Autor Tema: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

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24 Febrero, 2007, 08:11 pm
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alexandersr

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Amigos tengo entendido lo siguiente según lo que he leído en los libros de matemática.

Una función es inyectiva cuando los elementos del conjunto de partida tienen distintas imágenes en el conjunto de llegada.f(a)\( \neq{} \)f(b) a\( \neq{} \)b   ó f(a)=f(b)  a=b



Una función es sobreyectiva cuando al menos un elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos de un elemento del conjunto de partida . si f:A\( \rightarrow{} \)B

f(A)=B , es decir todos los elementos del conjunto A tienen como imagen a todos los elementos del conjunto B

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva .

La función f(x)=x+1 es inyectiva y sobreyectiva ya que el dominio de la función es todos los reales y el rango son todos los reales, es biyectiva.

la función f(x)=\( \displaystyle\frac{1}{x+1} \) es inyectiva ya que los elementos del conjunto de partida tienen distintas imágenes en el conjunto de llegada.se podría decir que es sobreyectiva también?


la función f(x) = x\( ^2 \) no es inyectiva ya que hay elementos del conjunto de partida o dominio que tienen la misma imagen. Pero solo tiene imágenes de números positivos en el rango.
se podría decir que es sobreyectiva? ya que todos los elementos del dominio tienen imágenes aunque estas sean positivas?



24 Febrero, 2007, 10:10 pm
Respuesta #1

Mollo

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Hola:

Hay algunas funciones que no están clasificadas ni como inyectiva, suryectivas o biyectivas.....

Pero si especifica que la imagen de \( y = x^2 \) son los reales +,
es suryectiva. Si no es así podés decir que la función es par pero nada más...

La función y = x+1, está bien la clasificación... para mí.

También tenés que tener en cuenta que es suryectiva o sobreyectiva cuando no sobran valores en la imagen, eso es importante... y si x1\( \neq{} \) x2, pueden ser f(x1)= f(x2)

Pero en la función \( \displaystyle\frac{1}{x+1} \) no es sobreinyectiva porque del conjunto imagen son todos los reales menos el cero entonces no se cumple la regla que antes te mencioné.

Saludos y espero que te sirva.


25 Febrero, 2007, 02:07 am
Respuesta #2

alexandersr

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En bachillerato y en la universidad no me acuerdo haber visto algo sobre funciones inyectivas , sobreyectivas y biyectivas . Vi funciones algebraicas y transcendentes entre otras cosas, funciones inversas , funciones compuestas.

Entonces las funciones serán inyectivas , sobreyectivas y biyectivas dependiendo de la restricciones que yo realice a los conjuntos de partida (dominio) y de llegada (rango)?

25 Febrero, 2007, 03:05 am
Respuesta #3

EverST

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Hola. No estoy seguro de esta respuesta, pero tengo entendido que cuando el codominio de una función es igual al rango de la misma, entonces la función es sobreyectiva.

Normalmente cuando colocan una función deben especificar el dominio y el codominio. Lo que pasa es que normalmente se asume que el domino y el codominio son los reales, por eso es que si el rango no son los reales, entonces no es sobreyectiva...

La función racional que colocaste no es sobreyectiva, y la cuadrática tampoco, ya que el rango no cubre al conjunto de los números reales completo...

Si estoy equivocado, que alguien me corrija

25 Febrero, 2007, 03:21 am
Respuesta #4

surrealfrog

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Para la sobreyectividad, debes especificar en que conjuntos está definida la función, por ejemplo:
Si se tratara de la siguiente función:
\(  f: \mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R}} / f(x) = \displaystyle\frac{1}{x+1}  \)
La función no sería sobreyectiva, ya que el conjunto imagen de la función, que son todos los reales sin incluir el 0, no coincide con el conjunto en el cual está definida tu función que son todos los reales.
Pero si tu función está definida así:
\(  f: \mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R}} -  \) {0} \(  / f(x) = \displaystyle\frac{1}{x+1}  \)
Ahora sí la función es sobreyectiva

25 Febrero, 2007, 03:37 am
Respuesta #5

EverST

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Justamente esa es la respuesta Surrealfrog. Algo así trataba de decir, pero me enredo con las palabras...

Ya que surgió el tema, tengo una pregunta. ¿Restringiendo el dominio de cualquier función puedo "convertirlas" en funciones biyectivas?. Porque tengo entendido que para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva. Sin embargo, la función seno, por ejemplo, no lo es, y aún así tiene inversa.

25 Febrero, 2007, 03:53 am
Respuesta #6

Ked

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Ya que surgió el tema, tengo una pregunta. ¿Restringiendo el dominio de cualquier función puedo "convertirlas" en funciones biyectivas?. Porque tengo entendido que para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva. Sin embargo, la función seno, por ejemplo, no lo es, y aún así tiene inversa.
No siempre se pueden convertir en biyectivas, por ejemplo no las funciones constantes.

El seno es biyectivo en \( [-\pi/2,\pi/2] \) con \( \sin(\pi/2) = 1 \) y \( \sin(-\pi/2) = -1 \), entonces el Arcoseno (principal) se define de \( [-1,1] \rightarrow [-\pi/2,\pi/2] \)
Como ves, es función inversa pero solo en un tramo. Esto es suficiente en general para las funciones trigonométricas, pero también puedes definirte funciones inversas en cualquier tramo donde sean biyectivas.

25 Febrero, 2007, 04:21 am
Respuesta #7

EverST

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Esto que dices Ked, es restringiendo el dominio a \( [-\pi/2,\pi/2] \), y además restringiendo el codominio a [-1,1]. ¿Cierto? Ya que la única manera de que la función sea sobreyectiva es que el codominido de la función sea igual al rango.

25 Febrero, 2007, 04:34 am
Respuesta #8

Ked

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Exacto. Como el seno en \( [-\pi/2,\pi/2] \) es biyectivo con \( [-1,1] \), la rama "principal" del arcoseno irá exactamente al revés.

25 Febrero, 2007, 05:01 am
Respuesta #9

alexandersr

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Para la sobreyectividad, debes especificar en que conjuntos está definida la función, por ejemplo:
Si se tratara de la siguiente función:
\(  f: \mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R}} / f(x) = \displaystyle\frac{1}{x+1}  \)
La función no sería sobreyectiva, ya que el conjunto imagen de la función, que son todos los reales sin incluir el 0, no coincide con el conjunto en el cual está definida tu función que son todos los reales.


Pero si tu función está definida así:
\(  f: \mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R}} -  \) {0} \(  / f(x) = \displaystyle\frac{1}{x+1}  \)
Ahora sí la función es sobreyectiva
Con tú permiso: ¿no sería así?

Pero si tu función está definida así:

\(  f: \mathbb{R}  - \{-1\} \longrightarrow{\mathbb{R}} - \{0\} / f(x) = \displaystyle\frac{1}{x+1}  \)
Ahora sí la función es sobreyectiva