[AndresCGF]

Buen día a todos, mi nombre es Andrés Guzmán, soy estudiante de ingeniería de sistemas, estoy cursando la asignatura modelos matemáticos y se me asignado resolver el siguiente problema por medio de un software. Pero me gustaría saber si alguien me puede ayudar con la forma o algún dato de como se resuelve de forma manual. Gracias de antemano.

 (El Problema es el 8.2.3, pag. 156, del libro modelamiento matemáticos de Edwards)

Un tanque cónico de 2 m de altura está lleno de agua y el radio de la superficie es de 1 m. Después de 8 h, la profundidad del agua es de solo 1,5 m. Si suponemos que el agua se evapora a una velocidad proporcional al área de superficie expuesta al aire, obtenga un modelo matemático para predecir el volumen de agua en el tanque en cualquier tiempo t.

[delmar]

Hola AndresCGF

Bienvenido al foro


Los tanques cónicos de las fábricas están con el vértice en la parte inferior (como un barquillo de helado), considerando que este vértice coincide con el origen de coordendas, el eje X es paralelo al suelo y el eje Y perpendicular al suelo (coincide con el eje del cono) se tiene que la profundidad en el instante 0 hras y 8 hras son respectivamente \( h(0)=2 \ m, \ h(8)=1.5 \ m \), la profundidad h es una función del tiempo, por la evaporación del agua. La evaporacion se  determina como la variación del volumen del agua respecto al tiempo \( \displaystyle\frac{dv}{dt}=k \ A(t) \)  ha de ser negativa, donde k es una constante y A(t) es el área de la superficie del agua en contacto con el aire. El volumen del agua en un tiempo t es el volumen de un cono cuya altura es h y cuyo radio de la base es el radio de la superficie expuesta al aire x entonces \( v(t)=(\displaystyle\frac{1}{3}) \ \pi \ x^2 \ h \) pero \( \displaystyle\frac{x}{h}=\displaystyle\frac{1}{2} \) esto implica \( v(t)=(\displaystyle\frac{1}{12}) \ \pi \ h^3 \) Ec 1, en consecuencia \( \displaystyle\frac{dv}{dt}=(\displaystyle\frac{1}{4}) \pi \ h^2 \ \displaystyle\frac{dh}{dt}=k \pi (\displaystyle\frac{h}{2})^2 \) en consecuencia \( \displaystyle\frac{dh}{dt}=k \) intengrando desde 0 se tiene \( h-2=kt \) con el dato que en t=8 la profundidad es h=1.5 se determina k sustituyendo en la Ec 1 se tiene lo que se pide


Saludos

[AndresCGF]

Hola, al decir que se debe sustituir k en la Ec1, la ecuación seria :

\( \frac{dv}{dt} = \frac{1 }{4} \pi\ h^2 \frac{dh}{dt} = k  \pi \frac{h}{2 }^2  \)
o la anterior? O como se haría esa parte.

Saludos.

[delmar]

La Ec 1 esta nombrada es esta \( v(t)=(\displaystyle\frac{1}{12}) \ \pi \ h^3 \) lo que sucede es que de la ecuación \( h-2=kt \) se puede determinar k, por que se sabe que para t=8 se tiene  h=1.5, al conocer k, h como función del tiempo queda determinada y se sustituye en la Ec 1 y el volumen v queda determinado como función del tiempo, a ver si lo avanzas ¿Cuánto vale k? ¿Como es h en función del tiempo? ¿Cuál es la expresión del volumen v en función del tiempo?

Saludos