[Juan Pablo Sancho]

Mira el criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann.
Criterio

[africamer]

Muchas gracias!

[Buscón]

Hola:

¿Como que no converge si al cero si lo toma la función?
¿Es discontinua?
¿Está bien acotada?

La integral impropia no converge ya que:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0^+}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}dx=\displaystyle\lim_{t \to 0}{}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}dx=\ldots \)

Ya puedes continuar con la integral y el límite.

Saludos.

La primitiva es    \( h(x)=\log x \)    así que su integral en    \( [t,1] \)    es    \( \log x\bigg|_{t}^{1}=\log 1-\log(t)=-\log t \)    que cuando    \( t\rightarrow{0} \)    tiende a    \( -\infty \).

Entonces

\( \displaystyle\lim_{t \to 0}{}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}dx=+\infty \)

Sin embargo para

\( \displaystyle\int_{0^+}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx=\displaystyle\lim_{t \to{0}}{\displaystyle\int_{t}^{1}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}} \)

la primitiva de la función es    \( g(x)=2\sqrt[ ]{x} \)   así que su integral en    \( [t,1] \)    es    \( 2\sqrt[ ]{x}\bigg|_{t}^{1}=2\sqrt[ ]{1}-2\sqrt[ ]{t} \)    que cuando    \( t\rightarrow{0} \)    tiende a   \( 2 \).

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas


son prácticamente idénticas?

No consigo interpretarlo. Gracias anticipadas. Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para \( x \) muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si \( x=1/10000 \) se tiene que:

\( h(x)=\dfrac{1}{x}=10000 \)

\( g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100 \)

Saludos.

[Buscón]

Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para \( x \) muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si \( x=1/10000 \) se tiene que:

\( h(x)=\dfrac{1}{x}=10000 \)

\( g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100 \)

Saludos.

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Además. Si se construyen funciones    \( f_k \)    cuyas gráficas se vayan aproximando cada vez más a    \( \displaystyle\frac{1}{x} \)    de tal forma que

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}<f_1(x)<f_2(x)<\ldots<f_n(x)<\displaystyle\frac{1}{x} \),       para todo    \( x\in{(0,1]} \)

y sus primitivas    \( F_1,F_2\ldots F_k \)    verifiquen

\( 2=\displaystyle\lim_{t \to{0}}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_1(1)-F_1(t)\big)<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_2(1)-F_2(t)\big)<\ldots<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_n(1)-F_n(t)\big)<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\;dx=+\infty \),       para todo    \( x\in{(0,1]} \)

¿Para que    \( k \)    comienza a ser divergente la integral? Es claro que debe existir ese    \( k \).

 Gracias.

EDITADO.

Creo que ya he caído en la cuenta.

 

Esas integrales no son otra cosa que una sucesión divergente de números reales

[Ignacio Larrosa]

Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para \( x \) muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si \( x=1/10000 \) se tiene que:

\( h(x)=\dfrac{1}{x}=10000 \)

\( g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100 \)

Saludos.

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Además. Si se construyen funciones    \( f_k \)    cuyas gráficas se vayan aproximando cada vez más a    \( \displaystyle\frac{1}{x} \)    de tal forma que

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}<f_1(x)<f_2(x)<\ldots<f_n(x)<\displaystyle\frac{1}{x} \),       para todo    \( x\in{(0,1]} \)

y sus primitivas    \( F_1,F_2\ldots F_k \)    verifiquen

\( 2=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx<F_1(x)<F_2(x)<\ldots<F_n(x)<\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\;dx=+\infty \),       para todo    \( x\in{[0,1]} \)

¿Para que    \( k \)    comienza a ser divergente la integral? Es claro que debe existir ese    \( k \).

 Gracias.

EDITADO.

Creo que ya he caído en la cuenta.

 

Esas integrales no son otra cosa que una sucesión divergente de números reales

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

\( \displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k} \)

Pero cuando \( k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty} \)

Saludos,

[Buscón]

Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para \( x \) muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si \( x=1/10000 \) se tiene que:

\( h(x)=\dfrac{1}{x}=10000 \)

\( g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100 \)

Saludos.

