Resumen
Este escrito está dedicado al número áureo. Partiendo de su definición, se describen algunas de sus propiedades y se dan algunos ejemplos de figuras con proporciones áureas. Asimismo se analiza su estrecha relación con las sucesiones de Fibonacci, Lucas, etc. cuyos términos generales resultan como corolario de la expresión del término general de la sucesión de Fibonacci generalizada. Finalmente se enuncia y demuestra una proposición de Ira M. Gessel (1972) y otra con nueve identidades relacionadas con el término general de la sucesión de Fibonacci. Solo pretende ser un compendio personal de algunos de los resultados teóricos sobre este tema que se encuentran en la red. La probabilidad de que se pueda profundizar aún más es, quizás, uno, pero tendrán que hacerlo matemáticos más especializados. Al final se mencionan las referencias y se adjunta una versión más ilustrada en formato pdf.
Índice
1. Definición del número áureo 2. Propiedades del número áureo 3. Figuras con proporciones áureas 4. La sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas 5. La sucesión de Fibonacci generalizada 6. Proposición de Ira M. Gessel 7. Identidades con el término general de la sucesión de FibonacciA la divina proporción
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
1. DefiniciónDado un segmento de longitud \( l \) se llama
sección áurea a la división del segmento en otros dos
\( x<y \) de tal manera que se tenga la siguiente proporción: el segmento original
\( l=x+y \) es al grande
\( y \) como éste es al pequeño
\( x \), es decir
\( \dfrac{x+y}{y}=\dfrac{y}{x}\\\rule{4cm}{1mm}\hspace{-2.7cm}| \\ x \hspace{1.7cm}y \)
A esta proporción se le llama
proporción áurea o
divina proporción; en ella,
\( y \) es media proporcional de
\( l \) y de
\( x \). A cualquiera de las dos razones de la proporción se le llama
razón áurea y a su valor numérico
número áureo cuya denotación moderna \( \Phi \), en honor a Fidias, escultor griego de la Antigüedad, se debe desde 1900 al matemático Mark Barr. Para obtenerlo basta tomar la solución positiva de la siguiente ecuación:
\( (x+y)x=y^2\Longleftrightarrow y^2-xy-x^2=0\Longleftrightarrow\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\left(\dfrac{y}{x}\right)-1=0\Longrightarrow \boxed{\Phi=\dfrac{y}{x}=\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1,618033989\ldots \in \mathbb{I}} \)
Por tanto, \( \Phi \) es un número algebraico (raíz de un polinomio con coeficientes enteros) e irracional.
2. Propiedades del número áureo El inverso de \( \Phi \) es
\( \dfrac{1}{\Phi}=\Phi-1 \) (1)
Demostración
\( \dfrac{1}{\Phi}=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}=\dfrac{2(1-\sqrt{5})}{-4}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}-2}{2}=\Phi-1\hspace{1cm} \)q.e.d.
El cuadrado de \( \Phi \) es
\( \Phi^2=\Phi+1 \) (2)
Demostración
\( \Phi^2=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}+2}{2}=\Phi+1\hspace{1cm} \) q.e.d.
Por tanto, el número áureo, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales infinitas
ya que
\( \begin{array}{l}\Phi=1,618033989\ldots\\\Phi^2=2,618033989\ldots\\\dfrac{1}{\Phi}=0,618033989\ldots\end{array} \)
Lema 1Es cierta la siguiente igualdad
\( 4-\Phi^2=1+\dfrac{1}{\Phi^2} \) (3)
Demostración
\( 4-\Phi^2=4-\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2=4-\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2} \)
Por otra parte,
\( \dfrac{1}{\Phi^2}=1+\left(\dfrac{1}{\Phi}\right)^2=1+(\Phi-1)^2=1+\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2=1+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\hspace{1cm} \) q.e.d.
Es cierta la siguiente igualdad
\( \Phi^{n}=\Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}\hspace{1cm}\forall\,n\geq 2 \) (4)
Demostración
Razonando por inducción, si
\( n=2 \) es claro por la igualdad (2). Supongamos que la propiedad es cierta para \( n=k \), entonces \( \Phi^{k+1}=\Phi\Phi^k=\Phi\cdot(\Phi^{k-1}+\Phi^{k-2})=\Phi^k+\Phi^{k-1}
\hspace{1cm} \) q.e.d.
El número áureo puede expresarse mediante raíces cuadradas anidadas
\( \Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}} \)
Demostración:
En efecto, si llamamos \( L \) al límite, se tiene que \( L=\sqrt{1+L}\Longrightarrow L^2-L-1=0\Longrightarrow L=\Phi \)
El número áureo puede expresarse mediante fracciones continuas
\( \Phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\cdots}}} \)
Demostración
En efecto, si llamamos \( L \) al límite, se tiene que \( L=1+\dfrac{1}{L}\Longrightarrow L^2-L-1=0\Longrightarrow L=\Phi \)
Se llama
rectángulo áureo a aquel que al dividirlo en dos partes, siendo una de ellas un cuadrado cuyo lado es la anchura del rectángulo, resulta que la otra parte es un rectángulo más pequeño que el original y semejante a él.
