Autor Tema: Comentarios a: El Último Teorema de Fermat para p = 5

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Junio, 2016, 01:53 am
Leído 203531 veces

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,669
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Este hilo está dedicado a los comentarios al hilo El Último Teorema de Fermat para p = 5.

Hace un par de semanas me escribió alguien que no participa en este foro, pero que había leído este hilo en el que expuse la prueba de Gauss del Último Teorema de Fermat para \( p=3 \). Me preguntó si me veía con fuerzas para hacer lo mismo para \( p=5 \). Estuve documentándome un poco y concluí que sí, que es posible demostrar el UTF para exponente \( 5 \) con técnicas puramente elementales en el mismo sentido que en el hilo mencionado, es decir, accesibles sin más base que las propiedades elementales de los números enteros, de los números complejos y de los polinomios.

Ya le contesté dándole referencias y algunos argumentos, pero he pensado que tal vez haya alguien en el foro interesado en conocer la prueba. Con más detalle, Kummer demostró que el UTF es válido para una familia de primos que llamó primos regulares. No se sabe si hay infinitos (se conjetura que sí), pero, por ejemplo, todos los primos menores que 100 son regulares excepto tres de ellos.

La prueba de Kummer para primos regulares arbitrarios requiere saber un tanto de teoría algebraica de números, pero el caso \( p= 5 \) se puede demostrar evitándola por completo (evitando incluso la teoría de cuerpos básica), pero al mismo tiempo la prueba de este caso particular permite formarse una idea bastante fiel de en qué consiste la prueba general de Kummer.

Como en el caso \( p=3 \), el núcleo de la prueba consiste en demostrar que los enteros ciclotómicos (ahora de orden 5 en lugar de orden 3) tienen factorización única, lo cual dista mucho de ser un hecho "elemental", pero el caso es que todos los conceptos y resultados involucrados pueden introducirse y demostrarse de forma "elemental", es decir, sin más apoyo que las matemáticas "que conoce todo el mundo".

En fin, si hay lectores de este foro interesados en que detalle el argumento (y dispuestos a seguir el hilo llenando los detalles, como hicimos en el caso \( p=3 \)) lo expondré con mucho gusto, pero si no interesa, preferiría que nadie dijera lo contrario por compromiso, porque entiendo que el esfuerzo merece la pena si y sólo si alguien está interesado en aprovecharlo (y dispone de un poco de tiempo para ello, cosa que no siempre es fácil).




Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)

Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
UTF p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal



Enlaces a todas las páginas de este hilo (Dale click a la página a que quieras ir)

1   2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23

09 Junio, 2016, 12:17 pm
Respuesta #1

Proyecto_dos

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 447
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,


Ok Carlos, me has pillado justo en uno de mis regresos de hijo pródigo que hago de tiempo en tiempo cuando se me agotan las ideas y salgo por ahí en busca de otras cosas; como siempre no he encontrado nada que agote mi interés, jaja

Bueno y ahora las razones objetivas. Es un lujo aprovecharse de tu docencia y encima gratis. No quiero dejar pasar esta oportunidad. Yo me apunto. Además me ha convencido eso de utilizar sólo las propiedades elementales de los números enteros y tengo curiosidad por averiguar hasta dónde se pueden estirar éstas. Me arriesgaré a quedar de tontito haciendo preguntas elementales jaja. Me reitero, es muy difícil encontrar un Foro como éste con administradores que sean capaces de responder con criterio a cuestiones básicas o elementales.


Un saludo y gracias por el ofrecimiento,
  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 

09 Junio, 2016, 04:09 pm
Respuesta #2

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,669
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Yo me apunto.

Bienvenido, pues.

Además me ha convencido eso de utilizar sólo las propiedades elementales de los números enteros y tengo curiosidad por averiguar hasta dónde se pueden estirar éstas.

No sé si has entendido bien lo que quería decir. No he dicho que sólo utilizaré las propiedades elementales de los números enteros, sino que para seguir el argumento sólo es necesario partir del conocimiento de las propiedades elementales de los números enteros, y pocas cosas más, como las propiedades elementales de los polinomios y de los números complejos. A partir de ahí el argumento es muy similar al que expuse para p = 3: hay que probar que los enteros ciclotómicos de orden 5 tienen factorización única, junto con algunos hechos más sobre su aritmética. Pero todo eso, que habitualmente se prueba en los libros usando técnicas de teoría de cuerpos, teoría algebraica de números e incluso técnicas analíticas, puede probarse con la misma clase de métodos empleados en el hilo de p = 3, que no requieren más conocimientos que los indicados.

Me arriesgaré a quedar de tontito haciendo preguntas elementales jaja.

