Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

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01 Agosto, 2010, 01:10 am
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argentinator

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Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es hallar el correcto fundamento de la matemática.
Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.

Aún no tengo claro cómo funcionan las cosas en el terreno de fundamentos, y eso me produce un malhumor que no puedo disimular.

Aunque estoy investigando arduamente el tema, hay mucho que analizar antes de llegar al menos a una solución que me deje tranquilo.

No obstante, la intención del presente thread es menos ambiciosa, y más amigable.
Tan sólo planeo que cada uno se sincere o medite acerca de la visión general que tiene de la matemática.

Y para comenzar, doy mi propia visión.



A veces se habla de "matemáticas" y a veces de "matemática".
Como yo lo veo, sólo hay una sola ciencia matemática, así que prefiero usar el sustantivo singular.

La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:

* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "ramas" de la matemática. Esas "ramas" se construyen conceptualmente como "teorías axiomáticas". En esos axiomas se usan conjuntos e inferencias lógicas, y también puede que se acuda a otras teorías preexistentes. Por ejemplo, se suelen usar sin aviso los números naturales o reales sin mucho preámbulo, como si estuvieran enquistados naturalmente en la lógica misma.

Así, tenemos las ramas típicas: Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.

¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?

Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:

* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas": Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.

Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?

* La validez de la teoría de conjuntos se inscribe en la lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego toda la matemática se sostiene en estos pilares.

Sin embargo, la lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la lógica de aristóteles, quizá nos formemoes la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.

En realidad no se trabaja así, sino que primero se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una lista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una lista de postulados iniciales que serán los axiomas de la teoría de conjuntos.

O sea que la teoría de conjuntos se define con un lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.

* Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora.
¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?
Resulta que la lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente "metamatemática".
Allí se define lo que es un lenguaje de primer orden: una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).

Ese lenguaje es de carácter sintáctico, o sea, vacío de significado, son sólo reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está jugando con la intuición, pero las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.

Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la lógica es esencialmente "vacío de significado".
O sea, es "formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.
Sólo una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.

* En particular, los números mismos los adscribo a la teoría de conjuntos y la lógica.


Así que, para resumir, el esquema mental que tengo de la matemática es el siguiente:

\( \xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\} \)



O sea que básicamente trabajo según el programa formalista de Hilbert.
Russell también adscribió toda la matemática a la lógica, y me cuesta entender las diferencias filosóficas de fondo entre Hilbert y Russell.

Para mí, ambos autores dan lugar al mismo sistema.
No me doy cuenta si estoy enmarcado en uno u otro.

Todo esto da cuenta de una "cadena" constructiva de la matemática, desde unos pilares mínimos, y de ahí en adelante.

Ahora bien. Los intuicionistas como Kronecker, Poincaré y Brower no "creían" en el logicismo ni en los axiomas.
Ellos decían que el formalismo podía ser a lo sumo una manera de expresar con buena precisión los "resultados" del trabajo matemático "real". El trabajo matemático se hace, según ellos, con meras intuiciones de la mente.
Y no son cualesquiera intuiciones, sino un par de "actos" específicos: (1) la concepción del "dos", o sea, la capacidad de la mente de distinguir o crear dos entidades (intuitivas) distintas entre sí, y (2) la capacidad mental de "repetición" de un proceso.

Esa manera "mental" de trabajar no es para nada formalista, y obliga a la matemática a conformarse a vivir con arduas restricciones.
La falta de popularidad del intuicionismo es causa de la enorme cantidad de resultados matemáticos importantes que habría que echar a la basura.

Al parecer, las mentes "formales", como las de Russell o Hilbert, admiten la existencia de objetos matemáticos, con tal de probar que el sistema axiomático que define esos objetos no tiene contradicciones.
O sea: no-contradicción implica existencia.

Para los intuicionistas esto no es suficiente, y exigen que todo sea "construido" a partir de algo concreto.

En virtud de este tipo de objeciones, me acostumbré a exigir que todos los sistemas axiomáticos que uso sean no triviales, o sea, que tengan un "modelo" en el que los axiomas funcionen, y sea no vacío, que haya "acción".

Más tarde, gracias a los estudios de Godel, parece ser que esta exigencia "moral" tiene un sentido preciso en la teoría de lenguajes de primer orden: un sistema axiomático dado en la lógica de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo.



Lo que nunca me quedó claro es: cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.

