Probar que la serie geométrica, definida como la sucesión \[  \{1+x+x^2+\cdots+x^n\} = \sum_{n\ge 0}x^n \] converge a \( \dfrac{1}{1-x} \) para \( |x|<1 \). Dar un argumento para deducir la expresión a la que converge la serie, \( \dfrac{1}{1-x} \).
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Para que la serie pueda ser convergente, es necesario que la sucesión \( \{x^n\} \) converga a \( 0 \). Si \[ |x|>1 \] entonces \( \{x^n\} \) no está acotada y no puede ser convergente. Si \( x=-1 \) entonces la sucesión \( \{x^n\} \) tiene dos sucesiones parciales que tienden a distinto límite. Si \[ x=1 \] entonces \[ \{x^n\} \] no tiende a \[ 0 \] sino a \[ 1 \]. Para \[ |x|<1 \] la sucesión converge a cero. En efecto: para \[ |x|<1 \] podemos escribir \( |x| \) como \( |x|=\dfrac{1}{1+\rho} \) para un \( \rho>0 \) adecuado y así \( |x|^n=\dfrac{1}{(1+\rho)^n} \). Veamos si \( \{x^n\} \) converge a cero. Usando la desigualdad de las medias con \( x_1,x_2, \cdots, x_{n-1}=1  \) y \( x_n = 1+n\rho \) tenemos que



Así, dado un \( \epsilon > 0 \) tenemos que \( \displaystyle \left|x^{n}-0\right|=|x|^{n}=\frac{1}{(1+\rho)^{n}} \leqslant \frac{1}{1+n \rho}<\frac{1}{n \rho} \) y por tanto, si \( m=\dfrac{1}{\rho\epsilon} \) o, mejor aún, si \( m = E\left(\frac{1}{\rho \epsilon}\right)+1 \) donde \( E(x) \) es la función parte entera de \( x \), entonces para todo \( n\ge m \) se tiene que \( \left|x^{n}-0\right| < \epsilon \) y así \( \{x^n\}\to 0 \) si \( |x|<1 \).

Para ver que \( \{1+x+x^2+\cdots+x^n\} \to \dfrac{1}{1-x} \) observamos que \( \left|1+x+x^2 +\cdots+x^n -  \dfrac{1}{1-x}\right | = \dfrac{|x|^{n+1}}{1-x}  \). Pero, teniendo en cuenta que \( 0<1-|x|\le 1-x  \) y escribiendo \( |x|=\dfrac{1}{1+\rho} \) tenemos que


siempre que \( n\ge m \)  y que \( m=\dfrac{1}{\rho^2\epsilon} \) o, mejor aún, si \( m = E\left(\frac{1}{\rho^2 \epsilon}\right)+1 \).


Una manera de obtener la expresión a la que converge es notar que, en general, dado \[ x\in \Bbb R \], para \[ n\in \Bbb N \] tenemos que


Ahora bien, \[ \lim\{S_n\} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} x^k = \lim_{n\to\infty}  \frac{x^{n+1}-1}{x-1}  \] y este límite existe si \[ |x|<1 \], condición que ya habíamos obtenido para que la serie \( \{S_n\} \) fuese convergente. Así, si \( |x|<1 \) entonces \[ \lim\{S_n\} =\frac{1}{1-x} \]

Montaña rusa de emociones.

Hola.

Supongamos que tenemos una curva \( \gamma : I \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( x=f(t) \) e \( y=g(t) \), supongamos que \( f,g \in C^1 \). Supongamos que existe un \( t_0 \) tal que \( f'(t_0) = g'(t_0) = 0 \). Si \( dy/dx \) (resp \( dx/dy \)) tiende a cero y \( g'(t) \) no cambia de signo en \( t_0 \) (resp \( f'(t_0) \)), es \( \gamma \) necesariamente regular? Por ejemplo, si \( \gamma = (t \sin t, t^3) \) entonces \( x'(t) = y'(t) = 0 \) en \( t = 1 \). \( dx/dy \to 0 \) cuando \( t \to 1 \) y además \( y'(t) \) no cambia de signo en \( t = 1 \), y así la curva es regular en \( t = 1 \).  Si \( y'(t) \) cambiase de signo en \( t_0 \) la curva no sería regular (por ejemplo \( \gamma = (t^3,t^2) \).

No sé si esto es siempre cierto (intuyo que sí) pero no veo una manera de demostrarlo. Estaba pensando en buscar una extensión continua del \( T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} \) pero no consigo precisarlo con las condiciones dadas en el párrafo anterior.