\( y\hspace{3mm}\begin{array}{|c|c|}\hline \rule{2.2cm}{0mm} & \rule{1.3cm}{0mm}\\\rule{0mm}{2.2cm}&\rule{0mm}{2.2cm}\\\hline\end{array}\\[0.3cm]\hspace{1.5cm}y \hspace{2cm}x \)
\( \dfrac{x+y}{y}=\dfrac{y}{x} \)
Se construye fácilmente a partir de un cuadrado de lado
\( y \) de la siguiente manera (construcción de Euclides, 300-265 a.e.c.): Se pincha con un compás en el centro de un lado del cuadrado que previamente se ha prolongado; se toma la medida que hay hasta un vértice del lado opuesto del cuadrado y se lleva ésta con el compás hasta que corta a la prolongación del primer lado. Dicho punto es el vértice del rectángulo áureo.
A partir de un rectángulo áureo se pueden ir encajando infinitos rectágulos áureos y dibujar así la
espiral áurea. Es un caso particular de espiral logarítmica cuya ecuación en coordenadas polares es
\( \rho=ab^{\theta}\Longleftrightarrow \theta=\log_b\left(\dfrac{\rho}{a}\right)\hspace{2cm}a,b>0 \)
Esta espiral gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos); el ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
Se llama
triángulo áureo a todo triángulo isósceles que tenga por ángulos \( 36^{\circ}, 72^{\circ} \) y \( 72^{\circ} \). Si se traza la bisectriz de uno de los ángulos de \( 72^{\circ} \) se obtiene en su interior otro triángulo áureo de menor tamaño y este proceso puede seguirse de manera infinita, lo cuál permite dibujar la llamada
espiral equiangular.
Se llama
espiral de Fibonacci a la que se construye inscribiendo cuartos de circunferencia en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...; se aproxima a la espiral áurea.
Se llama
triángulo de Kepler al triángulo que tiene por lados \( 1, \sqrt{\Phi} \) y \( \Phi \) o a cualquiera semejante a él. Se puede construir fácilmente a partir de un rectángulo áureo. Es trivial probar que todo triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo.
Demostración:
\( 1^2+\left(\sqrt{\Phi}\right)^2=1+\Phi=\Phi^2\hspace{1cm} \)q.e.d.
En un pentágono regular, tanto la razón entre su diagonal
\( d \) y su lado
\( l \) como la razón entre la apotema
\( a \) y la mitad del radio
\( R \) de la circunferencia circunscrita al pentágono son la razón áurea.
Demostración:
Analizando los ángulos de los triángulos de la figura se tiene que \( \alpha+\beta=108^{\circ} \) y que \( \beta+3\alpha=180^{\circ} \) luego \( \alpha=36^{\circ}\Longrightarrow \beta=72^{\circ}=2\alpha \) y, por tanto,
\( \dfrac{x+l}{l}=\dfrac{x}{l}\Longleftrightarrow\boxed{\dfrac{d}{l}=\Phi} \).Además \( \dfrac{a}{R}=\dfrac{d/2}{l}\Longleftrightarrow \dfrac{a}{R/2}=\dfrac{d}{l}\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{a}{R/2}=\Phi}\hspace{1cm} \)q.e.d.
Como consecuencia, para dibujar un pentágono regular inscrito a una circunferencia de radio \( R \) puede usarse el siguiente método: Basta con tomar como medida del lado del pentágono la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor sea \( R \) y la razón entre éste y el cateto menor sea la razón áurea. Para ello se dibujan dos diámetros perpendiculares de la circunferencia que se cortan en
el centro \( O \) y en uno de ellos se dibuja el punto medio \( M \) de un radio. Desde este punto se toma la medida hasta el extremo \( P \) del otro diámetro y esta medida se lleva con el compás centrado en \( M \) hasta el diámetro en el que está el punto \( M \), donde lo corta en un punto \( Q \). Pues bien la medida del segmento \( \overline{PQ} \) es el lado \( l \) del pentágono inscrito a la circunferencia de radio \( R \) dada.
Demostración
Según la construcción del segmento \( \overline{PQ} \) se tiene que \( \overline{MP}^2=\left(\dfrac{R}{2}\right)^2+R^2\Longrightarrow \overline{MP}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}R \) y, por tanto, \( \overline{OQ}=\overline{MQ}-\dfrac{R}{2}=\overline{MP}-\dfrac{R}{2}=\dfrac{(\sqrt{5}-1)R}{2}=\dfrac{R}{\Phi} \) y así, en el triángulo rectángulo \( \bigtriangleup{POQ} \), la razón entre el cateto mayor \( \overline{OP} \) y el cateto menor \( \overline{OQ} \) es \( \dfrac{R}{R/\Phi}=\Phi \) con lo cual
\( \overline{PQ}^2=\overline{OP}^2+\overline{OQ}^2=R^2+\left(\dfrac{R}{\Phi}\right)^2=R^2\left(1+\dfrac{1}{\Phi^2}\right)\stackrel{\mbox{Lema 1}}{=}R^2(4-\Phi^2)=4R^2-4\left(\dfrac{\Phi R}{2}\right)^2=4R^2-4a^2=l^2 \) ya que \( \left(\dfrac{l}{2}\right)^2+a^2=R^2 \). En definitiva, \( \overline{PQ}=l\hspace{1cm} \)q.e.d.