1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.
2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.
3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).

Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.

Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.

Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.

Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".



Al demostrar teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales...
Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en la etapa de un lenguaje de primer orden.

No se puede hablar de conjuntos, porque aún no están definidos. Tampoco se puede usar la lógica, porque la lógica misma no se ha definido.

Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "otro tipo" que los de "la" teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.

Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.


Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".


Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.  :banghead:
Ojalá sea así, y no tenga que leerme todos los libros de fundamentos que estoy planeando leerme.



Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Mas, si les interesa, pueden cada uno compartir su visión general o esquema mental de la matemática, tal como la entienden o se la imaginan.

O lo que sea que quieran compartir, bah.

01 Agosto, 2010, 01:15 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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01 Agosto, 2010, 01:17 am
Respuesta #2

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01 Agosto, 2010, 01:28 am
Respuesta #3

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Podemos complicar algo más el asunto añadiendo las ideas de  Chaitin acerca del cuasi-empirismo de las matemáticas.


01 Agosto, 2010, 01:55 am
Respuesta #4

argentinator

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Estoy leyendo algo de Chaitin, sobre sus teorías de "complejidad".
Al parecer, esto se retrotrae a la noción de "complejidad de Kolmogorov".

Lo que entiendo de su trabajo es que algunas "cadenas de caracteres" son tan complejas, que el algoritmo que ha de generarla es más grande que la cadena misma, si hablamos computacionalmente.

Y esto viene a decir que si esa "cadena de caracteres" es ahora una proposición matemática, si es demasiado "compleja" (en un sentido que se define por ahí) entonces dicha proposición no se puede demostrar, queda indecidible.

O sea, esto está relacionado estrechamente con los Teoremas de Godel y de Turing, que van en el mismo sentido.

Sin embargo, no tengo idea de que es eso del cuasiempirismo, aunque me lo imagino más o menos, ya que algunas especulaciones que he hecho huelen a "cuasiempirismo".



He estado leyendo un par de libros acerca de la historia de los números en la raza humana, y hay ejemplos que muestran que los animales captan ciertas cantidades pequeñas. Por ejemplo, los cuervos parecen distinguir hasta "4".

Los indígenas del Brasil (los Botocoudos) tienen palabras para indicar "uno" y "dos", y para decir 3 o 4 dicen "dos y uno" y "dos y dos".
Para "5" o más dicen algo como "muchos" y se tocan el pelo, para indicar que "tantos como cabellos en mi cabeza".

Ellos no pueden expresar el número 5 porque en realidad sólo entienden bien hasta "2", y fijate que el 3 y 4 lo expresan con "2" palabras.
Ya el "5" requiere "tres" palabras: "dos y dos y uno". Es muy complicado.

Ahora, a mí me gustaría preguntarles a estos hombres cuántos dedos creen que tienen en la mano.
Si levantando el pulgar paso de tener 4 dedos a "tantos como cabellos en mi cabeza", es algo que me desconcierta.
Pero claro, ellos no están interesados en la aritmética y sus fundamentos, según parece.

Lo que me gustaría es poder explicarle a esos indígenas, no sólo cuánto es "5", sino cómo se construyen todos los números, y cómo es que se deducen sus propiedades.
Tengo que enseñarles aritmética y lógica. ¿Qué les enseño primero, qué es fundamento para qué cosa?

Fijate que la mente Brower no concibe más que números naturales que se van "construyendo" de uno en uno.
No es capaz de verlos a todos juntos, o no le queda claro lo que es.

En cambio, Cantor, con su "mente superior" puede concebir claramente todos esos números transfinitos.



Yo a veces me siento como esos indígenas, y hay cosas que mi mente no acepta como válidas.

Para razonar en el mundo "metamatemático" hay que aceptar que existe una razón universalmente válida, porque si no, siempre habrá que buscar "hacia atrás" lenguajes de lenguajes, lenguajes de lenguajes de lenguajes, y así por siempre, justificaciones de las justificaciones, y definiciones de las definiciones, en un camino hacia atrás sin fin.

Y yo quizá no tendría problemas en aceptar una "razón" o una "lógica" universalmente válida si lograra estar seguro de sus leyes, o sus reglas, o sobre lo que es un razonamiento correcto y lo que no lo es.

