Para solucionar el problema, lo que he hecho ha sido dividir a todos los datos entre 1 millón, de esa forma me sale un tamaño de muestra usual. Gracias!

Tengo esta serie de potencias:\(  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{x+2}{2})^{n} \) y tengo que ver para qué valores de \( x \) converge. He aplicado el criterio del cociente, resultando:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{n(x+2)}{2(n+1)} \]
Como me piden los valores a los que converge, he hecho lo siguiente:
\[ lim_{n \to \infty}\frac{n(x+2)}{2(n+1)} \]
y una vez hecho el límite, tengo\[  \left|{\frac{x+2}{2}} \right|<1 \]
y de ahí obtengo el intervalo \[ (-4,0) \]. ¿habría alguna forma de analizar la convergencia o divergencia en los extremos de este intervalo?

Hola, tengo una duda respecto a hallar los estimadores de máxima verosimilitud. Me dan una variable \( X \) que sigue una distribución exponencial de media \( \frac{1}{\lambda \mu} \) y una variable \( Y \) que sigue una distribución exponencial de media  \( \frac{1}{\lambda} \). Dichas variables son independientes y tengo que hallar los estimadores de máxima verosimilitud.
Como ambas variables son independientes, la  función de densidad conjunta es:
\[ f(x,y)=\lambda\mu e^{-\lambda \mu x}\lambda e^{-\lambda y} \]
Haciendo la función de verosimilitud de la muestra \( x_{1},...,x_{n} \) y derivando respecto de \( \lambda \) y \( \mu \) obtengo estos estimadores, los cuáles me resultan un poco extraños:
\[ \hat{\lambda} = \frac{n}{\mu \sum_{i=1}^{n} x_{i} - \sum_{i=1}^{n} y_{i}}  \]
Y por otro lado,
\[ \hat{\mu} = \frac{n}{\lambda \sum_{i=1}^{n} x_{i}} \]
Me parece muy raro que dependan de los parámetros pero por más que repaso me siguen saliendo los mismos...

Tengo que demostrar la siguiente proposición \( P:  \)"Cuatro puntos p', p, q, q' distintos de \( \mathbb{P}^3 \) están contenidos en un plano \( \Leftrightarrow{} \)p\( + \)p' y q\( + \)q' se cortan".

Comenzamos demostrando:
 \( \Leftarrow{} \)
\( dim((p+p')+(q+q'))=dim(p+p') + dim(q+q') - dim((p+p')\cap{(q+q')}) \)
Como la rectas \( p+p' \) y \( q+q' \) se cortan, quiere decir que la intersección es no vacía, entonces, \( dim((p+p')\cap{(q+q')} \geq{0} \). Por otro lado \( dim(p+p')=dim(q+q')=1 \) ya que son rectas. Pero no consigo concluir la demostración.

El otro sentido, es decir, \( \Rightarrow{} \) no consigo sacar nada, partiría desde esta fórmula pero ni siquiera sé si está bien:
\( dim(V)  = dim(p)+dim(p')+dim(q)+dim(q')-dim(p\cap{p'}\cap{q}\cap{q'}) \)

Si alguien pudiera darme alguna indicación, lo agradecería.
Por otra parte, ¿Podríais decirme si la proposición dual la tengo correcta?
\( P': \) "En un espacio proyectivo de dimensión 3, cuatro planos \( \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}, \Pi_{4}  \) contienen a un punto \( p \) \( \Leftrightarrow{} \) dos rectas generan un subespacio distinto del total"

Gracias de antemano.

La acabo de resolver! Gracias por tu ayuda, me ha sido increíblemente útil!

Buenas, tengo que verificar esta relación: \[ E[e^{\lambda Z}] = e^{\frac{\lambda^{2}}{2}} \].
Siendo \[ Z\sim N(0,1) \].
La idea que he tenido es la siguiente, pero no sé si voy por buen camino.
Cómo tengo la esperanza de una exponencial he pensado en aplicar la definición de la función generatriz:
\[ E[e^{\lambda Z}] = \int_{\mathbb R}{} e^{\lambda Z} dF_{Z}(z) \].
Haciendo esta integral me queda:
\[ 1+\frac{\lambda}{1!}+\frac{\lambda^2}{2!}+...+ \frac{\lambda^k}{k!} \]
Que no es lo que me tiene que salir. Si alguien pudiera darme alguna indicación lo agradecería.

Hola a todos! Tengo que demostrar que las trayectorias del método Browniano son continuas pero no lo consigo. He pensado diferentes ideas:
La primera es, demostrarlo a partir de la diferenciabilidad, ya que sus trayectorias no son derivables pero no se cómo relacionarlo con la continuidad. Y la segunda idea, es a partir de que el método Browniano es una cadena de Markov a tiempo continuo.
Espero que me podáis ayudar! Gracias!

Hola a todos, no sé cómo realizar el siguiente ejercicio, no sé ni por donde empezar. ¿Alguien podría decirme cómo puedo hacerlo? Creo que tendría que usar el teorema central de limite pero tampoco lo tengo claro.

¿Cuántas veces habrá que lanzar un dado para que la probabilidad del suceso "que la frecuencia relativa del número de veces que sale el as difiera de 1/6 en más de 0.01" sea menor o igual a 0.05?

Hola a todos, ¿alguien podría decirme si estoy integrando bien la siguiente región?
\( C=\{(x,y) \in\mathbb{R}^2: y\le\frac{x}{3}; x\le3; y\ge0\}  \)

\( \displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\int_{0}^{\frac{x}{3}} \frac{2}{3} dy dx = \frac{x^2}{9} \)

Buenas a todos, a ver si alguien pudiera echarme una mano a hacer este ejercicio, pues no encuentro nada parecido por internet.
Sea \( X  \sim N_2  \begin{pmatrix} \displaystyle{1 \choose 2}, &  \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \) e \( Y|X \sim  \) \( N_2  \begin{pmatrix} \displaystyle{x_1 \choose x_1 + x_2}, &  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}  \).
Determinar las distribuciones \( Y_2|Y_1 \) y \( W=X-Y \)
Gracias de antemano.