Se llama
sucesión de Fibonacci a la sucesión \( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\ldots \)
Su término general puede ser descrito mediante la ley de recurrencia:
\( F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\hspace{0.5cm}\forall\,n\geq 1 \) siendo \( F_1=1 \) y \( F_2=1 \).
Fibonacci es el sobrenombre por el que se conoció al comerciante Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170-1250) quien viajó por el norte de África y por Asia y, al parecer, trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre ellos el sistema arábigo de numeración.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de cría de conejos:
Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también.
Al parecer, esta sucesión es omnipresente en la naturaleza y en la materia animada. Por ejemplo, al contar el número de ascendientes de un zángano (abeja macho) en una colmena. Se sabe que de los huevos fecundados de la abeja reina nacen abejas hembra y de los huevos no fecundados tanto de abejas reina como de obreras nacen zánganos. Por tanto, un zángano tiene sólo un progenitor pero una abeja hembra dos y así, el número de individuos de cada generación de ancestros de un zángano viene dado por la sucesión de Fibonacci.
Se llama
sucesión de Lucas a la sucesión \( 1,3,4,7,11,18,29,47,76,\ldots \). Su término general puede ser descrito mediante la ley de recurrencia:
\( L_{n+2}=L_{n+1}+L_n,\hspace{0.5cm}\forall\,n\geq 1 \)
siendo \( L_1=1 \) y \( L_2=3 \).
François Édouard Anatole Lucas fue un matemático francés (1842-1891), profesor de matemáticas en París (teorema de Lucas) e inventor de muchos juegos recreativos matemáticos entre los que se encuentra la famosa
Torre de Hanoi o
Torre de Brahma.
Descubrió un método para comprobar la primalidad de los números de la forma \( (2^{p}-1) \) donde \( p \) es primo, conocidos como
números de Mersenne.
5. La sucesión de Fibonacci generalizadaEn general, se llama
sucesión de Fibonacci generalizada a la sucesión \( a_1,a_2,a_3,\ldots \) cuyo término general puede ser descrito mediante la ley de recurrencia:
\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\hspace{0.5cm}\forall\,n\geq 1 \)
siendo \( a_1, a_2 \in\mathbb{R} \).
La sucesión de Fibonacci \( (F_1=F_2=1) \) y la sucesión de Lucas \( (L_1=1, L_2=3) \) son casos particulares.
Si \( \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de Fibonacci generalizada, se tiene:
\( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{L_{n+1}}{L_n}=\Phi \)
Demostración:
\( L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n+a_{n-1}}{a_n}=1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_{n-1}}{a_n}=1+\dfrac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}=1+\dfrac{1}{L}\Longrightarrow \boxed{L=\Phi} \).
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1639), pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simpson (1753).
A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre, que permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores y en función del número áureo:
La expresión del término general de la sucesión de Fibonacci generalizada es:
\( a_n=\boxed{\dfrac{a_1(\Phi^{n-1}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n-1})+a_2(\Phi^{n}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n})}{\Phi^2+1}} \)
Demostración:
\( \begin{array}{lclcl}\left\{\begin{array}{l}a_3=a_2+a_1\\a_2=a_2\end{array}\right.&\Longleftrightarrow &\left(\begin{array}{c}a_3\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right) &&\\\left\{\begin{array}{l}a_4=a_3+a_2\\a_3=a_3\end{array}\right. &\Longleftrightarrow &\left(\begin{array}{c}a_4\\a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)^2 \left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right)&&\\\left\{\begin{array}{l}a_5=a_4+a_3\\a_4=a_4\end{array}\right. &\Longleftrightarrow &\left(\begin{array}{c}a_5\\a_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)^3\left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right)&&\\\vdots &\vdots &\vdots&&\\\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\\a_n=a_n\end{array}\right. &\Longleftrightarrow &\left(\begin{array}{c}a_{n+1}\\a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)^{n-1}\left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right)&\Longleftrightarrow& X_n=A^{n-1}X_1 \end{array} \)
donde \( A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right) \).
