Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Ecuaciones diferenciales => Mensaje iniciado por: pables en 28 Diciembre, 2023, 01:59 am
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Estoy intentando resolver un problema acerca del intervalo maximal de definición de una solución de un PVI.
El problema dice: Sea la ecuación $$ x'=f(x) $$ donde la función $$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ es de clase $$C^{1}$$ y verifica que $$f(x)\geq x^{2}$$. Sea $$x_0 \geq 0$$ y considera el PVI:
\[
\left\{ \begin{array}{lcc} x'=f(x) \\ \\ x(0)=x_0 \end{array} \right.
\]
cuyo intervalo maximal de definición lo denotamos por $$(\alpha(x_0),\omega(x_0))$$. Responde razonadamente:
a) ¿Es $$\omega(x_0) = \infty$$?
b) Si $$\omega(x_0) \leq \infty$$, dar una estimación de $$\omega(x_0)$$.
Por el momento, solo he conseguido llegar a que la solución maximal $$x(t)$$ es única y esta definida, al menos, localmente a través del teorema de Cauchy-Lipschitz local. Ahora bien, no se cómo continuar utilizando las hipótesis del problema. Si alguien sabe como resolverlo, agradecería mucho su ayuda.
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Una idea. Si \( x(t) \) es la solución a tu PVI e \( y(t) \) es la solución a \( y'=y^2, y(0)=x_0 \), entonces se tiene \( x(t) \geq y(t) \) para todo \( t>0 \) donde ambas soluciones estén definidas.
Pero puedes resolver explícitamente la EDO para \( y \), y verás que tiene una singularidad a tiempo finito. Por tanto, \( x(t) \) puede estar, como mucho, definida hasta esa singularidad.
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Muchas gracias, con eso ya puedo resolver el apartado a). Lo único ahora es como dar una estimación de $$\omega(x_0)$$ porque la solución $$x(t)$$ no tiene porque "explotar" al mismo tiempo que $$y(t)$$.
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Hola
Muchas gracias, con eso ya puedo resolver el apartado a). Lo único ahora es como dar una estimación de $$\omega(x_0)$$ porque la solución $$x(t)$$ no tiene porque "explotar" al mismo tiempo que $$y(t)$$.
Pero dado que \( x(t)\geq y(t) \) sabes que el intervalo de definición de \( x(t) \) está contenido en el intervalo de definición de \( y(t) \). Nada impide con los datos que tienes que x(t)=y(t), así lo único que puedes afirmar es que \( w(x_0) \) está acotado superiormente por el extremo del intervalo de definición de la solución de \( y'=y^2 \).
Saludos.
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Estaba pensado que había que usar algún otro teorema para la estimación pero ya veo que no.
Muchísimas gracias