[asdafw]

He intentado razonar el apartado d de la siguiente manera:

primero voy a demostrar que si \( mcd(a*72,a+72)=1 \) si \( mcd(a,72)=1 \) de ahí usaremos que,si el máximo común divisor es 1, \( mcm(a*72,a+72)=(a*72)*(a+72) \)
si suponemos que \( d=mcd(a+72,a*72) \) y si el \( mcd(a,72)=1  \) y por tanto \(  1=pa+q72 \). por tanto:
\( a=a^2+72a  \)
\(  72=72a+72^2 \)

ahora demostramos que d=1
como d es el mcd dividirá a:
\( d|72a \)
\( d|a+72 \)

y por tanto: \( d|p(a+72)+q(72*a) \) si \( p=a \) y \( q=-1 \) entonces  \( d|a^2+72a-72a=> d|a^2 \)
\( d|a^2 \) y \( d|a72 \) entonces \( d|a^2+72a \) y es igual a \( d|a \)

con b hacemos lo mismo:
\( d|p(a+72)+q(72*a) \) si \( p=72 \) y \( q=-1 \) entonces  \( d|72^2+72a-72a=> d|72^2 \)
\( d|72^2 \) y \( d|a72 \) entonces \( d|72a+72^2 \) y es igual a \( d|72 \)

como \( d|a \) y \( d|b \) entonces \( d|mcd(a,b) \) y por tanto \(  d|1 \) y como el único numero entero que divide a 1 es él mismo
\( d=1 \) por lo que el \( mcm(a+72,a*72)=72a(a+72) \)

Si ven algún fallo en la demostración, me encantaría que me lo hicieran saber.
muchas gracias a los tres por la ayuda, Masacroso, feriva y ani_pascual (no se mencionar jajaja)

[ani_pascual]

por tanto:
\( a=a^2+72a  \)
\(  72=72a+72^2 \)

Este paso no lo entiendo
Además, se suipone que \( p,q\in\mathbb{Z} \) son desconocidos y solo se sabe de ellos que son primos entre sí
PD:
Te recuerdo que puedes aplicar estos dos resultados teóricos:
\( mcd(a,b)\cdot mcm(a,b)=|ab|,\,\,\forall a,b\in\mathbb{Z} \)
\( mcd(a,b)=mcd(a+b,mcm(a,b)),\,\,\,\forall a,b\in\mathbb{Z} \)
Saludos

[feriva]

He intentado razonar el apartado d de la siguiente manera:

primero voy a demostrar que si \( mcd(a*72,a+72)=1 \) si \( mcd(a,72)=1 \) de ahí usaremos que,si el máximo común divisor es 1, \( mcm(a*72,a+72)=(a*72)*(a+72) \)

En este caso es casi más fácil (o igual de fácil) demostrar o razonar la generalidad [lo que te ha puesto ani_pascual: \( mcd(a,b)=mcd(a+b, mcm(a,b)) \)] que la particularidad.
\(  mcd( a,b ) =mcd( a+b,mcm( a,b ) )  \)
Para demostrarlo (o rzonarlo) haces \(  d=mcd( a,b ) ;a=dx;b=dy  \). Donde x,y son coprimos; esto es evidente, pues todos los factores comunes están en el máximo común divisor, “d”.
De esta forma queda escrito así
\(  mcd( xd,yd ) =mcd( xd+yd,mcm( xd,yd ) )  \).
¿Cuál es el mcm? El múltiplo más pequeño de los dos, y, con esas letras y lo dicho, tenemos dos múltiplos posibles:
\(  ab=xy d^2  \) y \(  xyd  \), siendo este último el más pequeño.

Spoiler

Observa que cuando d=1, entonces \(  xy d^2 =xyd  \); es decir, cuando d=1, el mcm es el producto de los dos números, “a” y “b” (que es el caso particular que tienes, lo cual lo hace más fácil y es lo que he usado en eso que te decía).

[cerrar]

Además, por definición y por lo dicho antes, \(  mcd( xd+yd ) =d  \), pues x,y son coprimos.
Y, por otra parte, como también queda dicho, \(  mcm( xd,yd ) =xyd  \).
Por tanto, tenemos el supuesto
\(  mcd( xd,yd ) =mcd( xd+yd,xyd ) ⇒  \)
\(  mcd( xd,yd ) =mcd( d[ x+y ] ,xyd )  \)
Sólo queda ver que \(  mcd( [ x+y ] ,xy ) =1  \).
Y en efecto; supongamos que un factor de “x” divide a x+y; entonces tiene que dividir a “y”, pero “x,y” son coprimos, no puede ser. Y análogamente si lo suponemos con un factor de “y”.
Así que
\(  mcd( xd,yd ) =mcd( d[ x+y ] ,xyd ) ⇒  \)
\(  mcd( xd,yd ) =mcd( d,d )  \).
Luego
\(  mcd( a,b ) =mcd( a+b,mcm( a,b ) )  \).
Y ya lo tienes visto para este problema u otros.

(*mira a ver si no me he despistado en algo, que suele ser habitual en mí).

Saludos.

[ani_pascual]

El apartado a) es una demostración que no voy a poner porque aparecía directamente en el libro

Aunque es probable que lo que sigue sea muy parecido a lo que viene en tu libro, por si acaso te interesa, te pongo en el spoiler los razonamientos sencillos a los que me refería antes para demostrar que \( mcd(a,b)=mcd(b,r) \) donde \( r \) es el resto de la división euclídea  de \( a/r \).

Spoiler

\( \exists\,q,r\in\mathbb{Z} \) tales que \( a=bq+r \), con \(  0\leq r<b \)
Entonces si llamamos \( d=mcd(a,b), f=mcd(b,r) \) se tiene
\( \left\{\begin{array}{l}d|a\\d|b  \end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}d|a\\d|bq  \end{array}\right.\Longrightarrow d|(a-bq)\Longleftrightarrow{d|r}\Longrightarrow d|f \)
Lo que está en rojo es redundante
Por otra parte, por Bezout, \( \exists\,m,n\in\mathbb{Z} \) primos entre sí, tales que \( f=bm+rn \)
Por tanto,
\( \left\{\begin{array}{l}d|b\\d|r  \end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}d|bm\\d|rn  \end{array}\right.\Longrightarrow d|(bm+rn)\Longleftrightarrow d|f \)
\( \left\{\begin{array}{l}f|b\\f|r  \end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}f|bq\\f|r  \end{array}\right.\Longrightarrow f|(bq+r)\Longleftrightarrow{f|a}\Longrightarrow f|d \)
En definitiva, \( d=f\Longleftrightarrow mcd(a,b)=mcd(b,r) \)

[cerrar]