[petras]

Si \( ON=4\sqrt2, UH=4, HP=5 \) es \( CP=7 \), calcule \( X \). (R:\( x=6 \))

[delmar]

Hola

Creo hay error en el enunciado, por simple análisis :


Por ser las dos circunferencias tangentes a UN y UP, sus centros están en la bisectriz, denominando \( \theta=\angle EUH\Rightarrow{\angle NUH=2 \theta}\Rightarrow{Tg 2 \theta=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{2 Tg \theta}{1+Tg^2\theta}=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{cos \theta=\displaystyle\frac{\overline{UE}}{4}} \) esto por observación implica \( \overline{UE}<4 \) por ser el coseno menor que 1. Intuitivamente por la figura, parece haber un error en el enunciado.



Saludos

[petras]

Hola

Creo hay error en el enunciado, por simple análisis :


Por ser las dos circunferencias tangentes a UN y UP, sus centros están en la bisectriz, denominando \( \theta=\angle EUH\Rightarrow{\angle NUH=2 \theta}\Rightarrow{Tg 2 \theta=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{2 Tg \theta}{1+Tg^2\theta}=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{cos \theta=\displaystyle\frac{\overline{UE}}{4}} \) esto por observación implica \( \overline{UE}<4 \) por ser el coseno menor que 1. Intuitivamente por la figura, parece haber un error en el enunciado.



Saludos

Hola, rehice la figura en geogebra y está correcta, los valores están verificados y la plantilla coincide.

[Pie]

A mi me sale el resultado resolviendo la ecuación:

\[ 4^2 + \left(\sqrt{32 - r^2)}+ r\right)^2 = \left(4-r + \sqrt{32 - r^2}\right)^2 \Longrightarrow{} \]

\[ r = 2(\sqrt{3} - 1) \]

Donde \( r \) es el radio del circulo pequeño. Luego:

\[ \overline{NH} = \sqrt{32 - (2(\sqrt{3} - 1))^2} + 2(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} \Longrightarrow{}
 \]

\[ x = 5 + \sqrt{7^2 - \overline{NH}^2} = 5 + \sqrt{49 - 48} = 6 \]

Pero no me convence nada esta forma ya que la ecuación es bastante complicada (yo la resolví con el wolfram) y me da que tiene que haber alguna forma más sencilla o elegante..

Seguiré pensando..

Saludos.

[petras]

A mi me sale el resultado resolviendo la ecuación:

\[ 4^2 + \left(\sqrt{32 - r^2)}+ r\right)^2 = \left(4-r + \sqrt{32 - r^2}\right)^2 \Longrightarrow{} \]

\[ r = 2(\sqrt{3} - 1) \]

Donde \( r \) es el radio del circulo pequeño. Luego:

\[ \overline{NH} = \sqrt{32 - (2(\sqrt{3} - 1))^2} + 2(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} \Longrightarrow{}
 \]

\[ x = 5 + \sqrt{7^2 - \overline{NH}^2} = 5 + \sqrt{49 - 48} = 6 \]

Pero no me convence nada esta forma ya que la ecuación es bastante complicada (yo la resolví con el wolfram) y me da que tiene que haber alguna forma más sencilla o elegante..

Seguiré pensando..

Saludos.

Talvez encontrando el valor de NU e pelo teorema de Pitot teríamos x de inmediato

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Talvez encontrando el valor de NU e pelo teorema de Pitot teríamos x de inmediato

En el triángulo rectángulo \( UHN \) llamamos \( c=NU \) a la hipotenusa, \( a=NH \) y \( b=UH=4 \) a los catetos. Como es usual \( p=(a+b+c)/2 \) el semiperímetro.

Entonces en el triángulo rectángulo \( ODN \):

\( ON^2=OD^2+ND^2\quad \Leftrightarrow{}\quad 32=(p-c)^2+(p-b)^2 \)

Pero:

\( p-c=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{a-(c-b)}{2},\qquad p-b=\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{a+(c-b)}{2} \)

Queda:

\( 32=\dfrac{1}{4}[(a-(c-b))^2+(a+(c-b))^2]=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-2bc)=\dfrac{1}{2}(c^2+c^2-8c)=c^2-4c \)

\( c^2-4c+32=0\quad c=2\pm \sqrt{4+32}=8 \) ó \( -4 \).

