[Jhon Peralta]

Hola, me podrían ayudar a resolver estos dos problemas, yo he logrado resolverlos con trigonometría pero lo que realmente me interesa es saber resolverlos utilizando geometría:
1. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro del triángulo ABC. Respuesta: 71,5°





2. En la figura, calcule “x”. Respuesta: 22,5°

Muchas gracias de antemano.

[Ignacio Larrosa]

De momento va el primero. La respuesta es \( \arctg 3\approx{}71.5651^\circ{} \)


Saludos,

[ingmarov]

¡Qué bonita esta matemática...!

Gracias maestro Ignacio.



Pongo visible el segundo




Saludos

[Jhon Peralta]

Muchas gracias Ignacio Larrosa por el apoyo y el tiempo dedicado.

[ingmarov]

Hola

Pongo un camino fácil de ver, el trigonométrico, por esto lo dejo en spoiler.

Revisa John

Spoiler

De la figura podemos plantear las ecuaciones

\( tan(x)=\dfrac{y}{a}\quad\Rightarrow\quad y=a\cdot tan(x) \)

\( tan(3x)=\dfrac{y+2a}{a}\quad\Rightarrow\quad y=a\cdot tan(3x)-2a \)


Igualando y, podemos llegar a la ecuación

\( \bf tan(3x)=tan(x)+2 \)


Utilizamos la identidad

\( tan(3x)=\dfrac{3tan(x)-tan^3(x)}{1-3tan^2(x)} \)


Sustituyendo en la ecuación, podemos llegar a

\( tan^3(x)+3tan^2(x)+tan(x)-1=0 \)

Un polinomio de grado tres, podemos factorizar

\( (tan(x)+1)(tan(x)+1-\sqrt{2})(tan(x)+1+\sqrt{2})=0 \)


Por lo que las soluciones resultan

\( x=\{\pi n-\dfrac{7\pi}{8},\; \pi n-\dfrac{3\pi}{8},\; \pi n-\dfrac{\pi}{8}\},\qquad n\in\mathbb{Z} \)


De la figura podemos decir que

\( 0<3x<\dfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow \quad 0<x<\dfrac{\pi}{6} \)


Para n=1, el único valor que está en el intervalo es

\( x=\dfrac{\pi}{8}rad=22.5^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

[Jhon Peralta]

Gracias ingmarov. Yo también lo hice así, pero de una manera un poco más algebraica.

[ingmarov]

Gracias ingmarov. Yo también lo hice así, pero de una manera un poco más algebraica.

Ah interesante, comparte tu solución para echarle un ojo.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Una solución puramente geométrica:



Y otra trigonométrica muy sencilla:

\( CD=a·\sec \alpha \\
\triangle ACD\rightarrow{} \frac{a·\sec \alpha}{\sen(90^\circ -3\alpha)}=\frac{2a}{\sen(2 \alpha)}\Rightarrow{\sen(\alpha)=\sen(90^\circ - 3\alpha)}\\
0<\alpha, 3\alpha<90^\circ\Rightarrow{}\alpha=90^\circ-3\alpha\Rightarrow{}\alpha=22.5^\circ \)

Ambas debidas a fatih sağlam en https://twitter.com/delireis_1453/status/1222105086836559872?s=20

Saludos,

[Jhon Peralta]

Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

[Ignacio Larrosa]

Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

Tienes razón, fue un gazapo. Aquí tienes otra demostración geométrica sencilla:



Saludos,