[MagisterProS]

En la figura se ilustra una Circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo.



Uno de los puntos de tangencia divide la hipotenusa del triángulo en dos segmentos de longitud 7 y 8 unidades como indica la figura. El área del triángulo en unidades cuadradas es


a)56
b)49
c)36
d)72

[delmar]

Hola

MagisterProS, es conveniente que muestres algún avance respecto al problema.

Si denominamos C, al vértice superior, A al vértice del ángulo recto y B al otro vértice. Se tiene por propiedad de la tangente exterior a una circunferencia :

La distancia 7 de C al punto de tangencia con el segmento \( \overline{CB} \) es igual a la distancia de C al punto de tangencia  con el segmento \( \overline{CA} \), siendo \( r \) el radio de la circunferencia inscrita se tiene que \( \overline{CA}=b=7+r \).

La distancia 8 de B al punto de tangencia con el segmento \( \overline{CB} \) es igual a la distancia de B al punto de tangencia  con el segmento \( \overline{BA} \), siendo \( r \) el radio de la circunferencia inscrita se tiene que \( \overline{CB}=c=8+r \).

Luego el área será : \( A=\displaystyle\frac{(r+7)(r+8)}{2}=\displaystyle\frac{r^2+15r+56}{2} \) Ec. 1

Por pitágoras se tiene :

\( (r+7)^2+(r+8)^2=(7+8)^2\Rightarrow{r^2+15r-56=0}\Rightarrow{r^2+15r=56} \) Ec. 2

Considerando la Ec. 2,  de  la Ec. 1 se puede obtener el área que te piden.

Spoiler

La rpta es la A

[cerrar]

Saludos

[Valledony]

Hola

MagisterProS, es conveniente que muestres algún avance respecto al problema.

Si denominamos C, al vértice superior, A al vértice del ángulo recto y B al otro vértice. Se tiene por propiedad de la tangente exterior a una circunferencia :

La distancia 7 de C al punto de tangencia con el segmento \( \overline{CB} \) es igual a la distancia de C al punto de tangencia  con el segmento \( \overline{CA} \), siendo \( r \) el radio de la circunferencia inscrita se tiene que \( \overline{CA}=b=7+r \).

La distancia 8 de B al punto de tangencia con el segmento \( \overline{CB} \) es igual a la distancia de B al punto de tangencia  con el segmento \( \overline{BA} \), siendo \( r \) el radio de la circunferencia inscrita se tiene que \( \overline{CB}=c=8+r \).

Luego el área será : \( A=\displaystyle\frac{(r+7)(r+8)}{2}=\displaystyle\frac{r^2+15r+56}{2} \) Ec. 1

Por pitágoras se tiene :

\( (r+7)^2+(r+8)^2=(7+8)^2\Rightarrow{r^2+15r-56=0}\Rightarrow{r^2+15r=56} \) Ec. 2

Considerando la Ec. 2,  de  la Ec. 1 se puede obtener el área que te piden.

Spoiler

La rpta es la A

[cerrar]

Saludos

¿Cómo resolviste la segunda ecuación? Porque por más que le eche cabeza no me da...
Y con base al problema, compa, hay una propiedad en la que dice que es tan fácil como multiplicar las longitudes de los segmentos entre sí (7*8) y listo

[sugata]

¿Que propiedad?

[Pie]

¿Que propiedad?

Tampoco la conocía, pero dándole un poco de vueltas creo que se puede demostrar así:



Por un lado el área es la suma de las áreas de los tres triángulos de altura \( r \):

\[ A = \frac{r(a+r)}{2} + \frac{r(b+r)}{2} + \frac{r(a+b)}{2} =
 \]

\[ = \frac{r(2a+2b+2r)}{2} = r(a+b+r) \]

Y por otro:

\[ A = \frac{(a+r)(b+r)}{2} = \frac{ab}{2} + \frac{r(a+b+r)}{2} \Longrightarrow{}
 \]

\[ A = \frac{ab}{2} + \frac{A}{2} \Longrightarrow 2A = ab + A \Longrightarrow{A = ab} \]

Saludos.

[sugata]

Que curioso....

[Luis Fuentes]

Hola

 La fórmula es también consecuencia de la fórmula de Herón \( A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) y \( A=pr \). Si el triángulo es rectángulo de hipotenusa \( c \), entonces \( p-c=r \) y de ahí \( A=\color{red}(p-a)(p-b)\color{black} \).

Saludos.

CORREGIDO (gracias Pie)

Añadido: O directamente basta notar:

\( (p-a)(p-b)=\dfrac{1}{4}(c-(a-b))(c+(a-b))=\dfrac{1}{4}(c^2-a^2-b^2+2ab)=\dfrac{1}{2}ab \)

[Pie]

Hola

 La fórmula es también consecuencia de la fórmula de Herón \( A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) y \( A=pr \). Si el triángulo es rectángulo de hipotenusa \( c \), entonces \( p-c=r \) y de ahí \( A=(p-b)(p-c) \).

Saludos.

Pues sí. Quedaría:

\[ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}  =\sqrt{p(p-a)(p-b)r} \Longrightarrow{} \]

\[ A = \sqrt{A(p-a)(p-b)} \Longrightarrow{} A^2 = A(p-a)(p-b)\Longrightarrow{} \]

\( A = (p-a)(p-b) \)

Pequeña errata al final.

Saludos.