Imaginemos un collar de \( n \) perlas (\( P_i \)) abierto y estirado de manera que se asemeje a una línea recta. Ahora lo cogemos de un extremo verticalmente de tal manera que el otro extremo (en donde se supone que hay una perla) posa sobre una superficie horizontal. La idea es hallar la distancia entre perla y perla \( |P_2P_1| \) tal que si soltamos el collar y este cayese de manera totalmente vertical, éste produce un sonido de carácter continuo (es decir, con una frencuencia fija). Una imagen del problema:

Si \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), entonces \( \epsilon{_f} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{h(x)}\epsilon_g\right)^2 + \left(\dfrac{-g(x)h'(x)}{h(x)^2}\epsilon_h\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{h(x)^2}\left(\epsilon_g^2 + \dfrac{[g(x)h'(x)\epsilon_h]^2 }{h(x)^2}\right)} \) dividiendo por \( g \) ambos lados y llevando \( h \) de la raíz al otro lado de la ecuación: \( \dfrac{h(x)}{g(x)} \epsilon_f = \dfrac{\epsilon_f}{f(x)} = \dfrac{1}{g(x)}\sqrt{\epsilon_g^2 + \dfrac{[g(x)h'(x)\epsilon_h]^2 }{h(x)^2}} \). Elevando al cuadrado ambos miembros, teniendo en cuenat que \( h'(x) =1 \) y simplificando:

\( \dfrac{\epsilon_f^2}{f(x)^2} = \dfrac{\epsilon_g^2}{g(x)^2} + \dfrac{\epsilon_h^2}{h(x)^2}  \)

Para la propagación lineal pues sin elevar todo al cuadrado, el mismo procedimiento.

Hola.

Estaba leyendo unas notas en la que se intercambiaban dos operadores diferenciales de una manera muy artificial, a mi modo de ver:

Se tiene la expresión \( \xi = \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \) y a continuación se realiza el producto escalar con \( \nabla \) a ambos lados:  \( \nabla \cdot \xi = \nabla \cdot \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \). Bien, ahora intercambian el orden de diferenciación en el miembro derecho de la última expresión quedando que \( \nabla \cdot \xi = \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \nabla \cdot \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \). La razón que dan en las notas sobre el por qué es posible este cambio es, literalmente: 'Como la integral definida puede ser interpretada como el límite de una suma, y usando la propiedad \( \nabla\cdot (A+B+C\dots) = \nabla \cdot A + \nabla \cdot B + \nabla \cdot
 C \dots \), podemos intercambiar el orden de diferenciación e integración.'

No sé si esto es correcto o no, me chirría mucho para ser honestos. La derivada es un límite, la integral definida un límite de una suma, así que habría que hacer un intercambio de límites, algo nada trivial a mi modo de ver... lo que se me ocurre en este sentido es que se deberían satisfacer las condiciones del teorema de la convergencia dominada y que los límites han de ser uniformes respecto de la otra del que se desea intercambiar. ¿Qué opináis al respecto de todo esto?

Pd: Sé que se podría justificar el cambio en los operadores sin más que acudir a la regla de Leibniz para la derivación bajo la integral... lo que no sé es si esa regla es lo mismo que proponen en las notas, o lo que he dicho yo.

Saludos.

Hola.

Estoy intentando hacer la demostración del siguiente resultado:

Sea \(  j_t : (M', \xi ') \to (M,\xi), t \in [0,1] \) una isotopía de inmersiones de contacto (contact embeddings) de la variedad de contacto cerrada \( (M', \xi') \) en la variedad de contacto \( (M,\xi) \). Entonces, existe una isotopía de contacto con soporte compacto \( \psi_t : M \to M \) con \( \psi_t(j_0(M')) = j_t(M') \).

Tampoco sé cómo se llama este resultado, ni una referencia para encontrar la demostración. ¿Alguna idea o fuente donde pueda ver la demo?

Saludos.

El tema ha sido movido a Foro general.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93718.0

El tema ha sido movido a Geometría Diferencial - Variedades.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93639.0

Demostrar que \( \overline \sigma_p \subseteq \sigma_c \cup \sigma_p \) siendo \( \sigma_p \) y \( \sigma_C \) el espectro puntual y continuo respectivamente.

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En un momento dado pensé que era cierto, ya que observé que  la unión de la clausura del espectro puntual y el conjunto de los autovalores de multiplicidad infinita forman el espectro continuo. Pero ahora me parece que no es cierta. Por ejemplo, considera \( H = \ell^2(\mathbb{N}) \times \ell^2(\mathbb{N}) \) y define \( A : H \to H \) tal que


Entonces \( A(e_n,0)=\frac{1}{n}(e_n,0)  \) lo que implica que \( 0\in\overline{\sigma_p(A)} \). Sin embargo, el rango de \( A \) no es denso ya que \( (0,e_1)\perp \mathcal{R}(A) \), luego \( 0\notin\sigma_c(A) \). Es sencillo comprobar que \( 0\notin\sigma_p(A) \) i.e: \( \mathcal{N}(A)=\{0\} \)

Así que, a no ser que haya algunas condiciones especiales, no me parece cierto.