Las raíces del polinomio característico de \( A \), es decir, de \( p(\lambda)=|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda &1\\1&-\lambda\end{array}\right| \) son reales y distintas, \( \Phi \) y \( (1-\Phi) \), luego \( A \) es diagonalizable; existen, pues, matrices regulares \( P \) y \( P^{-1} \) tales que \( P^{-1}AP=D=\left(\begin{array}{cc}\Phi&0\\0&1-\Phi\end{array}\right) \) que es una matriz diagonal.\\Así pues, \( A=PDP^{-1}\Longrightarrow A^{n-1}=PD^{n-1}P^{-1} \)
Hallemos las matrices \( P \) y \( P^{-1} \):
\( \left(\begin{array}{cc}1-\lambda &1\\1&-\lambda\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\stackrel{\lambda=\Phi}{\Longrightarrow} x=\Phi y \)
\( \left(\begin{array}{cc}1-\lambda &1\\1&-\lambda\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\stackrel{\lambda=1-\Phi}{\Longrightarrow} t=-\Phi z \)
luego \( P=\left(\begin{array}{cc}\Phi &1\\1&-\Phi\end{array}\right) \) y \( P^{-1}=\dfrac{1}{\Phi^2+1}\left(\begin{array}{cc}\Phi &1\\1&-\Phi\end{array}\right) \)
Por tanto,
\( \left(\begin{array}{c}a_{n+1}\\a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\Phi &1\\1&-\Phi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\Phi^{n-1}&0\\0&(1-\Phi)^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\Phi &1\\1&-\Phi\end{array}\right)\dfrac{1}{\Phi^2+1}\left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right)=\\
\dfrac{1}{\Phi^2+1}\left(\begin{array}{cc}\Phi^{n+1}+(1-\Phi)^{n-1} &\Phi^n+(1-\Phi)^{n-1}\\\Phi^n-\Phi(1-\Phi)^{n-1}&\Phi^{n-1}+\Phi^2(1-\Phi)^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a_2\\a_1\end{array}\right) \)
de donde \( \boxed{a_n=\dfrac{a_1(\Phi^{n-1}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n-1})+a_2(\Phi^{n}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n})}{\Phi^2+1}}\hspace{1cm} \) q.e.d.
La expresión del término general de la sucesión de Fibonacci es:
\( F_n =\boxed{\dfrac{ \Phi^n - (1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}} \)
Demostracion:
\(
F_1=F_2=1 \), luego
\( F_n= \dfrac{\Phi^{n-1}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n-1}+\Phi^{n}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n}}{\Phi^2+1}= \dfrac{\Phi^{n+1}+\left(\dfrac{\Phi+1}{1-\Phi}+\Phi+1\right)(1-\Phi)^{n}}{\Phi^2+1}=\dfrac{\Phi}{\Phi^2+1}[\Phi^{n}-(1-\Phi)^{n}]=\boxed{\dfrac{\Phi^{n}-(1-\Phi)^{n}}{\sqrt{5}}}\hspace{1cm} \) q.e.d.
Cuando esta fórmula se escribe en la forma
\( \boxed{F_n=\dfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}} \)
se le conoce como
fórmula de Binet.
CorolarioLa expresión del término general de la sucesión de Lucas es:
\( L_n =\boxed{\Phi^n + (1-\Phi)^n} \)
Demostracion:
\(
L_1=1,L_2=3 \), luego
\( L_n=\dfrac{\Phi^{n-1}+(\Phi+1)(1-\Phi)^{n-1}+3(\Phi^{n}+(\Phi+1)(1-\Phi)^n)}{\Phi^2+1}=
\dfrac{\left(\dfrac{1}{\Phi}+3\right)\Phi^n+\left(\dfrac{\Phi+1}{1-\Phi}+3(\Phi+1)\right)(1-\Phi)^n}{\Phi^2+1}=\dfrac{\Phi+2}{\Phi^2+1}\left[\Phi^n+(1-\Phi)^n\right]=\boxed{\Phi^n + (1-\Phi)^n } \hspace{1cm} \) q.e.d.
Los términos de la sucesión de Fibonacci \( \{F_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) son los coeficientes de la expresión en serie de potencias de la función
\( f(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2} \)
Demostración:
Descomponemos la función en suma de fracciones simples como sigue:
\( f(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}=\dfrac{-x}{x^2+x-1}=\dfrac{A}{x+\Phi}+\dfrac{B}{x-(\Phi-1)} \)
ya que las raíces del polinomio
\( x^2+x-1 \) son \( -\Phi \) y \( \Phi -1 \); después de reducir a común denominador e igualar los numeradores se deducen las constantes \( A=\dfrac{-\Phi}{2\Phi -1} \) y \( B=\dfrac{1-\Phi}{2\Phi -1} \). Así pues, es
\( f(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}=\dfrac{-\Phi}{2\Phi -1}\left(\dfrac{1}{x+\Phi}\right)+ \dfrac{1-\Phi}{2\Phi -1}\left(\dfrac{1}{x-(\Phi -1)}\right)=\dfrac{-1}{2\Phi -1}\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{-\Phi}}\right)+ \dfrac{1}{2\Phi -1}\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{\Phi -1}}\right)=\dfrac{1}{2\Phi -1}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{x}{\Phi -1}\right)^n-\left(\dfrac{x}{-\Phi}\right)^n=\\\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}\right)x^n=\boxed{\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_n x^n} \) donde se introduce el término \( F_0=0 \) en coherencia con la expresión del término general \( F_n\hspace{1cm} \) q.e.d.
