Autor Tema: El último teorema de Fermat. Una demostración sencilla.

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19 Septiembre, 2007, 07:47 pm
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fmlagoI

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Después de leer El tío Petros y la conjetura de Goldbach, me propuse resolver los tres problemas de los que se habla en el libro: Goldbach, Fermat y Riemann.
Hoy me he decido a presentaros esta solución sencilla que encontramos para el problema de Fermat. (archivo adjunto en formato pdf)
Os agradeceré vuestros comentarios
Saludos cordiales
F. M. Lago I.

19 Septiembre, 2007, 08:07 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Sin entrar los detalles internos de la demostración.

 Sólo usas lo que tu llamas \( a_1 \) y \( c_1 \) para determinar que

\(  c_1^n-a_1^n=2k \)

 A partir de ahí te olvidas de a y c y SOLO trabajas con k y b. Es decir estás probando que la ecuación

\(  2k=b^n \)

 con b par sólo tiene solución para n=2, lo cual es FALSO. Por tanto la demostración tiene que estar mal.

 A bote pronto el max=1 está mal: estás utilizando la expresión de b como si fuese válida para cualquier n; pero lo que tu llamas \( k,b,k_b \) depende de n.

Saludos.

P.D. Si crees tener una demostración simple para el Teorema de Fermat, un buen primer paso sería simplemente probarlo para n=3. Incluso ahí no hay una demostración demasiado sencilla.

19 Septiembre, 2007, 11:00 pm
Respuesta #2

fmlagoI

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Apreciado el_manco:
Agradezco tus comentarios y los aprecio en lo que valen.
Te agradecería que sí entraras en detalles y me dijeras en que igualdad, ecuación y/o expresión matemática me he equivocado y por qué. Con expresiones lo más matemáticas posibles para poder establecer un diálogo y defender mi demostración.
Saludos cordiales
F. M. Lago I.

20 Septiembre, 2007, 08:31 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Ya te he dado un primer argumento que indica que tu demostración (si la entendí bien) está mal:

I) Pruebas que la ecuación \( 2k=b^n \) con \( b \) par sólo tiene solución para n=2. Repito eso es FALSO. Por ejemplo \( 2\cdot 4=2^3 \).

 ¿Estás de acuerdo en esto o no? Si estás de acuerdo pues obviamente la demostración es mala. Si no, explica tu punto de vista.

II) Otro error concreto. Vuelvo con el max. Básicamente no entiendo a qué viene de repente trabajar con exponente max=1. Es decir tu pones:

 (1) \( b_2^n=2k \) y \( b_2=\displaystyle\frac{k^{1/(n-1)}}{k_b^{1/(n-1)}} \)
 
 Entonces "metes ese max=1" y dices que:

 (2) \( b_2^n=2k \) y \( b_2=\displaystyle\frac{k^{max}}{k_b^{max}} \)

 Pero esto no tiene porqué ser así. Por ejemplo para \( n=3, b_2=2, k=4, k_b=1 \), la igualdad (1) se cumple pero no la (2).

Saludos.

P.D. De todas formas lo fundamental primero es si estás de acuerdo o no con la crítica I. Fíjate que es algo que se utiliza frecuentemente para chequear una demostración. Si una hipótesis imprescindible para que el resultado sea cierto no se está utilizando, la demostración no puede estar bien.

En tu  caso no utilizas que \( 2k \) tiene que obtenerse como \( c^n-a^n \).

20 Septiembre, 2007, 06:22 pm
Respuesta #4

fmlagoI

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Hola el_manco:
Lo primero darte las gracias por tu interés y pedirte disculpas por no manejar mejor el procesador del foro y no saber poner mejor las expresiones matemáticas. Espero explicarlo bien.

No puedo estar de acuerdo con tus argumentos porque:

I) En la ecuación (3), k esta definida (en el corchete anterior) como: existe k  perteneciente a N, tal que 2 k = c(sub1) elevado a n, menos, a(sub1) elevado a n.
    Tú utilizas k como si fuera cualquier elemento de N y la definición de esa k sería: para todo k perteneciente a N… Es muy distinto. Yo defino un valor concreto de k y tú utilizas cualquier valor de N.
    En el ejemplo que pones es: k = 4, b(sub2) = 2 y n = 3. Te falta decirme los valores de c(sub1) y a(sub1) que cumplen la ecuación en la que he definido k,  2 k = c(sub1) elevado a n, menos, a(sub1) elevado a n. Se tienen que cumplir las dos ecuaciones a la vez para el mismo k.