No, eso sí que no. Es justo lo contrario. Si para seguir el hilo hiciera falta un nivel alto de matemáticas, entonces sería un fracaso, porque cualquier lector haría mejor en coger un libro de teoría algebraica de números, donde puede encontrar la misma prueba usando técnicas más conceptuales. La única razón de ser de este hilo es conseguir que la prueba sea realmente accesible a lectores que no sepan nada de anillos de enteros algebraicos, teoría de Galois, la geometría de los números de Minkowski, números p-ádicos, etc. Nada de eso hará falta aquí, y para conseguir este objetivo es fundamental que alguien (como tú, y cualquier otro que quiera apuntarse) colabore detectando todos los puntos que podrían resultar difíciles de entender para un lector sin esa base sofisticada. De modo que si preguntas por cualquier punto que te resulte oscuro no estarás entorpeciendo el hilo en absoluto, sino todo lo contrario, estarás contribuyendo de forma esencial a que el hilo cumpla la única razón de su existencia: proporcionar una prueba realmente accesible del UTF para p = 5.

Por eso me resisto a entrar en harina sin tener colaboradores, porque sin una vigilancia atenta, sin un feedback adecuado, las probabilidades de que al final quede algo críptico serían demasiado altas para que mereciera la pena intentarlo. Y no porque lo que pretendo contar sea muy complicado, sino porque hay mil detalles que, si uno no los pregunta, pueden oscurecer la exposición y acumularse hasta el punto de que uno pueda tirar la toalla, pero que en cuanto uno los pregunta y los asimila, se da cuenta de que no es nada complicado en el fondo.

Esperaré un poco más para que si se apunta alguno más no se quede rezagado y empezaré con la exposición.

Bueno, obviamente, si uno dice que se apunta, eso no es un contrato firmado con sangre. Huelga decir que cualquiera es libre de apuntarse y desapuntarse cuando quiera, en función de su tiempo disponible o de cualquier otra consideración que estime oportuna.

09 Junio, 2016, 04:53 pm
Respuesta #3

Proyecto_dos

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 447
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,



Yo me apunto.

Bienvenido, pues.

Además me ha convencido eso de utilizar sólo las propiedades elementales de los números enteros y tengo curiosidad por averiguar hasta dónde se pueden estirar éstas.

No sé si has entendido bien lo que quería decir. No he dicho que sólo utilizaré las propiedades elementales de los números enteros, sino que para seguir el argumento sólo es necesario partir del conocimiento de las propiedades elementales de los números enteros, y pocas cosas más, como las propiedades elementales de los polinomios y de los números complejos. A partir de ahí el argumento es muy similar al que expuse para p = 3: hay que probar que los enteros ciclotómicos de orden 5 tienen factorización única, junto con algunos hechos más sobre su aritmética. Pero todo eso, que habitualmente se prueba en los libros usando técnicas de teoría de cuerpos, teoría algebraica de números e incluso técnicas analíticas, puede probarse con la misma clase de métodos empleados en el hilo de p = 3, que no requieren más conocimientos que los indicados.



Ahora sí que te he entendido correctamente. Me parece igual de bien. Realmente es una propuesta muy loable la que haces, no es tan fácil definir un valor añadido tan claro a un nuevo proyecto.
 


Me arriesgaré a quedar de tontito haciendo preguntas elementales jaja.

No, eso sí que no. Es justo lo contrario. Si para seguir el hilo hiciera falta un nivel alto de matemáticas, entonces sería un fracaso, porque cualquier lector haría mejor en coger un libro de teoría algebraica de números, donde puede encontrar la misma prueba usando técnicas más conceptuales. La única razón de ser de este hilo es conseguir que la prueba sea realmente accesible a lectores que no sepan nada de anillos de enteros algebraicos, teoría de Galois, la geometría de los números de Minkowski, números p-ádicos, etc. Nada de eso hará falta aquí, y para conseguir este objetivo es fundamental que alguien (como tú, y cualquier otro que quiera apuntarse) colabore detectando todos los puntos que podrían resultar difíciles de entender para un lector sin esa base sofisticada. De modo que si preguntas por cualquier punto que te resulte oscuro no estarás entorpeciendo el hilo en absoluto, sino todo lo contrario, estarás contribuyendo de forma esencial a que el hilo cumpla la única razón de su existencia: proporcionar una prueba realmente accesible del UTF para p = 5.

Por eso me resisto a entrar en harina sin tener colaboradores, porque sin una vigilancia atenta, sin un feedback adecuado, las probabilidades de que al final quede algo críptico serían demasiado altas para que mereciera la pena intentarlo. Y no porque lo que pretendo contar sea muy complicado, sino porque hay mil detalles que, si uno no los pregunta, pueden oscurecer la exposición y acumularse hasta el punto de que uno pueda tirar la toalla, pero que en cuanto uno los pregunta y los asimila, se da cuenta de que no es nada complicado en el fondo.



Me lo pones muy fácil así, naturalmente pienso colaborar, es de recibo.



