Autor Tema: ¿Son topologías?

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08 Septiembre, 2014, 05:49 pm
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Buscón

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A ver quien me puede ayudar:

Exactamente  tres de las siguientes diez colecciones de subconjuntos de \( \mathbb{R} \) son topologías. Identifíquelas y justifique su respuesta.

(i)     \( T_1 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (a,b), para números reales cualesquiera a y b con a < b;

(ii)    \( T_2 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número real positivo r;

(iii)   \( T_3 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número racional positivo r;

(iv)   \( T_4 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo [-r,r], para cualquier número racional positivo r;

(v)    \( T_5 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número irracional positivo r;

(vi)   \( T_6 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo [-r,r], para cualquier número irracional positivo r;

(vii)  \( T_7 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo [-r,r), para cualquier número real positivo r;

(viii) \( T_8 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r], para cualquier número real positivo r;

(ix)   \( T_9 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), todo intervalo [-r,r], y todo intervalo (-r,r) para cualquier número real positivo r;

(x)    \( T_1_0 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), todo intervalo [-n,n], y todo intervalo (-r,r) para cualquier número entero positivo n y para cualquier número real positivo r;



08 Septiembre, 2014, 07:30 pm
Respuesta #1

yotas

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¿Has tratado de hacer alguno de esos ejercicios? Muestra qué has hecho para saber qué dudas tienes.
Citar
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

11 Septiembre, 2014, 01:43 pm
Respuesta #2

elcristo

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Hola.

Para ver que son topologías tienes que ver que se cumplen las 3 condiciones, que está el vacío y el total (Por definición están en todas, así que de esas ya nos olvidamos), que la intersección finita de elementos de la topología está y que la unión también.

Ve comprobando las condiciones, a ver qué te sale.

Saludos.

11 Septiembre, 2014, 04:34 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Por concretar un poco lo que te dice el_cristo.

(i)     \( T_1 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (a,b), para números reales cualesquiera a y b con a < b;

No es topología. Si unes dos de tales conjuntos de la familia dada no tiene porque salir otro conjunto de dicha familia. Por ejemplo:

\( (0,1)\cup (2,3)\neq (a,b) \) para cualesquiera \( a,b \)

Citar
(ii)    \( T_2 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número real positivo r;

Si es topología. Comprueba que para una familia arbitraria de tales abiertos \( \{(-r_i,r_i)\}_{i\in I} \) se tiene que:

\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} (-r_i,r_i)=(-r,r) \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \)

Y para una familia finita:

\( \displaystyle\bigcap_{i=1}^n (-r_i,r_i)=(-r,r) \) con \( r=min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\} \)

Saludos.

11 Septiembre, 2014, 11:08 pm
Respuesta #4

Buscón

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Yo he hecho lo siguiente pero no se si es correcto:

i)      Sean \( (a,b) \) y \( (c,d) \in{T_1} \) por lo que a < b y c < d

        Suponiendo b < c, obtengo que \( (a,b)\cup{(c,d)} = (a,d)-[b,c]\not\in{T_1} \) y concluyo que \( T_1 \) no es topología.

ii)     Sean \( r_1<r_2<...<r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\subset{(-r_2,r_2)}\subset{...}\subset{(-r_n,r_n)} \) entonces

        \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=n}{(-r_i,r_i)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)

                                                              y
       
        \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{(-r_i,r_i)}=(-r_\infty,r_\infty)\in{T_2} \)

        Sean \( r_1>r_2>...>r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\supset{(-r_2,r_2)}\supset{...}\supset{(-r_n,r_n)} \) entonces

        \( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{i=n}{(-r_i,r_i)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)

         por lo que concluyo que \( T_2 \) si es topología.

[ iii)    \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i)=(-\infty,\infty)  \) y al no ser \( \infty \) un número puedo asegurar que no es un número racional y por lo tanto
        \( [s](-\infty,\infty)\not\in{T_3}[/s] \) por lo que concluyo que \( T_3 \) no es topología.
]

[iii)    \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{(-r_i,r_i)}=(-r_\infty,r_\infty)  \) y como no puedo asegurar que \( (-r_\infty,r_\infty) \) tenga extremos racionales concluyo que \( T_3 \) no es topología]


iv)    Como \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{[-r_i,r_i]}=(-r_\infty,r_\infty) \) uso el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y concluyo que \( T_4 \) no es topología.

v)     Por el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y \( T_4 \) concluyo que \( T_5 \) no es topología.


vi)    Está claro que \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{[-r_i,r_i]}=(-r_\infty,r_\infty)\not\in{T_6} \) por lo que concluyo que \( T_6 \) no es topología.

vii)   Como \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{[-r_i,r_i)}=(-r_\infty,r_\infty)\not\in{T_7} \) concluyo que no es topología

viii)  Como \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{(-r_i,r_i]}=(-r_\infty,r_\infty)\not\in{T_8} \) concluyo que no es topología

Y llegados a este punto como el enunciado dice que exactamente tres son topologías concluyo que \( T_9 \) y \( T_1_0 \) si son topologías.