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Además. Si se construyen funciones    \( f_k \)    cuyas gráficas se vayan aproximando cada vez más a    \( \displaystyle\frac{1}{x} \)    de tal forma que

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}<f_1(x)<f_2(x)<\ldots<f_n(x)<\displaystyle\frac{1}{x} \),       para todo    \( x\in{(0,1]} \)

y sus primitivas    \( F_1,F_2\ldots F_k \)    verifiquen

\( 2=\displaystyle\lim_{t \to{0}}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_1(1)-F_1(t)\big)<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_2(1)-F_2(t)\big)<\ldots<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\big(F_n(1)-F_n(t)\big)<\displaystyle\lim_{t \to{0}}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\;dx=+\infty \),       para todo    \( x\in{[0,1]} \)

¿Para que    \( k \)    comienza a ser divergente la integral? Es claro que debe existir ese    \( k \).

 Gracias.

EDITADO.

Creo que ya he caído en la cuenta.

 

Esas integrales no son otra cosa que una sucesión divergente de números reales

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

\( \displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k} \)

Pero cuando \( k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty} \)

Saludos,

Te adelantaste a la corrección. Gracias por el apunte. No consigo verlo todavía pero hace pensar. La intuición me dice que esto sucede para todo    \( x\in{(0,b]} \)   \( b\neq{+\infty} \)    pero en estos temas la intuición es traidora. 

Yo diría que diverge por que el extremo inferior del intervalo de integración tiende a cero. No porque    \( b \),    (\( k \)    en tu caso),    sea mayor o menor que uno.

Las funciones en    \( x=1 \)    están definidas, son continuas y para cualquier intervalo    \( (u,v)\subset{(0,b)} \),     \( b\neq{+\infty} \)    están acotadas, así que son integrables Riemann propias. Yo diría que en ese caso convergen.

Basta tomar    \( \displaystyle\lim_{t \to{1/2}}{\displaystyle\int_{t}^{1}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx \).

Saludos.

[Masacroso]

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Uy, hay muchas cosas en matemáticas que son profundamente contraintuitivas, de hecho en vez de matemáticas podría llamarse también "el arte de lo contraintuitivo". En probabilidad la "contraintuitividad" o "explosionismo de cabeza" está a la orden del día. Bueno, y en muchas otras áreas de las matemáticas también (especialmente cuando el axioma de elección entra en juego).

Llega un momento ya que no te sorprende casi nada, te vas "insensibilizando" a lo contraintuitivo o, mejor dicho, tienes una perspectiva más abierta a lo que puedas encontrar.

En el caso de este hilo lo que pasa es que para valores muy grandes la intuición de la proporción se pierde, por eso te choca que pueda haber tanta diferencia entre las áreas de las curvas que, a primera vista, parecen "semejantes".

[Ignacio Larrosa]

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

\( \displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k} \)

Pero cuando \( k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty} \)

Saludos,

Te adelantaste a la corrección. Gracias por el apunte. No consigo verlo todavía pero hace pensar. La intuición me dice que esto sucede para todo    \( x\in{(0,b]} \)   \( b\neq{+\infty} \)    pero en estos temas la intuición es traidora. 

Yo diría que diverge por que el extremo inferior del intervalo de integración tiende a cero. No porque    \( b \),    (\( k \)    en tu caso),    sea mayor o menor que uno.

Las funciones en    \( x=1 \)    están definidas, son continuas y para cualquier intervalo    \( (u,v)\subset{(0,b)} \),     \( b\neq{+\infty} \)    están acotadas, así que son integrables Riemann propias. Yo diría que en ese caso convergen.

Basta tomar    \( \displaystyle\lim_{t \to{1/2}}{\displaystyle\int_{t}^{1}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx \).

Saludos.

Te has liado con la \( a \) y la \( k \), creo. La integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx \) converge para \( k < 1 \) y diverge para \( k \geq{} 1 \), en el extremo del 0, naturalmente.

Saludos,

[Buscón]

Te has liado con la \( a \) y la \( k \), creo. La integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx \) converge para \( k < 1 \) y diverge para \( k \geq{} 1 \), en el extremo del 0, naturalmente.

Al extremo superior del intervalo de integración me refería, no a la     \( k \).    Si el extremo inferior es mayor que cero no importan la    \( k \)    o la    \( b \).    La integral converge en cualquier caso si    \( b\neq{}+\infty \).

Pero si, es de mucha más utilidad estudiar el exponente en el extremo del cero. Efectivamente, justo ahí, en     \( k<1 \)    o    \( k>1 \)    se decide la divergencia o convergencia si el extremo inferior del intervalo de integración ronda el cero.

Sorprendente!

Saludos y muchas gracias.