[Marcos Castillo]

Hola, Rincón, tengo un límite y esfuerzos vanos por resolverlo:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}} \)

y para ello tengo la definición de exponencial general \( a^x \)

\( a^x=e^{x\ln{a}} \)

Pero es que \( \infty \) no es un número real. Tal vez tomando logarítmos

\( \ln{\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{(1+x)}}=\ln{a}\displaystyle\lim_{x \to{0}}{e^x}\ln{\displaystyle\frac{1}{x}} \)

\( 1=\ln{a}=\ln{(1+x)} \)

Y aquí ya no avanzo. Es que ni siquiera sé si he hecho algo correctamente.

¡Un saludo!

[feriva]

Hola, Rincón, tengo un límite y esfuerzos vanos por resolverlo:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}} \)

y para ello tengo la definición de exponencial general \( a^x \)

\( a^x=e^{x\ln{a}} \)

Pero es que \( \infty \) no es un número real. Tal vez tomando logarítmos

\( \ln{\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{(1+x)}}=\ln{a}\displaystyle\lim_{x \to{0}}{e^x}\ln{\displaystyle\frac{1}{x}} \)

\( 1=\ln{a}=\ln{(1+x)} \)

Y aquí ya no avanzo. Es que ni siquiera sé si he hecho algo correctamente.

¡Un saludo!

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log{\color{blue}(}(1+x)^{\frac{1}{x}}{\color{blue})}}
  \)



Ah, si eso ya lo habías pensado, perdona.

Es muy fácil, si x tiene a cero, entonces 1/x tiende a infinito; y cambias eso y el límite, es equivalente

Nada, que lo estaba mirando al revés. Yo sí que estoy al revés


\( {\displaystyle \lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{x}=e}
  \) (simplemente por la forma que tiene).

Saludos.

[Eparoh]

Hola a ambos.

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log(1+x)^{\color{red}\frac{1}{x}}}
  \)

Saludos

Creo que hay una errata, sería

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x}log(1+x)}
  \)

y desde ahí, pudes utilizar L'Höpital.

Un saludo.

[Pie]

Hola a ambos.

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log(1+x)^{\color{red}\frac{1}{x}}}
  \)

Saludos

Creo que hay una errata, sería

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x}log(1+x)}
  \)

y desde ahí, pudes utilizar L'Höpital.

Un saludo.

Si entra dentro del logaritmo seria lo mismo creo.

[feriva]

Hola a ambos.

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log(1+x)^{\color{red}\frac{1}{x}}}
  \)

Saludos

Creo que hay una errata, sería

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x}log(1+x)}
  \)

y desde ahí, pudes utilizar L'Höpital.

Un saludo.

Sí. Gracias, Eparoh; ahora corrijo

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( g(x) = \ln(1+x)  \) tenemos:
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot \ln(1+x)}  = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot g(x)}   \)
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x} = g'(0)  \)

[Marcos Castillo]

Hola, Marcos.

Es muy fácil, si x tiene a cero, entonces 1/x tiende a infinito; y cambias eso y el límite, es equivalente

¡Ese feriva! Me alegro de poder saludarte.

Cita perfecta.

[Marcos Castillo]

Sea \( g(x) = \ln(1+x)  \) tenemos:
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot \ln(1+x)}  = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot g(x)}   \)
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x} = g'(0)  \)

¡Gracias, JP!

Eparoh, Pie, mensajes hipernecesarios.

¡Un saludo!

[Eparoh]

Hola.

Hola a ambos.

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log(1+x)^{\color{red}\frac{1}{x}}}
  \)

Saludos

Creo que hay una errata, sería

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x}log(1+x)}
  \)

y desde ahí, pudes utilizar L'Höpital.

Un saludo.

Si entra dentro del logaritmo seria lo mismo creo.

No, no es lo mismo porque el exponente estaba fuera del alcance del logaritmo, no dentro.

Un saludo.

[Pie]

Hola.

Hola a ambos.

Hola, Marcos. Mira a ver así

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{log(1+x)^{\color{red}\frac{1}{x}}}
  \)

Saludos

Creo que hay una errata, sería

\( {\displaystyle \lim_{x\to{0}}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x}log(1+x)}
  \)

y desde ahí, pudes utilizar L'Höpital.

Un saludo.

Si entra dentro del logaritmo seria lo mismo creo.

No, no es lo mismo porque el exponente estaba fuera del alcance del logaritmo, no dentro.

Un saludo.

Me refería a que si toda la expresión quedaba dentro del logaritmo sería lo mismo. Vaya, que faltaban unos paréntesis para dejar claro eso..

Saludos.