Estoy intentando resolver un problema acerca del intervalo maximal de definición de una solución de un PVI.
El problema dice: Sea la ecuación $$ x'=f(x) $$ donde la función $$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ es de clase $$C^{1}$$ y verifica que $$f(x)\geq x^{2}$$. Sea $$x_0 \geq 0$$ y considera el PVI:
\[
\left\{ \begin{array}{lcc} x'=f(x) \\ \\ x(0)=x_0 \end{array} \right.
\]
cuyo intervalo maximal de definición lo denotamos por $$(\alpha(x_0),\omega(x_0))$$. Responde razonadamente:
a) ¿Es $$\omega(x_0) = \infty$$?
b) Si $$\omega(x_0) \leq \infty$$, dar una estimación de $$\omega(x_0)$$.
Por el momento, solo he conseguido llegar a que la solución maximal $$x(t)$$ es única y esta definida, al menos, localmente a través del teorema de Cauchy-Lipschitz local. Ahora bien, no se cómo continuar utilizando las hipótesis del problema. Si alguien sabe como resolverlo, agradecería mucho su ayuda.