[geómetracat]

Que una variedad diferenciable sea orientable es pedir que exista un atlas orientado, es decir, que exista un conjunto de cartas locales de la estructura diferenciable que cubran la variedad de manera que las funciones de transición sean difeomorfismos (entre abiertos de \( \Bbb R^n \) estándar) que preservan la orientación, es decir, que tienen determinante jacobiano positivo. Esto tiene sentido para cualquier variedad diferenciable, sea un \( \Bbb R^4 \) exotico o no.

No entiendo qué quiere decir que no hay definición diferenciable que alcance a la topológica. Pero el teorema que mencionaba vale siempre, para absolutamente cualquier variedad diferenciable.

[Restituto]

Que una variedad diferenciable sea orientable es pedir que exista un atlas orientado, es decir, que exista un conjunto de cartas locales de la estructura diferenciable que cubran la variedad de manera que las funciones de transición sean difeomorfismos (entre abiertos de \( \Bbb R^n \) estándar) que preservan la orientación, es decir, que tienen determinante jacobiano positivo. Esto tiene sentido para cualquier variedad diferenciable, sea un \( \Bbb R^4 \) exotico o no.

Eso es verdad. Es orientable. Aun más es cierto, al ser contraible su topología, es paralelizable. Disculpa que insistiera.

No entiendo qué quiere decir que no hay definición diferenciable que alcance a la topológica. Pero el teorema que mencionaba vale siempre, para absolutamente cualquier variedad diferenciable.

Vale. Estaba apuntando a la posibilidad de tener orientabilidad pero que pueda haber elección de orientación distinta como variedad topologica y diferenciable, como por ejemplo hay métricas distintas en una variedad lorentziana, la que se usa en medidas euclídea que induce su topología y la pseudometrica que da lugar a su estructura causal inducida por su tensor metrico.

[geómetracat]

Vale. Estaba apuntando a la posibilidad de tener orientabilidad pero que pueda haber elección de orientación distinta como variedad topologica y diferenciable, como por ejemplo hay métricas distintas en una variedad lorentziana, la que se usa en medidas euclídea que induce su topología y la pseudometrica que da lugar a su estructura causal inducida por su tensor metrico.

Un comentario sobre esto es que hay una diferencia fundamental entre métricas (pseudo)riemannianas y orientaciones en una variedad diferenciable. En general en una variedad diferenciable tienes infinitas métricas riemannianas distintas, que pueden dar lugar a propiedades geométricas distintas. Eso hace que una métrica riemannianas realmente se deba pensar como una "capa de estructura" adicional a la variedad diferenciable, porque la información que te da la estructura de variedad diferenciable sobre la geometría de una métrica concreta es bastante limitada (por lo general). Por eso hay un campo de geometría riemanniana con métodos y técnicas bastante distintas de las de topología diferencial.

Las orientaciones en cambio, si las piensas como estructura extra, son muy poco interesantes. Dada una variedad diferenciable conexa solo hay dos opciones: o bien es orientable o bien no lo es (y además esto depende únicamente de su estructura de variedad topológica). Y en el caso en que sea orientable únicamente hay dos orientaciones posibles. Por tanto, en el caso orientable escoger una orientación es simplemente escoger entre dos opciones. Es decir, una orientación es algo que aporta poco a la estructura de variedad. Por eso no existe el campo de la "geometría orientada",  a diferencia de lo que pasa con la riemanniana.