[pables]

Hola buenas, estoy intentando resolver un problema pero no se por donde empezar. El problema dice: Considera el sistema $$x'=Ax$$ donde $$A$$ es una matriz que verifica $$||e^{At}x|| \leq Me^{\alpha t}||x||$$ para todo $$x \in \mathbb{R}^{n}$$, para todo $$t \geq 0$$ y para ciertos $$M>0$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Prueba que si $$h: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ es una función continua que verifica $$\int_{0}^{\infty} |h(t)|dt< +\infty$$ entonces las soluciones de $$x'=Ax+h(t)x$$ verifican $$||x(t)|| \leq \hat{M}e^{\alpha t}||x(0)||$$ para $$t \geq 0$$, para cierta constante $$\hat{M}$$ pero con el mismo $$\alpha$$. Había pensado en utilizar el Lema de Grönwall pero, realmente, no se por donde empezar.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas, estoy intentando resolver un problema pero no se por donde empezar. El problema dice: Considera el sistema $$x'=Ax$$ donde $$A$$ es una matriz que verifica $$||e^{At}x|| \leq Me^{\alpha t}||x||$$ para todo $$x \in \mathbb{R}^{n}$$, para todo $$t \geq 0$$ y para ciertos $$M>0$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Prueba que si $$h: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ es una función continua que verifica $$\int_{0}^{\infty} |h(t)|dt< +\infty$$ entonces las soluciones de $$x'=Ax+h(t)x$$ verifican $$||x(t)|| \leq \hat{M}e^{\alpha t}||x(0)||$$ para $$t \geq 0$$, para cierta constante $$\hat{M}$$ pero con el mismo $$\alpha$$. Había pensado en utilizar el Lema de Grönwall pero, realmente, no se por donde empezar.

Idea: La solución de \( x'=(A+h(t)Id)x \) con \( x(0)=x_0 \) si no me equivoco es:

\( x(t)=e^{At+H(t)Id}x_0=e^{H(t)}e^{At}x_0 \) donde \( H(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}h(s)ds \).

¿Con esto sabes concluir?.

Saludos.

[pables]

Hola,
Primero de todo, muchas gracias por la idea. Creo que sí se continuar pero tengo solo una duda en uno de los pasos.
Tomando la norma en la solución $$x(t)$$ queda $$||x(t)|| = ||e^{H(t)}|| \cdot ||e^{At}x_0||$$. Usando la hipótesis del enunciado queda:  $$||e^{H(t)}|| \cdot ||e^{At}x_0|| \leq ||e^{H(t)}||Me^{\alpha t}||x_0||$$. Tambien, por hipótesis del enunciado se deduce que: $$|H(t)| = |\int_{0}^{\infty} h(x)dx| \leq \int_{0}^{\infty} |h(x)|dx =: a < \infty$$ (al converger la integral, esta debe hacerlo a un valor $$a \in \mathbb{R}$$). Mi duda es si se puede afirmar que: $$||e^{H(t)}|| \leq e^{|H(t)|}$$. En tal caso, quedaría $$||e^{H(t)}||Me^{\alpha t}||x_0|| \leq e^{|H(t)|}Me^{\alpha t}||x_0|| = e^{a}Me^{\alpha t}||x_0||$$ y llamando $$\hat{M}:=e^{a}M$$ se llega a que: $$||x(t)|| \leq \hat{M}e^{\alpha t}||x_0||$$ para el mismo $$\alpha$$.

[Luis Fuentes]

Hola

Mi duda es si se puede afirmar que: $$||e^{H(t)}|| \leq e^{|H(t)|}$$. En tal caso, quedaría $$||e^{H(t)}||Me^{\alpha t}||x_0|| \leq e^{|H(t)|}Me^{\alpha t}||x_0|| = e^{a}Me^{\alpha t}||x_0||$$ y llamando $$\hat{M}:=e^{a}M$$ se llega a que: $$||x(t)|| \leq \hat{M}e^{\alpha t}||x_0||$$ para el mismo $$\alpha$$.

 Es que ten en cuenta que \( e^{H(t)} \) es un número, no una matriz. Y entonces simplemente:

\( e^{H(t)}\leq e^{|H(t)|} \)

 porque \( H(t)\leq |H(t)| \) y la exponencial es creciente.

Saludos.

[pables]

Hola, muchas gracias por la aclaración.