m} - 4gR \)

Dinámica en el punto 3:

\( \displaystyle -N - mg = -\frac{mv_3^2}{R} \)

Sustituyendo con el valor de la velocidad:

\( \displaystyle -N - mg = -\frac{m(R\frac{9800}{m} - 4gR)}{R} = -9800 + 4mg \)

\( \displaystyle -N = -9800 + 4(1400) + 1400 = -2800 \)

\( N=2800N \)

[cerrar]

¿Es correcto? Además de esto me gustaría saber si hay algún otro método para calcular la normal con menos cuentas etc.

Saludos,
Franco.

15
Temas de Física / Péndulo cónico en ascensor.
« en: 01 Mayo, 2021, 01:54 am »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Una masa \( m \) que pende de un hilo fijo del techo de un ascensor, describe un movimiento circular uniforme de radio \( R = 1.0 m \) y velocidad angular \( \omega = 2.0 rad/s \) en un plano horizontal, como se muestra en la figura. El ascensor sube con aceleración \( a = 5.0 m/s^2 \).
Calcule el ángulo \( \theta \) entre el hilo y la vertical en función de los parámetros del problema.



Intente hacer algo parecido al ejercicio de la maquina de Atwood del otro día pero no tengo muy claro como comenzarlo.
\( a_1=a-a_r \)

En el eje x:
\( Tsin(\theta)=m(a - \frac{v^2}{R}) \)

En el y:
\( Tcos(\theta) - mg = 0 \)

No creo que esto este bien, necesitaría algún consejo para comenzarlo.

Saludos,
Franco.


16
Temas de Física / Movimiento relativo (avión).
« en: 27 Abril, 2021, 09:11 pm »
Buenas,

Ya lo se... otra vez con uno de movimiento relativo  :banghead:

El enunciado dice lo siguiente:
Un avión que viaja a una velocidad de \( 600 km/h \) (con respecto al aire) se propone volar hacia una ciudad a \( 2000 km \) de distancia situada exactamente al norte del aeropuerto de partida. Durante el vuelo el avión se va a encontrar con un viento que tiene una velocidad absoluta de\(  200 km/h \) (con respecto al suelo) en dirección Este-Oeste (como se ilustra en la figura). Calcule el ángulo θ (medido con respecto al norte en sentido horario) que el piloto debe apuntar el avión y el tiempo total de vuelo T.



Lo que hice fue lo siguiente:

La velocidad del avión respecto al suelo seria la velocidad del aire respecto al suelo mas la del avión respecto al aire.
Lo hice por Pitágoras:
\( V_{avs}=V_{as}+V_{ava}^2 = V_{avs}=\sqrt{200^2 + 600^2}= 632.4km/h \)

Luego calcule el ángulo de este vector hasta el norte (eje y):
\( \theta = tan^{-1}(\frac{200}{600}) = 18.43° \)

Luego \( T=\frac{2000}{632}=3.16hrs \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

17
Temas de Física / Otro de movimiento relativo.
« en: 25 Abril, 2021, 11:35 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

En un sistema de referencia S se observa que la velocidad de una partícula P es \( v_P\hat \imath \) . Los sistemas de referencia A y B se mueven con respecto a S con velocidades\(  V_A\hat\jmath \) y \( v_b\hat\jmath \) respectivamente.
Considere \( v_A,v_B,v_P>0 \). Determine el valor de \( v_B  \) sabiendo que el módulo de la velocidad de P con respecto a A vale \( 143 m/s \), con respecto a B vale \( 145 m/s \) y \( v_A=7 m/s \).



Hice lo siguiente:

\( V_{PA} = V_{PS} - V_{AS} \)
\( 143 = V_{PS} - 7 \)
\( V_{PS}=150 \)

\( V_{PB} = V_{PS} - V_{BS} \)
\( 145=150-V_{BS} \)
\( V_{BS}=5 \)

Ahora para el modulo solo queda \( 5^2 =25m/s \).

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

18
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Se lanza una pequeña partícula de masa \( m \) sobre una superficie horizontal sin fricción, partiendo con velocidad \( v_0 \) . Luego sube un tramo inclinado, de altura \( h \), e ingresa a una región horizontal de largo \( L \), en la que su coeficiente de fricción dinámico con la superficie vale \( \mu_d \) . Finalmente desciende por otro tramo sin fricción hasta la altura inicial. Si la velocidad final es \( v_f \) , ¿Cuánto vale el coeficiente \( \mu_d \)?



Hice lo siguiente:
Plantee 4 momentos, cuando sale(\( E_1 \)) cuando recién sube la rampa(\( E_2 \)) cuando sale del tramo con rozamiento(\( E_3 \)) y cuando llega al final(\( E_4 \)).

