[jef0]

Hola, otra ves recaigo en uds., esta ves para que me saquen una duda con respecto a los cuantificadores anidados.

Mi problema se presenta cuando me piden demostrar proposiciones cuantificadas de la forma que sigue:

1.  \( \forall{x},\exists{y},P(x,y) \)
2.  \( \forall{y},\exists{x},P(x,y) \)
 
3.  \( \exists{x},\forall{y},P(x,y) \)
4.  \( \exists{y},\forall{x},P(x,y) \)

5.  \( \forall{x},\forall{y},P(x,y) \)
6.  \( \exists{x},\exists{y},P(x,y) \)

[EDITADO]
Por ejemplo para 1. procedo pensando de la siguiente forma:

Para cualquier x, existe al menos una y, que puede depender de la elección de x, tal que P(x,y). Y para demostrar la veracidad de este hecho lo que hago es buscar un valor de y(puede que sea general, por ejemplo, y=x+2; o un valor numerico) para el cual se cumpla la P(x,y); en caso contrario muestro que P(x,y) es falso para todo valor de y

Aquí mis preguntas,
a.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b.¿De la misma forma podria pensar ejercicios de la forma 2.(con los respectivos cambios de variables)?

Ejercicios de la forma 3. los pienso así:

Existe al menos un valor de x para el cual y puede ser cualquier valor, tal que P(x,y) es verdadera.
Para demostrar que esto es verdad procedo a hacer una demostración en la cual se muestra que para cada x del dominio de discurso P(x,y) es cierta; en caso contrario propongo un contraejemplo.

Nuevamente mis preguntas, semejantes a las anteriores:
a'.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b'.¿De la misma forma podria pensar ejercicios de la forma 2.(con los respectivos cambios de variables)?

Para resolver ejercicios del tipo 5.:

En caso de que se verdad esa afirmación, propongo una demostración en la cual se vea que es cierto para cualquier valor de x e y que se elija; de no ser así desarrollo un contraejemplo con valores de x e y.

Preguntas:
a''.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b''.¿Es indistinto el orden en el que venga x e y?

Para la forma 6.:
Elijo valores de x e y para los cuales se cumpla P(x,y). Sino demuestro que P(x,y) no se cumple para ningún valor de x e y.

Preguntas:
a''.¿Esta forma de pensar el ejercicio es correcta?
b''.¿Es indistinto el orden en el que venga x e y?

[/EDITADO],

Quisiera, si fuese posible, que me expliquen alguna forma de poder proceder para resolver estos problemas.

Desde ya muchas gracias por su tiempo.

[Lupas]

El primer ejemplo creo que lo razonas bien.

El tercero también, compruebas que para algún x se verifica P(x,y) (para todo Y)..

Por ejemplo, si supones un universo pequeño {1,2}, y la propiedad P={(1,1),(1,2)}

Existe un x para el que para todo y P(x,y). Es cierto pues para x = 1 se cumple. El primer ejemplo no se cumpliría en este caso, para x=2 no existe nigún y verificando P(x,y).


El segundo ejemplo es casi igual que el primero, lo único es que cambia el orden de los parámetros de P.


En general creo que razonas bien, puedes probar a resolver ejemplos concretos como el que expuse aquí. El orden sí que importa, no es lo mismo existe un x tal que para todo y P(x,y) que para todo y existe un x tal que P(x,y).

[jef0]

Nuevamente agradezco enormemente a las respuestas.
Por suerte tu respuesta, Lupas, aclararo unas cuantas dudas.

Saludos y gracias muchas .

[LauLuna]

Esta respuesta puede llegar tarde pero ahí va.

Parece que se trata de un ejercicio de lógica cuantificacional (o de predicados) de primer orden. Si es así, no veo cómo podrías demostrar las fórmulas que propones, ya que no son teoremas lógicos.

Se me ocurre que tal vez se trata más bien de buscar interpretaciones que hagan verdaderas a esas fórmulas. Entonces tienes que empezar por definir un universo de discurso U sobre el que varíen las x, y, etc. y a continuación interpretar el predicado diádico P como un subconjunto de UxU.

Luego ya lo que puedes demostrar es que las interpretaciones escogidas satisfacen las fórmulas propuestas.

Saludos

[jef0]

Esta respuesta puede llegar tarde pero ahí va.

Parece que se trata de un ejercicio de lógica cuantificacional (o de predicados) de primer orden. Si es así, no veo cómo podrías demostrar las fórmulas que propones, ya que no son teoremas lógicos.

Se me ocurre que tal vez se trata más bien de buscar interpretaciones que hagan verdaderas a esas fórmulas. Entonces tienes que empezar por definir un universo de discurso U sobre el que varíen las x, y, etc. y a continuación interpretar el predicado diádico P como un subconjunto de UxU.

Luego ya lo que puedes demostrar es que las interpretaciones escogidas satisfacen las fórmulas propuestas.

Saludos

Muchas gracias LauLuna por tu respuesta, resulto ser igual de util que el resto. En gral. muchas gracias a todos por las respuestas, creo haberlo dicho ya pero no importa, vale la pena repetirlo.

Saludos a todos.