Esperaré un poco más para que si se apunta alguno más no se quede rezagado y empezaré con la exposición.

Bueno, obviamente, si uno dice que se apunta, eso no es un contrato firmado con sangre. Huelga decir que cualquiera es libre de apuntarse y desapuntarse cuando quiera, en función de su tiempo disponible o de cualquier otra consideración que estime oportuna.



Esto es así claro, gracias por la comprensión. Yo he calculado que sí voy a poder hechar un rato cada día o cada 2 días como mucho por un par de semanas por lo menos, salvo catástrofe, etc. Me has cogido en el momento justo, ya lo he comentado. De hecho hoy sí que tengo un par de horas libres y le estoy hechando una primera lectura con atención a lo que pusiste del caso n = 3, por lo menos para tener algo de base. Y es superinteresante sí.


Un saludo,
  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 

09 Junio, 2016, 09:19 pm
Respuesta #4

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,805
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias Carlos por tu interés en ofrecernos la posibilidad de está demostración para p=5
Yo estoy interesado, pero hasta septiembre no podría ( más bien no debería ) meterle mano a la demostración en caso de que te decidieras a publicarla ( el formato con el que llevaste la demostración para el caso p=3 me gusto mucho, disfrute bastante).

Ahora mismo no puedo comprometerme en absoluto.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

09 Junio, 2016, 10:15 pm
Respuesta #5

mongar

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 106
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Estoy interesado,veamos la solución que propone para n = 5.

09 Junio, 2016, 10:34 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,669
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Gracias Carlos por tu interés en ofrecernos la posibilidad de está demostración para p=5
Yo estoy interesado, pero hasta septiembre no podría ( más bien no debería ) meterle mano a la demostración en caso de que te decidieras a publicarla ( el formato con el que llevaste la demostración para el caso p=3 me gusto mucho, disfrute bastante).

Ahora mismo no puedo comprometerme en absoluto.

¡Ay, las tentaciones, qué malas que son!   >:D

Bueno, presentaré la demostración ahora, pero si en septiembre te interesas por ella, siempre puedes seguirla mensaje a mensaje, como si los siguientes no estuvieran aún, y puedes plantear cualquier duda, sugerencia, comentario o argumento alternativo en cualquier momento, como si lo estuvieras siguiendo en directo. Se notará tu ausencia.   :-[

Estoy interesado,veamos la solución que propone para n = 5.

Bienvenido.

09 Junio, 2016, 10:44 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,669
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Acabo de transformar este hilo en un hilo de comentarios al hilo principal en el que expondré la prueba. Por favor, escribid aquí cualquier observación que queráis hacer, para facilitar el seguimiento del argumento principal sin interrupciones.

09 Junio, 2016, 11:21 pm
Respuesta #8

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,805
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias Carlos por tu interés en ofrecernos la posibilidad de está demostración para p=5
Yo estoy interesado, pero hasta septiembre no podría ( más bien no debería ) meterle mano a la demostración en caso de que te decidieras a publicarla ( el formato con el que llevaste la demostración para el caso p=3 me gusto mucho, disfrute bastante).

Ahora mismo no puedo comprometerme en absoluto.

¡Ay, las tentaciones, qué malas que son!   >:D
No lo sabes tu bien, debería estar a tope estudiando oposiciones a profesor de instituto ( las llevo de pena), pero soy un moderador muy poco moderado con el uso del foro últimamente ( aunque no se note demasiado).
Citar
Bueno, presentaré la demostración ahora, pero si en septiembre te interesas por ella, siempre puedes seguirla mensaje a mensaje, como si los siguientes no estuvieran aún, y puedes plantear cualquier duda, sugerencia, comentario o argumento alternativo en cualquier momento, como si lo estuvieras siguiendo en directo.
De acuerdo, lo tendré en cuenta, gracias.
Citar
Se notará tu ausencia.   :-[
No sabes cuanto te agradezco, este pequeño detalle, estoy muy desanimado  y decepcionado con mi actitud de estos meses respecto a las oposiciones a profesor de secundaria, hoy creo que he tocado fondo .

Si no sabéis de mi en un mes o mes y medio es buena señal. ;)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

10 Junio, 2016, 12:28 am
Respuesta #9

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,669
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
No sabes cuanto te agradezco, este pequeño detalle, estoy muy desanimado  y decepcionado con mi actitud de estos meses respecto a las oposiciones a profesor de secundaria, hoy creo que he tocado fondo .

No hay nada que agradecer. Es objetivamente cierto que tu participación en el otro hilo fue brillante. Y ése entre otros muchos indicios hace que me desconcierte que alguien con tu perfil pueda tener problemas con las oposiciones a secundaria.

Si no sabéis de mi en un mes o mes y medio es buena señal. ;)

Suerte.