Nos quedamos con la solución positiva \( NU=c=8 \).

Y por el Teorema de Pitot:

\( x=NU+CP-UP=7+8-9=6 \)

Saludos.

[petras]

Hola

Talvez encontrando el valor de NU e pelo teorema de Pitot teríamos x de inmediato

En el triángulo rectángulo \( UHN \) llamamos \( c=NU \) a la hipotenusa, \( a=NH \) y \( b=UH=4 \) a los catetos. Como es usual \( p=(a+b+c)/2 \) el semiperímetro.

Entonces en el triángulo rectángulo \( ODN \):

\( ON^2=OD^2+ND^2\quad \Leftrightarrow{}\quad 32=(p-c)^2+(p-b)^2 \)

Pero:

\( p-c=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{a-(c-b)}{2},\qquad p-b=\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{a+(c-b)}{2} \)

Queda:

\( 32=\dfrac{1}{4}[(a-(c-b))^2+(a+(c-b))^2]=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-2bc)=\dfrac{1}{2}(c^2+c^2-8c)=c^2-4c \)

\( c^2-4c+32=0\quad c=2\pm \sqrt{4+32}=8 \) ó \( -4 \).

Nos quedamos con la solución positiva \( NU=c=8 \).

Y por el Teorema de Pitot:

\( x=NU+CP-UP=7+8-9=6 \)

Saludos.

:aplauso:agradecido
Saludos

[Pie]

Hola

Talvez encontrando el valor de NU e pelo teorema de Pitot teríamos x de inmediato

En el triángulo rectángulo \( UHN \) llamamos \( c=NU \) a la hipotenusa, \( a=NH \) y \( b=UH=4 \) a los catetos. Como es usual \( p=(a+b+c)/2 \) el semiperímetro.

Entonces en el triángulo rectángulo \( ODN \):

\( ON^2=OD^2+ND^2\quad \Leftrightarrow{}\quad 32=(p-c)^2+(p-b)^2 \)

Pero:

\( p-c=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{a-(c-b)}{2},\qquad p-b=\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{a+(c-b)}{2} \)

Queda:

\( 32=\dfrac{1}{4}[(a-(c-b))^2+(a+(c-b))^2]=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-2bc)=\dfrac{1}{2}(c^2+c^2-8c)=c^2-4c \)

\( c^2-4c+32=0\quad c=2\pm \sqrt{4+32}=8 \) ó \( -4 \).

Nos quedamos con la solución positiva \( NU=c=8 \).

Y por el Teorema de Pitot:

\( x=NU+CP-UP=7+8-9=6 \)

Saludos.

Muy bueno.   

Yo ya desistí intentando encontrar triángulos equiláteros (viendo que \( c = 2b \)), usando trazos auxiliares, semejanza, etc.. Al final me quedó un dibujo ininteligible xD (aunque diría que tiene que haber alguna forma de hacerlo asi  )

Saludos.

[delmar]

Hola

Creo hay error en el enunciado, por simple análisis :


Por ser las dos circunferencias tangentes a UN y UP, sus centros están en la bisectriz, denominando \( \theta=\angle EUH\Rightarrow{\angle NUH=2 \theta}\Rightarrow{Tg 2 \theta=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{2 Tg \theta}{1+Tg^2\theta}=\displaystyle\frac{2\overline{EU} sen \theta}{4}}\Rightarrow{cos \theta=\displaystyle\frac{\overline{UE}}{4}} \) esto por observación implica \( \overline{UE}<4 \) por ser el coseno menor que 1. Intuitivamente por la figura, parece haber un error en el enunciado.



Saludos

Hola, rehice la figura en geogebra y está correcta, los valores están verificados y la plantilla coincide.

Disculpen el error en mi aporte, escribí mal la fórmula  la \( Tg 2 \theta=\displaystyle\frac{2 Tg \theta}{1-Tg^2 \theta} \) es menos en lugar de más.

Saludos