[statistic_man]

Hola, estoy estudiando análisis vectorial y me piden que encuentre una parametrización de la variedad con pseudoborde:
\( B= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y^2 \leq x+1, x^2+y^2 \leq 1\}  \). El caso es que intenté parametrizar el interior y el borde por separado (ya que estos son variedades) pero la profesora me indicó que esto es incorrecto ya que una variedad con pseudoborde, como tal no es una variedad. Se trata de encontrar el abierto U y la expresión del homeomorfismo. He pensado que utilizando coordenadas polares podría ser útil, por el hecho de que estas parametrizaciones simplifican los cálculos a la hora de estudiar otros conceptos como espacios tangentes, integrales de stokes... Saludos y gracias.

[jbgg]

Como sabrás, para una variedad sin borde la parametrización está dada de un abierto de \( \mathbb{R}^n \) a un abierto de la variedad, pero para una variedad con borde se da una parametrización se da de un abierto de \( H=\{(x_1,\ldots,x_n):x_n\geq0\} \) a un abierto de la variedad. En este caso la dimensión de la variedad es 2, por tanto \( H=\{(x_1,x_2):x_2\geq0\} \).

Para parametrizar, deberás cubrir con abiertos la variedad y dar parametrizaciones para estos abiertos. Por ejemplo, el conjunto \( \{(x,y): y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \) es un abierto de la variedad, ¿sabrías dar una parametrización definida en un abierto de \( H=\{(u,v):v\geq0\} \) (he cambiado las variables para no liar las variables de la parametrización) que tenga como imagen el conjunto \( \{(x,y): y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \)?

Por cierto, supongo que estás hablando de variedades topológicas porque esa variedad no es una variedad diferenciable (en el sentido de subvariedad diferenciable de \( \mathbb{R}^2 \), observa que el punto \( (0,1) \) no "tiene tangente").

[statistic_man]

Efectivamente me refería a que no son variedades diferenciables.

No entiendo por qué el conjunto \( \{(x,y): y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \) es abierto (¿te refieres en la topología relativa?). Normalmente estas parametrizaciones las solemos hacer como tú indicas, buscamos un parámetro que al valer cero en el abierto, indique que esté en el borde, y si es mayor que cero, que este en la variedad (interior). El caso es que las desigualdades y ecuaciones en este caso son complejas para despejar incógnitas (he intentado hacerla en polares) a parte de que el borde tiene varios  tipos de puntos, en tanto y cuando, hay puntos como el (0,1) que hacen las desigualdades en igualdades y me cuesta hacer una parametrización global. Saludos.

[jbgg]

Efectivamente, el conjunto \( \{(x,y):y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \) es abierto en la variedad con la topología relativa.

Por ejemplo para ese abierto, en la imagen te sugiero unos posibles parámetros para la parametrización. Ahora tienes que buscar el dominio de la parametrización y la expresión. Si tienes dudas puedes consultarlo y te ayudo. Espero que esto te sirva.

[jbgg]

Otra opción de parametrización para esa parte es en polares como decías, usando la variable \( u \) como el ángulo y la variable \( v \) como la distancia (radial) del borde al punto (valdría 0 en el borde y positivo conforme se va adentrando).

Aunque la opción de polares no creo que convenga en las otras partes.

[statistic_man]

He hecho esto:

Cuando \( x^2+y^2=1  \) está en el borde y cuando  \( x^2+y^2<1  \) está en el interior luego el parámetro que me indica si estoy en la variedad o no es éste \( t=1-x^2-y^2>0  \). La x=u así que la aplicación sería:
\( \phi(u,t)= (u,\sqrt{1-t-u^2})  \) y esto me da una representación local del semicírculo superior. Tomando el valor negativo de la raíz tendría el otro trozo. Si t=0, \( \phi(u,0)= (u,\sqrt{1-u^2})  \) que es la parametrización del trozo de circunferencia de radio 1. El cómo he sacado la aplicación es claro \( t=1-u^2-y^2  \) despejando y \( y^2=1-u^2-t  \) y listo.
El abierto sería \( U= \{(u,t) \in \mathbb{R}; u \in (0,1), t<1-u^2\}  \). Habría que estudiar si la última desigualdad define un abierto o no, pero he concluido que \(  t \in (-0.1,1) \) (he puesto valores negativos para que se salga un poco de la variedad para que pille al cero). El razonamiento empleado para obtener la cota superior es que  \( u \in (0,1)  \) luego  \( u^2 \in (0,1)  \) u \( 0<1-u^2<1  \). Finalmente como \( t< 1-u^2 <1  \) y así bastaría tomar el abierto (ahora sí es claro) \( U=(0,1) \times (-0.5,1)  \). Espero que esté bien, sino espero alguna sugerencia. Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

