[alucard]

Buenas , tengo una duda sobre este tema, en particular con un ejercicio que indica lo siguiente
Dados los vectores \( \vec{a}=(1,2)\quad \vec{b}=(3,5) \) , descomponga al vector b, en la suma de otros dos, uno que tenga la misma dirección de \( \vec{a} \), y el otro en una dirección perpendicular al mismo

Planteo lo siguiente \( \vec{b}=\vec{u}+\vec{w} \)

siendo u en dirección de a, \( \vec{u}=(k,2k) \)

el vector w es ortogonal, entonces \( \vec{w}=(2t,-t) \)

planteando \( \vec{b}=\vec{u}+\vec{w}=(3,5)=(k,2k)+(2t,-t) \) de donde \( k=13/5 \), \( t =1/5 \)

la respuesta es la que figura en mi guía, la duda que tengo es: ¿ siendo \( \vec{w} \) perpendicular a \( \vec{\vec{a}} \), porqué se toma solo la dirección \( t=1/5 \), y porque descarta la que va en \( t= -1/5 \) , misma pregunta para \( k=13/5 \)? 

[Masacroso]

Buenas , tengo una duda sobre este tema, en particular con un ejercicio que indica lo siguiente
Dados los vectores \( \vec{a}=(1,2)\quad \vec{b}=(3,5) \) , descomponga al vector b, en la suma de otros dos, uno que tenga la misma dirección de \( \vec{a} \), y el otro en una dirección perpendicular al mismo

Planteo lo siguiente \( \vec{b}=\vec{u}+\vec{w} \)

siendo u en dirección de a, \( \vec{u}=(k,2k) \)

el vector w es ortogonal, entonces \( \vec{w}=(2t,-t) \)

planteando \( \vec{b}=\vec{u}+\vec{w}=(3,5)=(k,2k)+(2t,-t) \) de donde \( k=13/5 \), \( t =1/5 \)

la respuesta es la que figura en mi guía, la duda que tengo es: ¿ siendo \( \vec{w} \) perpendicular a \( \vec{\vec{a}} \), porqué se toma solo la dirección \( t=1/5 \), y porque descarta la que va en \( t= -1/5 \) , misma pregunta para \( k=13/5 \)? 

El argumento se puede escribir de la siguiente manera, que quizá resulte más clara: tienes que \( \vec u=k \vec a \) y \( \vec w=t\vec s \) para \( \vec s:=(2,-1) \). Entonces, como \( \{\vec a,\vec s\} \) es una base de \( \mathbb{R}^2 \) existe un único par de escalares \( k,t\in \mathbb{R} \) tales que \( \vec b=k\vec a+t\vec s \), resultando en este caso que \( k=13/5 \) y \( t=1/5 \).

Si en vez de la base \( \{\vec a,\vec s\} \) tomases la base \( \{-\vec a,-\vec s\} \) entonces tendrías que tomar \( k=-13/5 \) y \( t=-1/5 \). Es decir, dependiendo de la base que tomes los escalares serán diferentes. En la solución han optado por la primera base, pero la segunda también sería válida, ya que \( -\vec a \) tiene la misma dirección que \( \vec a \), y \( -\vec s \) es también perpendicular a \( \vec a \).

En verdad hay incontables bases diferentes que reúnan esos dos requisitos, no sólo las dos mencionadas, ya que cualquier par \( \{\lambda \vec a,\mu \vec s\} \) para \( \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\setminus \{0\} \) es también base de \( \mathbb{R}^2 \) cumpliendo los requisitos exigidos, es decir que \( \lambda \vec a \) sea colineal a \( \vec a \) y \( \mu \vec s \) sea perpendicular a \( \vec a \).

[alucard]

Hola

El argumento se puede escribir de la siguiente manera, que quizá resulte más clara: tienes que \( \vec u=k \vec a \) y \( \vec w=t\vec s \) para \( \vec s:=(2,-1) \). Entonces, como \( \{\vec a,\vec s\} \) es una base de \( \mathbb{R}^2 \) existe un único par de escalares \( k,t\in \mathbb{R} \) tales que \( \vec b=k\vec a+t\vec s \), resultando en este caso que \( k=13/5 \) y \( t=1/5 \).

Si en vez de la base \( \{\vec a,\vec s\} \) tomases la base \( \{-\vec a,-\vec s\} \) entonces tendrías que tomar \( k=-13/5 \) y \( t=-1/5 \). Es decir, dependiendo de la base que tomes los escalares serán diferentes. En la solución han optado por la primera base, pero la segunda también sería válida, ya que \( -\vec a \) tiene la misma dirección que \( \vec a \), y \( -\vec s \) es también perpendicular a \( \vec a \).

En verdad hay incontables bases diferentes que reúnan esos dos requisitos, no sólo las dos mencionadas, ya que cualquier par \( \{\lambda \vec a,\mu \vec s\} \) para \( \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\setminus \{0\} \) es también base de \( \mathbb{R}^2 \) cumpliendo los requisitos exigidos, es decir que \( \lambda \vec a \) sea colineal a \( \vec a \) y \( \mu \vec s \) sea perpendicular a \( \vec a \).

entonces, ¿ qué criterio tengo que tomar a la hora de elegir las bases que mencionas?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, ¿qué criterio tengo que tomar a la hora de elegir las bases que mencionas?

Ninguno en especial, porque el resultado va a ser el mismo. La única forma de descomponer \( (3,5) \) como suma de un vector paralelo a \( (1,2) \) y otro perpendicular a él es:

\( (3,5)=(13/5,26/5)+(2/5,-1/5) \)

Independientemente de la elección de las bases que hagas.

Saludos.

[alucard]

Gracias por sus respuestas