\( \displaystyle E_1 = \frac{mv_0^2}{2} \)

\( \displaystyle E_2 = \frac{mv_1^2}{2} + mgh \)

\( E_2 = E_1 \longrightarrow \displaystyle  \frac{mv_1^2}{2} + mgh = \frac{mv_0^2}{2} \)

\( \displaystyle  \cancel{m}v_1^2  = \cancel{m}v_0^2 - 2\cancel{m}gh \longrightarrow \boxed{v_1^2 = v_0^2 -2gh} \)

\( \displaystyle E_3 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh \)

\( \displaystyle E_4 = \frac{mv_f^2}{2} \)

\( E_4 = E_3 \) realizando el procedimiento análogo obtengo \( \boxed{v_2^2 = v_f^2 -2gh} \)

Ahora para calcular \( \mu_d \).

\( \displaystyle W_{fr} = \bigtriangleup E = (\frac{mv_2^2}{2} + mgh) - (\frac{mv_1^2}{2} + mgh) = \frac{mv_2^2 - mv_1^2}{2} =  \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2} = \frac{m(v_f^2 - v_0^2)}{2} \)

\(  \displaystyle \mu_d \cdot mg \cdot L = \frac{m(v_f^2 - v_0^2)}{2} \longrightarrow \boxed{\mu_d = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2gL}} \)

El resultado correcto del solucionario es \( \displaystyle \cancel{\mu_d = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2gL} + \cancel{\frac{h}{L}}} \frac{v_0^2 - v_f^2}{2gL} \) lo que me hace creer que me deje alguna potencial gravitatoria por el camino... pero no logro ver donde.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

19
Temas de Física / Poleas y plano inclinado.
« en: 25 Abril, 2021, 07:15 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Considera un sistema que consta de un bloque 1 de masa \( 4m \), un bloque 2 de masa \( m \), y un bloque 3 de masa \( m \). Los bloques están conectados entre sí por una cuerda ideal, que pasa por poleas ideales sin masa ni fricción en el eje. El bloque 3 está sobre un plano rugoso de coeficiente de fricción dinámica de valor \( \mu_k=\frac{1}{\sqrt3} \), que forma un ángulo \( \theta=30° \) con la horizontal, tal como indica la figura. Se libera el sistema a partir del reposo y comienza a moverse. Indica el módulo de la tensión.



Hasta el momento hice lo siguiente:

2da ley de Newton en los 3 cuerpos:

Cuerpo 2:
y: \( T_1 - mg = ma_1 \)

Cuerpo 1:
y: \( 2T_1 - 4mg = 4ma_2 \)

Cuerpo 3 (para este tome como eje de referencia uno paralelo al plano inclinado):
x: \( -T_1 + sin(\theta)mg + f_r = ma_3 \)
y: \( N - cos(\theta)mg=0 \)

De la ultima saco la normal y por ende la fuerza de rozamiento.

\( f_r = mgcos(\theta)\mu_k = \frac{1}{2}mg \)

Quedaría finalmente:
x: \( -T_1 + mg = ma_3 \)

Además realice la ecuación de vinculo de la cual obtuve:
\( a_{C1} + 2a_{C2} + a_{C3}=0 \)

Tendría el sistema de ecuaciones:
\begin{cases}{T_1 - mg = ma_1}\\2T_1 - 4mg = 4ma_2 \\-T_1 + mg = ma_3 \\ a_{1} + 2a_{2} + a_{3}=0\end{cases}

Es correcto el razonamiento hasta aquí? Me quede trancado para resolver el sistema ya que llego a algunos resultados extraños.

Saludos,
Franco.

20
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Dos bloques de masas \( m_1 \) y \( m_2 \), están unidos por una cuerda que pasa por una polea unida al techo del ascensor. La cuerda es ideal y la polea no tiene masa ni realiza fricción en el eje. El ascensor sube con aceleración \( a \), como se muestra en la figura. Determina la aceleración \( a1 \) del bloque de masa \( m_1 \), vista por un observador fuera del ascensor, considerando que el sentido positivo es hacia arriba.



Lo que hice hasta el momento:

2da ley de Newton:

Bloque 1:
\( T_1 - m_1g = m_1a_1 \)

Bloque 2:
\( T_1 - m_2g = m_2a_2 \)

Luego de la ecuación del vinculo conseguí lo siguiente:
\( a_2 = -a_1 \)

Con esto ya tendría mi sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (\( T_1 \) y \( a_1 \)) para despejar... pero me surgió la siguiente duda:
¿Donde debería situar mi sistema de referencia para las leyes de Newton? ¿Es correcto lo que hice? Porque el ascensor esta acelerado y eso me causa bastantes dudas.

Por otro lado, me piden \( a_1 \) respecto a un espectador fuera del ascensor, entonces ¿debo plantear ahora la relaciona de aceleración relativa o luego de resolver el sistema? y respecto a este ultimo punto... he visto en varios lugares la posición/velocidad/aceleración relativa como una suma y en otros lugares como una resta ¿Cuál es la manera correcta? ¿O son casos diferentes?

Perdonarme por tantas dudas pero no termino de entender como realizar los ejercicios de mov relativo.

Muchas gracias y saludos,
Franco.

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