[hdezfdezoscar]

¿Cómo se podría probar que en el espacio métrico \( (\Bbb R^2, d_t) \), donde \( d_t \) denota la métrica taxi, existen pares de puntos por los que no pasa ninguna recta?
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[Luis Fuentes]

Hola

¿Cómo se podría probar que en el espacio métrico \( (\Bbb R^2, d_t) \), donde \( d_t \) denota la métrica taxi, existen pares de puntos por los que no pasa ninguna recta?

Supongo que por la métrica del taxi te refieres a:

\( d((x,y),(x',y'))=|x-x'|+|y-y'| \)

Pero no se que estás entendiendo por "recta". ¿Puedes aclararlo?.

Con las definiciones que yo conozco de recta diría que un segmento que une dos puntos cualesquiera es una recta (o un trozo de ella), con lo que no habría pares de puntos por los cuales no pasa ninguna recta (incluso con en las definiciones de recta que dependen de la métrica).

Saludos.

[hdezfdezoscar]

Perdón, con recta me refiero a un subconjunto que cumpla las 2 propiedades que adjunto en la foto. Es un ejercicio de un examen de carrera.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Y cómo te definen segmento?.

Saludos.

[hdezfdezoscar]

La definición de segmento la adjunto debajo. Es el subconjunto subrayado en amarillo.

[Luis Fuentes]

Hola

 De acuerdo. El problema es que con esa definición de segmento es que el segmento que une dos puntos \( A \) y \( B \) con la métrica del taxi es el rectángulo (con lados paralelos a los ejes de coordenadas) que tiene como vértices opuestos \( A \) y \( B \) compruébalo.

 Por tanto la recta (salvo que sea paralela a los ejes) debería de contener rectángulos.

 Por otra parte para que exista la biyección pedida, fijado un punto \( A \) y una distancia \( d \) sólo puede haber dos puntos en la recta a esa distancia ya que:

\( |r(A)-r(B)|=d \) equivale a \( r(B)=r(A)+d \) ó \( r(B)=r(A)-d \), es decir, \( B=r^{-1}(r(A)+d) \)  ó \( B=r^{-1}(r(A)-d) \).

 Pero en un rectángulo hay más de dos puntos a la misma distancia de uno dado (de hecho infinitos).

 Con estas ideas completa los detalles.

 Si no te sale vuelve a preguntar, indicando a ser posible que has intentado.

Saludos.

Añadido: Como sugerencia concreta toma \( A=(0,0) \), \( B=(1,1) \) y comprueba que todos los puntos de la forma \( (t,1-t) \) con \( t\in [0,1] \) están en el segmento \( \overline{AB} \) y que todos equidistan de \( A \).

[hdezfdezoscar]

Hola de nuevo,
Entiendo la idea, sin embargo, como podría escribir de forma correcta el hecho de que en un rectángulo hay infinitos puntos que equidistan de A, y por lo tanto, llegar al absurdo. Es decir, que no se cumpla
esa condición RI. Además, ¿Qué no exista una biyección que implicaría exactamente? Estoy empezando con la geometría y no manejo mucho del tema. Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

Hola de nuevo,
Entiendo la idea, sin embargo, como podría escribir de forma correcta el hecho de que en un rectángulo hay infinitos puntos que equidistan de A, y por lo tanto, llegar al absurdo. Es decir, que no se cumpla
esa condición RI. Además, ¿Qué no exista una biyección que implicaría exactamente? Estoy empezando con la geometría y no manejo mucho del tema. Gracias.

Si la explicación no es correcta, ya nos corregirá Luis Fuentes 
Si por el punto \( A(0,0) \) y \( B(1,1) \) pasa una recta \( r \) entonces, tal y como ha escrito Luis Fuentes, todos los puntos de la forma \( C(t,1-t) \) con \( t\in [0,1] \) estarían en dicha recta \( r \), ya que \( d_t(A,C)+d_t(C,B)=1+1=2=d_t(A,B) \) y el segmento \( \overline{AB} \) ha de estar en la recta. Pero como solo puede haber dos puntos \( P,Q\in r \) tales que \( d_t(A,P)=1=d_t(A,Q) \) se llega a una contradicción, pues \( \forall\,t\in[0,1] \) si es \( C(t,1-t) \) se cumple \( d_t(A,C)=1 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si la explicación no es correcta, ya nos corregirá Luis Fuentes 
Si por el punto \( A(0,0) \) y \( B(1,1) \) pasa una recta \( r \) entonces, tal y como ha escrito Luis Fuentes, todos los puntos de la forma \( C(t,1-t) \) con \( t\in [0,1] \) estarían en dicha recta \( r \), ya que \( d_t(A,C)+d_t(C,B)=1+1=2=d_t(A,B) \) y el segmento \( \overline{AB} \) ha de estar en la recta. Pero como solo puede haber dos puntos \( P,Q\in r \) tales que \( d_t(A,P)=1=d_t(A,Q) \) se llega a una contradicción, pues \( \forall\,t\in[0,1] \) si es \( C(t,1-t) \) se cumple \( d_t(A,C)=1 \)

Correcto.

Es decir, que no se cumpla  esa condición RI. Además, ¿Qué no exista una biyección que implicaría exactamente? Estoy empezando con la geometría y no manejo mucho del tema. Gracias.

No entiendo la pregunta. La existencia de la biyección es parte de la definición de recta; si no existe la biyección no hay ninguna aplicación \( r \) que cumpla esa definición y por tanto no existe una recta que pasa por los puntos \( A,B \) elegidos.

Si sigues teniendo dudas vuelve a preguntar.

Saludos.