Hola
Resumo
En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).
Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,
\( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \), de donde, \( \alpha+\beta=2h^3 \)
Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,
\( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \), de donde, \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)
y se obtiene,
\( \alpha=h^3+k^3-\displaystyle\frac{1}{4} \) y \( \beta=h^3-k^3+\displaystyle\frac{1}{4} \) (1)
de soluciones posibles,
\( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \), \( h^3+k^3=\displaystyle\frac{A+1}{4} \) y \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \), \( h^3-k^3=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)
Si 4 divide a los enteros A o B no divide a A+1 o B-1 y recíprocamente, luego las ecuaciones (1) no tienen solución en enteros \( \alpha \), \( \beta \), \( h \) y \( k \).
Para \( n \) simple impar, si la suma y diferencia de dos potencias \( n \)-simas de enteros son potencias \( n \)-simas pares de enteros, se tendrá,
\( \alpha+\beta=2^{n-2}h^n \), \( \alpha-\beta=2^{n-2}k^n-\displaystyle\frac{1}{2} \) , de donde, \( \alpha=2^{n-3}(h^n+k^n)-\displaystyle\frac{1}{4} \), \( \beta=2^{n-3}(h^n-k^n+\displaystyle\frac{1}{4} \),
y se tendría,
\( \alpha=\displaystyle\frac{A}{a} \), \( h^n+k^n=\displaystyle\frac{{A+1}}{4} \) y \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \), \( h^n-k^n=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)
y 4 sería divisor de A, y A+1 y de B y B+1, lo que es imposible.
En consecuencia, salvo error u omisión, cosa muy probable a juzgar por los antecedentes, si \( n \) es simple impar, la ecuación \( m^n=a^n+b^n \) no tiene solución en \( m \), \( a \), \( b \), enteros positivos.
Saludos.