II) En la ecuación (5), los exponentes de k y k(sub-b) son una función de n tal que f(n) = 1 / (n-1), y esta función tiene un máximo de valor 1, es decir, f(n)máximo = max = 1.
     La ecuación (5), en principio, se cumple para todos los valores de n y por tanto también se ha de cumplir cuando k y k(sub-b) están afectados del exponente máximo, max = 1. Este es uno de los infinitos casos en los que se cumple la ecuación (5). En principio son infinitos los casos en los que se cumple (5), luego se demuestra que solo se cumple si n = 2.
     Al afectar k y k(sub-b), en la ecuación (5), con su exponente máximo y operar con la ecuación (3) obtenemos la ecuación (6).
     Si la ecuación (6) es correcta (yo creo que si), se ha de cumplir para todo n-1, que es el exponente de b(sub2). Si la ecuación (2) es correcta, se ha de cumplir para todo n, que es el exponente de b(sub2), 2 y k(sub-b). Estas dos ecuaciones se han de cumplir las dos simultáneamente y eso solo ocurre con n = 2. Es decir n = 2 es el único valor de n que satisface las dos ecuaciones (2) y (6) y por tanto es el único valor de n que cumple el enunciado de Fermat.
     Respecto de las igualdades (1) y (2) con n = 3, b(sub2) = 2, k = 4 y k(sub-b) = 1, insisto en que la definición es: existe k perteneciente a N… y no, para todo k perteneciente a N… e igualmente con los demás miembros de las ecuaciones. Las ecuaciones no se han de cumplir para cualquier valor. Se trata de encontrar los valores para los que las ecuaciones se cumplen y/o los que no las cumplen.

Saludos cordiales,
F. M. Lago I.

20 Septiembre, 2007, 06:44 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Citar
Tú utilizas k como si fuera cualquier elemento de N y la definición de esa k sería: para todo k perteneciente a N… Es muy distinto. Yo defino un valor concreto de k y tú utilizas cualquier valor de N.

Yo ni utilizo, ni dejo de utilizar nada.  ;). Me remito a lo que TU utilizas, que eres el que ha diseñado la demostración. Lo que yo digo es que aunque tú definas \( 2k \) como \( c^n-a^n \), no utilizas en ninguno de tus posteriores razonamientos que \( k \) es así de particular; por tanto esos posteriores razonamientos, si están bien, prueban que \( 2k=b^n \) no tiene solución para n>2  y \( b \) par, lo cual es falso. Conclusión: no están bien hechos.

Citar
En el ejemplo que pones es: k = 4, b(sub2) = 2 y n = 3. Te falta decirme los valores de c(sub1) y a(sub1) que cumplen la ecuación en la que he definido k,  2 k = c(sub1) elevado a n, menos, a(sub1) elevado a n. Se tienen que cumplir las dos ecuaciones a la vez para el mismo k.


Si fuese capaz de dar los valores de a y c (de hecho si existiesen) tendríamos un contraejemplo al Teorema de Fermat. ¡Obviamente eso no lo puedo dar nunca, porque éste es cierto!. Lo que doy es un contraejemplo a tus argumentos, porque repito por quinta VEZ, TU NO UTILIZAS NUNCA, que 2k está definido como diferencia de potencias de enteros.

Si lo utilizas en algún sitio, además de cuando pones \( 2k=c^n-a^n \), y no lo veo, dímelo.

Prefiero centrarme en este punto porque es clave. Es suficiente para PROBAR que la demostración está mal. Suponiendo que nos pongamos de acuerdo, en un sentido o en otro en esto, te contesto a la segunda parte. Pero prefiero, insisto, clarificar primero esta cuestión porque me parece bastante obvia.

Saludos.