He hecho esto:

Cuando \( x^2+y^2=1  \) está en el borde y cuando  \( x^2+y^2<1  \) está en el interior luego el parámetro que me indica si estoy en la variedad o no es éste \( t=1-x^2-y^2>0  \). La x=u así que la aplicación sería:
\( \phi(u,t)= (u,\sqrt{1-t-u^2})  \) y esto me da una representación local del semicírculo superior. Tomando el valor negativo de la raíz tendría el otro trozo. Si t=0, \( \phi(u,0)= (u,\sqrt{1-u^2})  \) que es la parametrización del trozo de circunferencia de radio 1. El cómo he sacado la aplicación es claro \( t=1-u^2-y^2  \) despejando y \( y^2=1-u^2-t  \) y listo.
El abierto sería \( U= \{(u,t) \in \mathbb{R}; u \in (0,1), t<1-u^2\}  \).

Pero ahí no veo que estés parametrizando el borde, a no ser que tomes:

\( U=\{(u,t)\in \mathbb{R}^2| u\in (0,1),\,\color{red}0\leq\color{black} t<1-u^2\} \)

Habría que estudiar si la última desigualdad define un abierto o no, pero he concluido que \(  t \in (-0.1,1) \) (he puesto valores negativos para que se salga un poco de la variedad para que pille al cero).

No estoy seguro de entender como has razonado ahí. Hay un razonamiento estandar y muy simple para ver que ese tipo de conjuntos es abierto. Se basa en el hecho de que la imagen inversa de un abierto por una aplicación continua es abierta. En nuestro caso basta considerar la función continua:

\( f:\{(u,t)\in \mathbb{R}^2|t\geq 0\}\longrightarrow{}\mathbb{R},\quad f(u,t)=t+u^2-1 \)

entonces \( U=f^{-1}(-\infty,0)\cap (0,1)\times [0,+\infty) \) que es abierto en \( \{(u,t)\in \mathbb{R}^2|t\geq 0\} \) por ser intersección de abiertos.

Finalmente como \( t< 1-u^2 <1  \) y así bastaría tomar el abierto (ahora sí es claro) \( U=(0,1) \times (-0.5,1)  \). Espero que esté bien, sino espero alguna sugerencia. Gracias.

No entiendo muy bien ese abierto \( U=(0,1) \times (-0.5,1)  \) a que viene.

De todas formas puedes hacerlo de golpe para todo el lado derecho, como te sugería jbgg:

\( (-1,1)\times [0,1)\longrightarrow{}\{(x,y):y^2\leq x+1, x^2+y^2\leq 1, x>0\} \)

\( (s,t)\longrightarrow ((1-t)\sqrt{1-s^2},s) \)

Saludos.

[statistic_man]

En cuanto al abierto que he tomado, he tomado ese, ya que el abierto que necesito debe contener necesariamente al cero, de tal manera que cuando t=0, tenga el borde. He añadido un poco más por la misma razón, si tomo el abierto (0,1) el borde no estaría. Pero estoy tomando los abiertos en la topología usual y es cierto que se toman con respecto a la relativa luego el conjunto \( U= \{(u,t)\in \mathbb{R}^2: u \in (0,1) ,0 \leq t < 1-u^2 \} \) soluciona el problema, es abierto por ser la preimagen de un abierto (el que has expuesto) por medio de la aplicación contínua que comentas. Así habríamos terminado. ¿Cierto?

Para realizar integrales y demás, creo que siempre es bueno simplificar el abierto para que los límites de integración sean más manejables.

[Luis Fuentes]

Hola

En cuanto al abierto que he tomado, he tomado ese, ya que el abierto que necesito debe contener necesariamente al cero, de tal manera que cuando t=0, tenga el borde. He añadido un poco más por la misma razón, si tomo el abierto (0,1) el borde no estaría.

Creo que entiendo lo que quieres decir, expresas el abierto \( U= \{(u,t)\in \mathbb{R}^2: u \in (0,1) ,0 \leq t < 1-u^2 \} \) el semiplano \( \mathbb{R}\times [0,+\infty) \) como intersección de un abierto más grande de \( \mathbb{R^2} \) con tal semiplano. Eso es correcto. Pero deberías de especificarlo más claramente.

Pero estoy tomando los abiertos en la topología usual y es cierto que se toman con respecto a la relativa luego el conjunto \( U= \{(u,t)\in \mathbb{R}^2: u \in (0,1) ,0 \leq t < 1-u^2 \} \) soluciona el problema, es abierto por ser la preimagen de un abierto (el que has expuesto) por medio de la aplicación contínua que comentas. Así habríamos terminado. ¿Cierto?

Si, habríamos parametrizado ese trozo de la variedad con borde indicada.

Saludos.