12 Septiembre, 2014, 02:28 am
Respuesta #5

elcristo

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No he podido ver lo que has respondido en todos, me va tremendamente mal el foro (creo que también es mi conexión) pero si me ha cargado tu razonamiento del punto iii)

Para empezar, \( \cup{}_{n=1}^{\infty}(-r_n,r_n) \) donde \( r_n \in \mathbb{Q} \) NO tiene por qué ser  infinito. Una vez aclarado eso, si tienes \( (-\infty,\infty) \) tienes todo el espacio, que por definición si está dentro de la topología, así que el argumento no te vale. Puede que no sea del tipo de un intervalo, pero sí es el total.

La respuesta es que no, como bien pusiste, aunque el razonamiento no es el adecuado. Toma la sucesión:

\( r_1 = 3; \ r_2 = 3'1; \ r_3 = 3'14; \ r_4 = 3'141 ... \). Como ves, estoy poniendo una sucesión creciente, y mi intención es seguir añadiendo números hasta alcanzar todas las cifras del número \( \pi \). Ahora unámoslos:
No es muy difícil ver que \( (-r_i,r_i)\subset{}(-r_{i+1},r_{i+1}) \), así que la unión es el último elemento, \( (-\pi, \pi) \) que no es racional. Entonces hemos unido una colección de elementos de la topología y nos ha salido un elemento que no está en ella, luego no es una topología.

Y bueno, también he podido ver tu último razonamiento. Eso no te lo recomiendo. Tú das por supuesto que son topologías porque el enunciado te dice que hay 3 y entre todas las demás sólo encontraste una, sin embargo puedes haberte confundido, y si no lo compruebas no verás si tienes o no un error.

Saludos.

12 Septiembre, 2014, 10:25 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 En general cuando quieras justificar que una propiedad no se cumple pon un ejemplo concreto donde falle. Es la forma más clara y rigurosa de argumentar que no se verifica.

i)      Sean \( (a,b) \) y \( (c,d) \in{T_1} \) por lo que a < b y c < d

        Suponiendo b < c, obtengo que \( (a,b)\cup{(c,d)} = (a,d)-[b,c]\not\in{T_1} \) y concluyo que \( T_1 \) no es topología.

Está bien, pero sería más claro un ejemplo con números concretos como el que te sugerí en mi respuesta anterior.

Citar
ii)     Sean \( r_1<r_2<...<r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\subset{(-r_2,r_2)}\subset{...}\subset{(-r_n,r_n)} \) entonces

        \( (-r_1,r_1)\cup{(-r_2,r_2)}\cup{...}\cup{(-r_n,r_n)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)

                                                              y
       
        \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i)=(-r_\infty,r_\infty)\in{T_2} \)

        Sean \( r_1>r_2>...>r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\supset{(-r_2,r_2)}\supset{...}\supset{(-r_n,r_n)} \) entonces

        \( (-r_1,r_1)\cap{(-r_2,r_2)}\cap{...}\cap{(-r_n,r_n)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)

         por lo que concluyo que \( T_2 \) si es topología.

 No es correcto que escribas \( r_{\infty} \) ya que ese subíndice no tiene sentido, no sabemos a que número se refiere. Nota que para la unión tienes que trabajar con una familia arbitraria de abiertos (no necesariamente numerable, es decir, no necesariamente con un índice que varíe en los naturales). La forma correcta de probar que SI es topología es la que te indiqué en mi mensaje anterior. Analízala.

Citar
iii)    \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i)=(-\infty,\infty) \) y al no ser \( \infty \) un número puedo asegurar que no es un número racional y por lo tanto
        \( (-\infty,\infty)\not\in{T_3} \) por lo que concluyo que \( T_3 \) no es topología.

iv)    Como \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i]=(-\infty,\infty) \) uso el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y concluyo que \( T_4 \) no es topología

v)     Por el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y \( T_4 \) concluyo que \( T_5 \) no es topología.


vi)    Está claro que \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i]=(-\infty,\infty)\not\in{T_6} \) por lo que concluyo que \( T_6 \) no es topología.

vii)   Como \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i)=(-\infty,\infty)\not\in{T_7} \) concluyo que no es topología

viii)  Como \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i]=(-\infty,\infty)\not\in{T_8} \) concluyo que no es topología.

 Estas están mal por lo que te indicó el_cristo. A la luz de sus explicaciones intenta justificar de manera correcta que NO son topologías.

