[Slayer Tony]

Hola, ¿cómo podría demostrar que esta función no es integrable?

\( f(x)=\begin{cases} 1/x & \text{si}& 0<x<1\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

[Masacroso]

Hola, ¿cómo podría demostrar que esta función no es integrable?

\( \displaystyle{
f(x)=\begin{cases}\frac1x,&0<x<1\\ 0, &x=0\end{cases}
} \)

Como integral de Riemann: puedes mostrar que para cualquier partición dada del conjunto \( [0,1/2] \) siempre se puede definir una suma de Riemann arbitrariamente grande, por lo cual no se puede adjudicar un valor real a la integral.

Como integral de Lebesgue: como \( f \) es no negativa y continua casi en todas partes entonces su integral de Lebesgue coincide con la correspondiente integral impropia de Riemann, la cual no es finita.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿cómo podría demostrar que esta función no es integrable?

\( \displaystyle{
f(x)=\begin{cases}\frac1x,&0<x<1\\ 0, &x=0\end{cases}
} \)

Como integral de Riemann: puedes mostrar que para cualquier partición dada del conjunto \( [0,1/2] \) siempre se puede definir una suma de Riemann arbitrariamente grande, por lo cual no se puede adjudicar un valor real a la integral.

Pero de hecho para la integral de Riemann mediante particiones, la función debe de ser acotada. En este caso es una integral impropia y se prueba que no converge.

Saludos.

[Slayer Tony]

¿Como que no converge si al cero si lo toma la función?
¿Es discontinua?
¿Está bien acotada?

[robinlambada]

Hola:

¿Como que no converge si al cero si lo toma la función?
¿Es discontinua?
¿Está bien acotada?

La integral impropia no converge ya que:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0^+}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}dx=\displaystyle\lim_{t \to 0}{}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}dx=\ldots \)

Ya puedes continuar con la integral y el límite.

Saludos.

[Buscón]

La función diverge cuando    \( x\rightarrow{0} \)    a pesar de que    \( f(0)=0 \).    No está acotada.

\( \big|f(x)-f(0)\big|>1 \)    para todo    \( x\in{(0,1]} \).    Para    \( \epsilon=1 \),    no existe    \( \delta>0 \)    tal que si    \( |x-0|<\delta \)... 

o de otra manera

\( f(0)=0\neq{}\displaystyle\lim_{x \to{0}\\x>0}{\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}=+\infty \).

     

No tienen sentido el conjunto bajo la curva    \( \sup\big\{I(f,P):\,P\in{}\mathcal{P}[0,1]\big\} \).    (Aproximación al área por debajo de la curva).   

Para cualquier aproximación al área por debajo de la curva mediante sumas de Riemann, siempre es posible encontrar una mayor. Por definición, él supremo de ésta suma es la integral Riemann si coincide con el ínfimo de las aproximaciones al área por encima de la curva. Si una no existe, la coincidencia es imposible.     


Saludos.

EDITADO.

Dándole vueltas al tema.    El conjunto    \( \{I(f,P):\,P\in{\mathcal{P}[0,1]}\} \)    no está acotado superiormente. ¿Lo está inferiormente el conjunto    \( \{G(f,P):\,P\in{\mathcal{P}[0,1]}\} \)?

[africamer]

Un par de consultas referidas al tema de funciones integrables.¿hay alguna teorema "práctico" para verificar si una función no es integrable?, se puede afirmar que si es contínua es integrable, pero no vale la recíproca ¿tienen algún ejemplo de funciones no integrables pero contínuas?

[martiniano]

Hola.

Un par de consultas referidas al tema de funciones integrables.¿hay alguna teorema "práctico" para verificar si una función no es integrable?, se puede afirmar que si es contínua es integrable, pero no vale la recíproca ¿tienen algún ejemplo de funciones no integrables pero contínuas?

A ver si puedo echarte una mano. Si una función es continua, entonces es integrable, bien. Pero esto ya debería contestar a la pregunta que te haces. Supongo que querías pedir ejemplos de funciones discontinuas integrables. Si es así es sencillo darte ejemplos. De hecho se puede expresar lo que dices de una forma más general, diciendo que las funciones continuas a trozos son integrables. Un ejemplo fácil de este caso es la función \( f(x)=x-E(x) \) , donde \( E(x) \) representa la función parte entera.


Si lo que quieres ver es una integral impropia convergente, te puede servir:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\,dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{-\displaystyle\frac{1}{2}}\,dx=\left[2\sqrt[ ]{x}\right]_0^1=2 \)

¿Era algo de eso lo que querías? Un saludo

[africamer]

quize decir funciones discontínuas e integrables, pero asumí que las continuas a trozos son integrables, es decir, una discontínua en todas partes e integrable, será posible? porque según entiendo, si encuentro una función de este tipo no hay un teorema para decidir si es integrable o no, pero todas las funciones que se me ocurren que cumplen esta condición no parecen ser integrables, por ejemplo \( f(x)=0 \) si x racional,\( f(x)=1 \) si x irracional, es discontínua \( \forall{x} \) pero tampoco parece integrable.
No termino de comprender por qué no vale afirmar que las funciones que no son contínuas a trozos no son integrables, no encuentro un contraejemplo.
Espero haber sido más claro

[martiniano]

Hola.

Vale. Ya sé por dónde vas. Es que hay varias definiciones de integral. Está la de Riemann, según la cual la función esa que has puesto no es integrable, y la de Lebesque, según la cual la integral de esa función vale cero. Yo ando un poco verde en el tema y habrá que esperar a que alguien nos ayude, pero es algo así como que el cardinal de los racionales es menor que el de los reales y, entonces, la probabilidad de encontrar uno al azar en la recta real es cero.

A ver que más se dice. Un saludo.

Añadido

No. Perdona. La función a la que me refiero, cuya integral es nula, es la función característica de los números racionales, justo al revés que la tuya.