La condición necesaria y suficiente para que un número natural sea un término de la sucesión de Fibonacci es que el quíntuplo de su cuadrado aumentado o disminuido en cuatro unidades sea un cuadrado perfecto, es decir, dado \( m\in\mathbb{N} \) entonces \( m\in\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}\Longleftrightarrow \left(\exists\,p\in\mathbb{N}\,\,|\,\,5m^2+ 4=p^2\right)\,\, \vee \,\,\left(\exists\,q\in\mathbb{N}\,\,|\,\,5m^2- 4=q^2\right) \)
Demostración:
\( ``\Longrightarrow " \)
Supongamos que \( m\in\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}} \), es decir, existe \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( m=F_n\Longleftrightarrow m=\dfrac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}} \); entonces
\( 5m^2=5F_n^2=[\Phi^n-(1-\Phi)^n]^2=\left[\Phi^n-\left(\dfrac{-1}{\Phi}\right)^n\right]^2=\left[\Phi^n-\dfrac{(-1)^n}{\Phi^n}\right]^2=\left\{\begin{array}{lr}\left(\dfrac{\Phi^{2n}-1}{\Phi^n}\right)^2&\mbox{ si }n \mbox{ es par } \\\left(\dfrac{\Phi^{2n}+1}{\Phi^n}\right)^2&\mbox{ si }n \mbox{ es impar } \end{array}\right. \)
Por tanto, si \( n \) es par resulta:
\( 5m^2+4=5F_n^2+4=\left(\dfrac{\Phi^{2n}-1}{\Phi^n}\right)^2+4=\dfrac{\Phi^{4n}+1-2\Phi^{2n}+4\Phi^{2n}}{\Phi^{2n}}=\\\left(\dfrac{\Phi^{2n}+1}{\Phi^n}\right)^2=\left(\Phi^n+\dfrac{1}{\Phi^n}\right)^2=\left[\Phi^n+\dfrac{(-1)^n}{\Phi^n}\right]^2=\left[\Phi^n+\left(\dfrac{-1}{\Phi}\right)^n\right]^2=[\Phi^n+(1-\Phi)^n]^2=L_n^2 \) de donde se deduce que existe \( p=L_n\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2+4=p^2\hspace{1cm} \)
q.e.d.Si \( n \) es impar resulta:
\( 5m^2-4=5F_n^2-4=\left(\dfrac{\Phi^{2n}+1}{\Phi^n}\right)^2-4=\dfrac{\Phi^{4n}+1+2\Phi^{2n}-4\Phi^{2n}}{\Phi^{2n}}=\left(\dfrac{\Phi^{2n}-1}{\Phi^n}\right)^2=\left(\Phi^n-\dfrac{1}{\Phi^n}\right)^2=\left[\Phi^n+\dfrac{(-1)^n}{\Phi^n}\right]^2=\left[\Phi^n+\left(\dfrac{-1}{\Phi}\right)^n\right]^2=[\Phi^n+(1-\Phi)^n]^2=L_n^2 \) de donde se deduce que existe \( q=L_n\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2-4=q^2\hspace{1cm} \)
q.e.d.En definitiva, \( \boxed{L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n} \)
\( ``\Longleftarrow " \)
Supongamos ahora que o bien existe \( p\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2+4=p^2 \) o bien existe \( q\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2-4=q^2 \); veamos que entonces \( m\in\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}} \).
Previamente demostremos que los términos \( F_n \) de la sucesión de Fibonacci verifican la igualdad
\( F_{n+1}+F_{n-1}=\left\{\begin{array}{lr}\sqrt{5F_n^2+4}&\mbox{ si }n \mbox{ es par }\\\sqrt{5F_n^2-4}&\mbox{ si }n \mbox{ es impar }\end{array} \right\}=\sqrt{5F_n^2+4(-1)^n} \)
En efecto,
\( F_{n+1}+F_{n-1}=\frac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}}+\dfrac{\Phi^{n-1}-(1-\Phi)^{n-1}}{\sqrt{5}}=\\\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\Phi^n\left(\Phi+\dfrac{1}{\Phi}\right)-(1-\Phi)^n\left(1-\Phi+\dfrac{1}{1-\Phi}\right)\right]=\dfrac{2\Phi-1}{\sqrt{5}}[\Phi^n+(1-\Phi)^n]=\Phi^n+(1-\Phi)^n=L_n=\left\{\begin{array}{lr}\sqrt{5F_n^2+4}&\mbox{ si }n \mbox{ es par }\\\sqrt{5F_n^2-4}&\mbox{ si }n \mbox{ es impar }\end{array} \right\}=\sqrt{5F_n^2+4(-1)^n} \)
Así pues, si existe \( p\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2+4=p^2 \) entonces existe \( n \) par tal que \( m=F_n \) y si existe \( q\in\mathbb{N} \) tal que \( 5m^2-4=q^2 \) entonces existe \( n \) impar tal que \( m=F_n \); en cualquier caso \( m\in\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}\hspace{1cm} \)
q.e.d.En definitiva, dado \( m\in\mathbb{N} \), para saber si \( m \) es un término de la sucesión de Fibonacci se analiza si \( 5m^2+4 \) es un cuadrado perfecto; en caso afirmativo existe un \( n \) par tal que \( m=F_n \) con lo que \( m \) pertenece a la sucesión de Fibonacci; en caso contrario se analiza si \( 5m^2-4 \) es un cuadrado perfecto; en caso afirmativo existe un \( n \) impar tal que que \( m=F_n \) con lo que \( m \) pertenece a la sucesión de Fibonacci; si no se cumple ninguna de las dos condiciones \( m \) no es un término de la sucesión de Fibonacci.