Citar
Y llegados a este punto como el enunciado dice que exactamente tres son topologías concluyo que \( T_9 \) y \( T_1_0 \) si son topologías.

Deberías de justificar explícitamente porque si son topologías.

 Para la (9) para la propiedad de la intersección dado que tiene que cumplirse sólo para familias finitas basta trabajar con dos conjuntos y notar que:

 \( [-r,r]\cap [-s,s]=[-t,t] \) con \( t=min\{r,s\} \)
 \( (-r,r)\cap (-s,s)=(-t,t) \) con \( t=min\{r,s\} \)
 \( (-r,r)\cap [-s,s]=[-s,s] \) si \( s< r \)
 \( (-r,r)\cap [-s,s]=(-r,r) \) si \( s\geq  r \)

 Para la unión cualquier familia de conjuntos de la forma \( [-r,r] \) y \( (r,r) \) puede dividirse en dos subfamilias, una de ellas sólo con conjuntos de la forma \( [-r,r] \) y otra  con conjuntos de la forma \( (r,r). \)

 Ahora:

\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} (-r_i,r_i)=(-r,r) \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \)

\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} [-r_i,r_i]=(-r,r) \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \) si \( \{r_i|i\in I\} \) no tiene máximo.

\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} [-r_i,r_i]=[-r,r] \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \) si \( \{r_i|i\in I\} \) SI tiene máximo.

 Y finalmente comprobamos que:

 \( (-r,r)\cup [-s,s]=[-s,s] \) si \( s\geq r \)
 \( (-r,r)\cup [-s,s]=(-r,r) \) si \( s<r \)

Saludos.

12 Septiembre, 2014, 03:25 pm
Respuesta #7

Buscón

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Lo primero gracias por las respuestas y disculpas por el LaTex, (soy novato y no econtraba la unión/intersección generalizadas)

He corregido el LaTex así como el razonamiento en iii) a ver si ahora os puede parecer correcto.

¿No os parece correcto considerar lo siguiente?:

\(  \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{(-r_i,r_i)}=(-r_\infty,r_\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R} \), \( i\in{N} \)
                                                        y

\( \mathbb{R} \) es un intervalo abierto de extremos reales pero no sabemos si racionales o irracionales.

Si, lo de ix y x tenéis razón y se llama vagancia.

Estoy contento, mi primer ejercicio de topología y al menos si he acertado cuales son topologías. :)

12 Septiembre, 2014, 04:08 pm
Respuesta #8

elcristo

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Lo primero gracias por las respuestas y disculpas por el LaTex, (soy novato y no econtraba la unión/intersección generalizadas)

He corregido el LaTex así como el razonamiento en iii) a ver si ahora os puede parecer correcto.

¿No os parece correcto considerar lo siguiente?:

\(  \displaystyle\bigcup_{i=1}^{i=\infty}{(-r_i,r_i)}=(-r_\infty,r_\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R} \), \( i\in{N} \)
                                                        y

\( \mathbb{R} \) es un intervalo abierto de extremos reales pero no sabemos si racionales o irracionales.

Si, lo de ix y x tenéis razón y se llama vagancia.

Estoy contento, mi primer ejercicio de topología y al menos si he acertado cuales son topologías. :)

Olvidándonos de la notación de \( r_{\infty} \), es falso lo que escribe.

Supón la siguiente familia de intervalos.

\( (-(1+\displaystyle\frac{1}{n}), 1+\displaystyle\frac{1}{n}) \)

Ahora haz la unión cuando \( n \) tiende a infinito, te sale el intervalo \( (-2,2) \), que desde luego no es \( (\infty,\infty) \)

Pero sí que es cierto, que existe el caso en que sea lo que dices, que sí salga todo \( \mathbb{R} \), pero en ese caso, recuerda la definición que tenías para esa topología:


(ii)    \( T_2 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número real positivo r;


Da la casualidad que \( \mathbb{R} \) está, luego ese argumento está diciéndonos que sí es una topología, cuando en verdad no.

Saludos.

12 Septiembre, 2014, 06:18 pm
Respuesta #9

Buscón

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recuerda la definición que tenías para esa topología:


(ii)    \( T_2 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número real positivo r;




No estoy hablando de ii sino de iii.

Citar
(iii)   \( T_3 \) está compuesta de \( \mathbb{R},\;\emptyset \), y todo intervalo (-r,r), para cualquier número racional positivo r;


\( \mathbb{R} \) de extremos reales,  si está, o sea, \( (-\infty,\infty) \) de extremos reales si está
pero ¿está \( \mathbb{R} \) de extremos racionales, o sea, está \( (-\infty,\infty) \)  de extremos racionales?