Recuerdo un ensayo de Russell que leí, en el que pretendía fundamentar ciertas cuestiones filosóficas apelando sólo al discurso. Yo veía cómo Russell se enredaba en sus propias palabras en un discurso cada vez más confuso, al punto que me cansó.

No puedo aceptar que el "nivel de discurso" de la matemática sea el "lenguaje natural", como a veces he oído decir.
El "lenguaje natural" es enemigo de la claridad y la precisión.

Justamente, para eso se inventó la matemática, para "evitar a toda costa" las ambigûedades del lenguaje natural.
Si de pronto me encuentro conque el fundamento de la lógica misma se apoya en eso... me dan ganas de tirarme del vigésimo piso.  :banghead:



Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :'(


01 Agosto, 2010, 02:14 am
Respuesta #5

Jabato

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Después de leerme todo lo que expusiste argentinator busqué la definición de lógica y encontré esto:

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida.

¿Te vale?

Parece que semejante definición presupone que todo razonamiento debe ser lógico, porque si no es lógico no es válido.
El resto no es más que tirar del hilo y ver lo que sale.

Y ahora empiezan los problemas, no existe definición de conjunto, no existe definición de elemento ni de pertenencia, no existe definición de punto, ni de recta, no existe definición de número, etc. ya que al parecer el problema se resuelve diciendo simplemente que son conceptos primitivos, entonces ... ¿qué esperas sacar de todo esto?

Y por último están los axiomas que se pueden aceptar ó no, pero tampoco se pueden discutir.

Tenemos que aceptar los conceptos primitivos tal y como nos los ponen delante y jugar con ellos mediante axiomas, pero no es posible cuestionarlos ni buscar otros fundamentos más básicos porque no los hay. Esos son simplemente los fundamentos de la matemática y no hay nada más debajo de eso, el edificio de la matemática flota sobre esos pilares, que suponemos muy sólidos, pero no hay nada que cuestionar ni que discutir, está todo perfectamente perpetrado, si lo quieres lo tomas y si no pues lo dejas, esa es al menos mi opinión.

Podríamos definir una nueva matemática estableciendo otros conceptos primitivos que no fueran esos y otros axiomas distintos a los de las teorías de conjuntos. Pues probablemente si, pero los que tenemos son esos y no otros.

Saludos, Jabato. ;D

01 Agosto, 2010, 03:17 am
Respuesta #6

zonurb1

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Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :'(



A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
-intuyo en el caso de la lógica , que es como caminar sobre la tierra ,hay algo en la mente humana heredado del mundo fisico(leyes de la naturaleza)tal vez que nos hace ver el mundo con lógica ,pero que es como caminar sobre la tierra sin darnos cuenta que la tierra es redonda.
Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :)

01 Agosto, 2010, 03:21 am
Respuesta #7

Jabato

  • Visitante
Salirse de la lógica puede ser un bonito sueño, pero no parece fácil hacerlo realidad.

Saludos, Jabato. ;D

01 Agosto, 2010, 03:50 am
Respuesta #8

argentinator

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A Jabato: Creo que no estás entendiendo cuál es mi dilema.

Yo no estoy cuestionando los axiomas de la teoría de conjuntos que usamos todos los días,
ni tampoco las reglas de la lógica que usamos para la matemática.

Lo que cuestiono es que se usen esos conceptos en contextos que no les corresponden.

Si yo defino "unión de dos conjuntos A y B" y después aplico esos resultados a "ballenas", no tiene ningún sentido.
No puedo hablar de "la unión de dos ballenas" o el "cardinal de una ballena".

Éso es lo que me molesta, la extrapolación sin rigor de hechos o conceptos a contextos que no le pertenecen.

Matemáticamente hablando, la siguiente frase:

"El conjunto A está incluido en el conjunto B"

solamente significa que en un papel he escrito los siguientes símbolos:  

\( \forall{x}(x \in{A}\Longrightarrow{x\in{ B}}) \)

Esos símbolos no tienen significado alguno, y no puedo extrapolarlos a otros contextos sin al menos un intento de justificación.

Se trata sólo de símbolos en un papel. No es cierto que haya "colecciones" A y B y que une esté "sumergida" en la otra. Eso no tiene realidad matemática.

Puedo cambiar los símbolos \( \forall\qquad{x\qquad\in\qquad \Longrightarrow\qquad A\qquad B} \) por estos otros: \( \perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph \), y obtendría una expresión matemáticamente correcta de todos modos, pero sin que evoque nada a la intuición:

\( \perp \Delta (\Delta  \omega |\otimes \Delta\omega \aleph) \).