Obsérvese que si se verifica una de las dos condiciones entonces \( m=F_n \) para algún \( n\in\mathbb{N} \) y se puede hallar el término anterior con la fórmula \( F_{n-1}=\dfrac{\sqrt{5F_n^2\pm 4}-F_n}{2} \); conocido éste, ya se puede hallar el término posterior con la fórmula general \( F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \) donde \( n\geq 2 \).
7. Identidades con el término general de la sucesión de FibonacciProposición:Las siguientes igualdades son ciertas:
- \( F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1},\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \)
- \( \sum\limits_{i=1}^{n-1}F_i=F_{n+1}-1,\hspace{1cm}\forall\,n\geq 2 \)
- \( F_n^2-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n+1},\hspace{1cm}\forall\,n\geq 2 \mbox{ (Identidad de Cassini)} \)
- \( \sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n},\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \)
- \( \sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1,\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \)
- \( \sum\limits_{k=1}^{n}F_{k}^2=F_{n}F_{n+1},\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \)
- \( \dfrac{\pi}{4}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}} \)
- \( \dfrac{\pi}{2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arcsen\dfrac{2F_{2k+1}}{2+F_{2k}F_{2k+2}} \)
- \( \pi=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arcsen\dfrac{4F_{2k}F_{2k+1}F_{2k+2}}{(2+F_{2k}F_{2k+2})^2} \)
Demostración:
- Se conoce con el nombre de fórmula del número doble y fue propuesta en 1978 por el Dr. Edsgar W. Dikjstra, ya que si se toma \( F_1=0,F_2=1,F_3=1,F_4=2,\ldots \) la expresión queda \( F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n}\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \). No obstante, hay que decir que habitualmente se toma \( F_0=0, F_1=1, F_2=1,\ldots \)
Por ejemplo,
\( F_1^2+F_2^2=1^2+1^2=2=F_3 \)
\( F_2^2+F_3^2=1^2+2^2=5=F_5 \)
\( F_3^2+F_4^2=2^2+3^2=13=F_7 \)
En general, si \( n\geq 1 \) es
\( F_n^2+F_{n+1}^2=\left[\dfrac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}\right]^2+\left[\dfrac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}}\right]^2=\dfrac{\Phi^{2n}+(1-\Phi)^{2n}-2\Phi^n(1-\Phi)^n+\Phi^{2n+2}+(1-\Phi)^{2n+2}-2\Phi^{n+1}(1-\Phi)^{n+1}}{5}=\\
\dfrac{\left(\dfrac{1}{\Phi}+\Phi\right)\Phi^{2n+1}+\left(\dfrac{1}{1-\Phi}+1-\Phi\right)(1-\Phi)^{2n+1}}{5}=\dfrac{(2\Phi-1)\left[\Phi^{2n+1}-(1-\Phi)^{2n+1}\right]}{5} =\dfrac{\Phi^{2n+1}-(1-\Phi)^{2n+1}}{\sqrt{5}}=\boxed{F_{2n+1}}\hspace{1cm} \) q.e.d. - Veámoslo por el método de inducción.
Si es \( n=2 \) es cierta, pues \( \sum\limits_{i=1}^{2-1}F_i=F_1=1=2-1=F_3-1=F_{2+1}-1 \)
Si es \( n=1 \) y el sumatorio empieza en \( i=0 \) también se cumple, pues por convenio es \( F_0=0 \)$; en efecto,
\( \sum\limits_{i=0}^{1-1}F_i=F_0=0=1-1=F_2-1=F_{1+1}-1 \)
Supongamos ahora que la propiedad es cierta para \( n \) y veamos que entonces también es cierta para \( n+1 \); en efecto,
\( \sum\limits_{i=1}^{n+1-1}F_i=\sum\limits_{i=1}^{n-1}F_i+F_{n}=F_{n+1}-1+F_n=F_{n+2}-1=F_{n+1+1}-1 \hspace{1cm} \) q.e.d. - Vemos algunos ejemplos:
Si es \( n=2 \) es cierta, pues \( F_2^2-F_3F_1=1^2-2\cdot 1=-1=(-1)^{2+1} \).
Si es \( n=1 \) y consideramos \( F_0=0 \), la propiedad es cierta también; en efecto,
\( F_1^2-F_2F_0=1^2-1\cdot 0=1=(-1)^{1+1} \).