20 Septiembre, 2007, 11:16 pm
Respuesta #6

fmlagoI

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Hola el_manco:

No entiendo por qué razonamiento matemático tengo que volver a utilizar, obligatoriamente, la ecuación en la que he definido el valor de 2 k.
2 k está definido como diferencia de potencias de dos enteros negativos, por lo tanto su diferencia es un número par, y 2 k es un número par. También está definido por el otro lado de la igualad, b(sub2) elevado a n, que también es un numero par ya que b(sub2) es par, y es igual a 2 k. Para dar un valor concreto a 2 k tiene que cumplir las dos ecuaciones a la vez:
2k = b(sub2) elevado a n   y   2k = c(sub1) elevado a n, menos, a(sub1) elevado a n.
Da igual cual de las expresiones este utilizando en cada momento. Son la misma igualdad. Puedo usar la que quiera de las dos por que son la misma igualdad.
Es importante tener en cuenta el subíndice que indica si el número es par o impar.
Si no tiene subíndice 1 ó 2 es por que no se tiene en cuenta si el número es par o impar.
¿Hay algún error en la definición que hago de 2 k? Si es así dime donde esta el error.

Saludos cordiales,
F. M. Lago I.

20 Septiembre, 2007, 11:43 pm
Respuesta #7

fmlagoI

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Hola topo23:

Admito que la demostración no sea todo lo clara que se pueda hacer. Gracias, lo tendré en cuenta.
En la ecuación (5) sustituyo la expresión general, 1/(n-1), por una de las soluciones de dicha expresión que es un máximo y vale 1. Es directo y no creo que haya que demostrarlo, si la ecuación (5) se cumple para la expresión general también se cumple para una en particular.
Donde dije:”La ecuación (5), en principio, se cumple para todos los valores de n y por tanto también se ha de cumplir cuando k y k(sub-b) están afectados del exponente máximo, max = 1.” es con n > 1 como se indica en la demostración.

Saludos cordiales,
F. M. Lago I.

21 Septiembre, 2007, 08:31 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

 Último intento:

Citar
No entiendo por qué razonamiento matemático tengo que volver a utilizar, obligatoriamente, la ecuación en la que he definido el valor de 2 k.
2 k está definido como diferencia de potencias de dos enteros negativos, por lo tanto su diferencia es un número par, y 2 k es un número par.

Citar
¿Hay algún error en la definición que hago de 2 k? Si es así dime donde esta el error.

No es que tengas que utilizarlo obligatoriamente, ni haya ningún error en la definición, pero si no utilizas como está definido tu razonamiento sería válido para cualquier k. Y NO LO ES, PORQUE TE HE DADO UN CONTRAJEMPLO.

 Piensa también en lo que te dijo topo23.

 Pero piensa en todo esto con sentido autocrítico. Ponte "picajoso" con tus propios argumentos; reflexiona en detalle una y otra cosa.

Saludos.

21 Septiembre, 2007, 04:56 pm
Respuesta #9

fmlagoI

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Hola topo23:

Ese es el quid de la cuestión: el máximo. (Creo yo)
¿Está bien la sustitución que hago cuando aplico el máximo? Yo creo que si.
Sí me demuestras lo contrario la solución está mal.

Me dices que debo reemplazar k y k(sub-b) y yo creo que no.
Trataré de explicarlo con un ejemplo

Supongamos A, B y x con x > 1 y pertenecientes a N:
Definamos la función f(x) así:
f(x) =A    y también     f(x)=B elevado a 8x
Yo puedo igualar estas funciones
A = B elevado a 8x
Son la misma función así que las puedo igualar.
Demos valores a x.
Para x(sub3) = 3:
f(x(sub3)) = A    y     f(x(sub3) = B elevado a 8*3
Entonces: A = B elevado a 24  (1)

¿Estas igualdad (1) está bien? Yo creo que si (según las he definido) y no he tenido que cambiar A por A’ ni B por B’.
¿Se cumplen para cualquier valor de A, B y x? NO, evidentemente, si A = 2, B = 5 y x = 3 entonces 2 = 5 elevado a 24 FALSO
Lo que sí es cierto es que existen algunos números (no se cuantos ni cuales) en N que cumplen la igualdad ya que A, B y x los hemos definido en N. 16777216 = 2 elevado a 8*3 siendo A = 16777216, B = 2 y x = 3.

Me parece que no es el mejor ejemplo que se puede dar pero espero que sirva.

Donde dices ...(por esa razón luego obtienes a 2 como único valor!!) TIENES RAZÓN (en parte). Yo creo que eso no demuestra que la solución esté mal. Obtengo el 2, no como único valor, sinó como el valor máximo.
Si sustituyes n por cualquier otro valor mayor que 2 y sigues el mismo proceso, obtendrás obviedades, pero no ecuaciones erróneas. Al sustituirlo por el máximo, sale la demostración.

Saludos cordiales,
F. M. Lago I.