Ahora consideremos que toda la teoría de conjuntos se ha hecho escribiendo sus teoremas que estos últimos simbolos, y sólo ellos, a los cuales obviamente no estamos acostumbrados.
La misma teoría de conjuntos no ha cambiado, y sigue siendo válida.

A continuación pretendo hacer una teoría sobre el lenguaje de primer orden que usa simbolos como \( A z  \epsilon \sigma \alpha\beta \).

¿Puedo decir en toda regla que esos signos forman un "conjunto"?
¿Cómo lo expreso con los símbolos \( \perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph \)?
¿Puedo "expresar" que el "conjunto" de signos \( Az\sigma \) está "incluido" en el "conjunto" \( Az\sigma\alpha \)?
¿Cómo hablo de tales conjuntos usando los signos \( \perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph \).?

Y si hablo de los signos mismos conque he construido la teoría: \( \perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph \), la situación es la misma, sólo que más enredada.




A ver si puedo aclarar el problema con un ejemplo:

Me compro un martillo, unas tablas y unos clavos, y con ellos me "construyo" unos cajones.
Con esos cajones, el mismo martillo y más clavos, me "construyo" un mueble, el cual tiene ahora varios compartimentos para guardar cosas.

Ahora bien, ya tengo el "mueble". ¿Puedo usar ese mueble para "construir" un martillo y unos clavos?
Peor aún: ¿Puedo usar ese mueble para "construir" al mismo martillo y a los mismos claves que usé para construir el mueble en cuestión?

Es ridículo afirmar que sí, claro está, porque se trata de muebles, martillos y clavos.

Pero con esa misma estructura es que concibo la matemática:

El martillo y los clavos serían la "lógica de primer orden y los símbolos que se usan para formar lenguajes, así como las expresiones que se forman combinando dichos signos"-
Los cajones serían los "axiomas de la lógica y los de la teoría de conjuntos."
El mueble sería toda la "matemática".

Yo no tolero que se use el "mueble" como herramienta para confeccionar al martillo que sirvió para construir el mueble mismo.
Ese es el problema que tengo con los fundamentos de la matemática, y los razonamientos que se hacen en ese nivel.

Una vez que la lógica ha sido dada, y los axiomas de conjuntos establecidos, no tengo problemas, me siento cómodo, y no me quejo, porque las reglas son claras y precisas.
Me quejo de la etapa anterior, que es filosófica.

Hay mucha actividad en el terreno de fundamentos de la matemática hoy día, y hay un sinfín de teorías de todo tipo, lógicas de diversa índole, categorías, máquinas-oráculo (o cuánticas), lenguajes con infinitos símbolos, y un sinfín de cosas que parecen no estar sostenidas en nada.

Esas cosas no están "dadas", Jabato. Son, para mí, meras especulaciones que están en la imaginación de los teóricos, y que yo me siento obligado a "creer", o sea, tengo que hacer un esfuerzo de imaginación para entender lo que están diciendo.
Cuando se construyen modelos para demostrar la indemostrabilidad de la Hipótesis del Continuo se apela a modelos que son extraños, yo diría "dudosos", a tal punto que me hacen dudar de si realmente la hipótesis del continuo es indemostrable como se dice.

No reniego de la investigación en lógica, que en realidad es muy rica e interesante, y con satisfacción puedo ver que se avanza respondiendo preguntas que muchas veces me hice.
Pero me da desconfianza el fundamento de todo ese trabajo. La base teórica me parece que no está establecida.



01 Agosto, 2010, 03:53 am
Respuesta #9

argentinator

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A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
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Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :)


Hablemos todo lo que quieras, estoy muy compenetrado con estos temas, aunque aún es mucho más lo que ignoro que lo que sé.
Pero me he propuesto investigar sobre el tema.
Hay cientos de libros, mucho material cada vez más complejo y diverso.
Es una maraña de cosas sin fín.

Pero no me pidas que esté calmado. Me afecta emocionalmente el "sentir" que no hay una base sólida para la lógica misma. Es algo que no puedo tolerar.
La lógica ha de ser la más sólida de las ciencias.

Quizá lo sea, pero yo aún no lo sé