Comprobemos ahora el caso general:
\( F_{n}^2-F_{n+1}F_{n-1}=\left(\dfrac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}\right)^2-\dfrac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\Phi^{n-1}-(1-\Phi)^{n-1}}{\sqrt{5}}=\\\dfrac{1}{5}(\Phi^{2n}+(1-\Phi)^{2n}-2\Phi^n(1-\Phi)^n-(\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1})\cdot(\Phi^{n-1}-(1-\Phi)^{n-1}))=\\
\dfrac{1}{5}(\Phi^{2n}+(1-\Phi)^{2n}-2(-1)^n-\Phi^{2n}-(1-\Phi)^{2n}+\Phi^{n+1}(1-\Phi)^{n-1}+\Phi^{n-1}(1-\Phi)^{n+1})=\\\dfrac{1}{5}\left[\Phi^n(1-\Phi)^n\left(\dfrac{\Phi}{1-\Phi}+\dfrac{1-\Phi}{\Phi}\right)-2(-1)^n\right]=\\\dfrac{1}{5}[-3(-1)^n-2(-1)^n]=(-1)^{n+1}\hspace{1cm} \) q.e.d. - Veámoslo por el método de inducción.
Si es \( n=1 \) es cierta, pues
\( \sum\limits_{k=1}^{1}F_{2k-1}=F_1=1=F_2 \)
Supongamos ahora que la propiedad es cierta para \( n>1 \) y veamos que entonces también es cierta para \( n+1 \); en efecto,
\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}F_{2k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k-1}+F_{2(n+1)-1}=F_{2n}+F_{2n+1}=F_{2n+2}=F_{2(n+1)}\hspace{1cm} \) q.e.d. - Veámoslo por el método de inducción.
Si es \( n=1 \) es cierta, pues
\( \sum\limits_{k=1}^{1}F_{2k}=F_2=1=2-1=F_{3}-1 \)
Supongamos ahora que la propiedad es cierta para \( n>2 \)$ y veamos que entonces también es cierta para \( n+1 \); en efecto,
\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}F_{2k}=\sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k}+F_{2(n+1)}=F_{2n+1}-1+F_{2n+2}=F_{2n+3}-1=F_{2(n+1)+1}-1\hspace{1cm} \) q.e.d. - Veámoslo por el método de inducción.
Si es \( n=1 \) es cierta, pues
\( \sum\limits_{k=1}^{1}F_{k}^2=F_1^2=1^2=1=1\cdot 1=F_1\cdot F_2 \)
Supongamos ahora que la propiedad es cierta para \( n>1 \) y veamos que entonces también es cierta para \( n+1 \); en efecto,
\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}F_{k}^2=\sum\limits_{k=1}^{n}F_{k}^2+F_{n+1}^2=F_nF_{n+1}+F_{n+1}^2=F_{n+1}(F_n+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}\hspace{1cm} \) q.e.d. - Es claro que \( \dfrac{\pi}{4}=\arctg \dfrac{1}{1}=\arctg\dfrac{1}{F_2} \).
Por otra parte, recordemos que si \( z_1=(r_1)_{\alpha_1} \) y \( z_2=(r_2)_{\alpha_2} \) son números complejos, el argumento del complejo \( z_1\cdot z_2 \) es \( \alpha_1+\alpha_2 \); así pues, como \( (2+i)\cdot (3+i)=(5+5i) \) resulta que
\( \dfrac{\pi}{4}=\arctg\dfrac{1}{2}+\arctg\dfrac{1}{3}=\arctg\dfrac{1}{F_3}+\arctg\dfrac{1}{F_4} \). Veamos ahora que
\( \arctg\dfrac{1}{F_{2n}}=\arctg\dfrac{1}{F_{2n+1}} +\arctg\dfrac{1}{F_{2n+2}}\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \)
Dado \( n\geq 1 \), consideremos los números complejos
\( z_1=F_{2n+1}+i \)
\( z_2=F_{2n+2}+i \)
Es claro que sus argumentos son respectivamente
\( \arctg \dfrac{1}{F_{2n+1}} \)
\( \arctg \dfrac{1}{F_{2n+2}} \)
Por tanto, el argumento del complejo \( z_1\cdot z_2=(F_{2n+1}+i)\cdot (F_{2n+2}+i) \) es
\( \arctg \dfrac{1}{F_{2n+1}}+\arctg \dfrac{1}{F_{2n+2}} \)
Ahora bien, \( (F_{2n+1}+i)\cdot (F_{2n+2}+i)=F_{2n+1}F_{2n+2}-1+F_{2n+3}i \)
y
\( \dfrac{F_{2n+3}}{F_{2n+1}F_{2n+2}-1}=\dfrac{1}{F_{2n}} \); en efecto,
\( F_{2n}F_{2n+3}=F_{2n}(F_{2n+2}+F_{2n+1})=(F_{2n+2}-F_{2n+1})(F_{2n+2}+F_{2n+1})=F_{2n+2}^2-F_{2n+1}^2\stackrel{(*)}{=}F_{2n+2}^2-1-F_{2n+2}F_{2n}=
F_{2n+2}(F_{2n+2}-F_{2n})-1=F_{2n+2}F_{2n+1}-1 \)
y así
\( \arctg\dfrac{1}{F_{2n}}=\arctg \dfrac{1}{F_{2n+1}}+\arctg \dfrac{1}{F_{2n+2}} \hspace{1cm} \) q.e.d.
Consecuentemente:
\( \dfrac{\pi}{4}=\arctg\dfrac{1}{F_3}+\arctg\dfrac{1}{F_4}=\arctg\dfrac{1}{F_3}+\arctg\dfrac{1}{F_5}+\arctg\dfrac{1}{F_6}=\arctg\dfrac{1}{F_3}+\arctg\dfrac{1}{F_5}+\arctg\dfrac{1}{F_7}+\cdots +\arctg\dfrac{1}{F_{2n+1}}+\arctg\dfrac{1}{F_{2n+2}}\hspace{1cm}\forall\,n\geq 1 \) luego
\( \boxed{\dfrac{\pi}{4}=\sum\limits_{k=1}^\infty\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}}} \hspace{1cm} \) q.e.d.
\( (\ast) \) por la identidad de Cassini, propiedad (c) de la proposición. - Por la propiedad (g) es
\( \dfrac{\pi}{4}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}} \) luego
\( \dfrac{\pi}{2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}2\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}} \)
Ahora bien, se sabe que \( \sen 2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha \) de donde
\( 2\alpha=\arcsen(2\sen\alpha\cos\alpha) \)
Por otra parte, \( \sen\arctg x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \hspace{1cm} \cos\arctg x=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)
luego si tomamos \( \alpha=\arctg x\hspace{1cm} \) y \( \hspace{1cm}x=\dfrac{1}{F_{2k+1}}\hspace{1cm} \) resulta que
\( 2\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}} =\arcsen\left[2\sen\left(\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}}\right)\cos\left(\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}}\right) \right]=\arcsen\left(2\dfrac{\dfrac{1}{F_{2k+1}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}}\right)=\arcsen\left(\dfrac{2F_{2k+1}}{F_{2k+1}^2+1}\right)\stackrel{(\ast)}{=}\arcsen\left(\dfrac{2F_{2k+1}}{2+F_{2k}F_{2k+2}}\right) \)
\( (\ast) \) por la identidad de Cassini, propiedad (c) de la proposición aplicado al caso (\( 2k+1 \)).
En definitiva, \( \dfrac{\pi}{2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arcsen\left(\dfrac{2F_{2k+1}}{F_{2k}F_{2k+2}+2}\right) \hspace{1cm} \) q.e.d. - Puesto que \( \sen 4\alpha=2\sen 2\alpha\cos 2\alpha=4\sen\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha-\sen^2\alpha) \) resulta que
\( 4\alpha=\arcsen[4\sen\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha-\sen^2\alpha)] \); así pues, si tomamos \( \alpha=\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}} \) tenemos que
\( 4\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}}=\arcsen\left[4\dfrac{\dfrac{1}{F_{2k+1}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}-\dfrac{\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}{1+\dfrac{1}{F_{2k+1}^2}}\right)\right]=\arcsen\left(\dfrac{4F_{2k+1}}{F_{2k+1}^2+1}\cdot\dfrac{F_{2k+1}^2-1}{F_{2k+1}^2+1} \right)=\arcsen\left(\dfrac{4F_{2k+1}F_{2k}F_{2k+2}}{(F_{2k+1}^2+1)^2}\right)=\\\arcsen\dfrac{4F_{2k}F_{2k+1}F_{2k+2}}{(2+F_{2k}F_{2k+2})^2} \)
luego
\( \pi=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}4\arctg\dfrac{1}{F_{2k+1}}=\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\arcsen\dfrac{4F_{2k}F_{2k+1}F_{2k+2}}{(2+F_{2k}F_{2k+2})^2}}\hspace{1cm} \) q.e.d.
Se llama
triángulo de Fibonacci a todo triángulo rectángulo de catetos \( F_n \) y \( F_{n+1} \)
Se observa que:
\( \sen\varphi_n=\dfrac{F_n}{\sqrt{F_{2n+1}}}\hspace{1cm}
\cos\varphi_n=\dfrac{F_{n+1}}{\sqrt{F_{2n+1}}}\hspace{1cm}
\tg\varphi_n=\dfrac{F_n}{F_{n+1}} \)
luego se cumple que
\( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\tg\varphi_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{F_n}{F_{n+1}}=\dfrac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}}=\dfrac{1}{\Phi}=\Phi-1 \)
El área del triángulo de Fibonacci es \( \boxed{A=\dfrac{F_nF_{n+1}}{2}} \)
Se llama
círculo de Fibonacci al círculo cuyo radio es la hipotenusa del triángulo de Fibonacci, es decir \( \sqrt{F_{2n+1}} \):
El área del círculo de Fibonacci es \( \boxed{A=\pi F_{2n+1}} \)
El perímetro del círculo de Fibonacci es \( \boxed{P=2\pi\sqrt{F_{2n+1}}} \)
