[milibach]

Demostrar que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que bisecan dos circunferencias dadas es una recta paralela al eje radical de las circunferencias.

Apenas entendí lo que es bisecar dos circunferencias, intersectarlas por sus diámetros.

Pero cómo se demuestra que es un lugar geométrico y que es una recta paralela?

https://www.geogebra.org/calculator/erpgmxkn

[Luis Fuentes]

Hola

 Con geometría analítica es muy fácil.


 Si una circunferencia tiene centro en \( (0,0) \) con radio \( r \) y otra centro \( (a,0) \) con radio \( R \), entonces los puntos \( (x,y) \) del lugar geométrico buscado tienen que cumplir por el Teorema de Pitágoras:

\( d((x,y),(0,0))^2+r^2=d((x,y),(a,0))^2+R^2 \)

\( x^2+y^2+r^2=(x-a)^2+y^2+R^2 \)

de donde:

\( x=\dfrac{R^2+a^2-r^2}{2a} \)

que es una recta perpendicular a la que une ambos centros y por tanto paralela al eje radical.

Saludos.

[milibach]

Pero es de gemetría plana, alguna solución que no sea de geometría analítica?

[ancape]

Pero es de gemetría plana, alguna solución que no sea de geometría analítica?

La solución que da Luis ¿Es Geometría Analítica?

[milibach]

Sí, yo busco la de geometría euclídea.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, yo busco la de geometría euclídea.

Veamos así.

 - Denoto por \( [C;r] \) a la circunferencia de centro \( C \) y radio \( r \),

- La potencia de un punto \( P \) respecto de una circunferencia \( [C;r] \) es:

 \( (d(P,C)+r)(d(P,C)-r)=d(P,C)^2-r^2 \).

- Ahora dadas las circunferencias \( [A;r] \) y \( [B;R] \), el lugar geométrico de puntos \( P \) pedido cumple:

\( d(P,A)^2+r^2=d(P,B)^2+R^2 \)

\( \color{red}d(P,A)^2\color{black}-R^2=d(P,B)\color{red}^2\color{black}-r^2 \)  (CORREGIDO)

- Es decir el lugar geométrico pedido coincide con el lugar geométrico de puntos que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias \( [A;R] \) y centro \( [B;r] \). Por tanto es por definición el eje radical de esas dos circunferencias (fíjate: las originales con los radios intercambiados).

- Pero el eje radical de dos circunferencias es perpendicular al segmento que une sus centros; por tanto el eje radical de las circunferencias \( (A,r) \) y \( (B,R) \)  y el eje radical de las circunferencias \( (A,R) \) y \( (B,r) \) son ambos perpendiculares al segmento \( AB \) y por tanto paralelos entre si.

Saludos.

[milibach]

Me podrías explicar por qué el punto pedido cumple eso si no es la definición de potencia, es decir está con signo +

[Luis Fuentes]

Hola

Me podrías explicar por qué el punto pedido cumple eso si no es la definición de potencia, es decir está con signo +

Dime exactamente que paso no entiendes:

- Ahora dadas las circunferencias \( [A;r] \) y \( [B;R] \), el lugar geométrico de puntos \( P \) pedido cumple:

\( d(P,A)^2+r^2=d(P,B)^2+R^2 \)

 Esto es por el Teorema de Pitágoras. Observa el gráfico: el centro de la circunferencia bisectriz, el centro de cada una de las dos circunferencias originales y los respectivos radios forman un par de triángulos rectángulos, donde la hipotenusa (igual para ambos) es el radio de la circunferencia bisectriz. Si quieres:

\( d(P,A)^2+r^2=\color{red}(\text{radio circ.bisectriz})^2\color{black}=d(P,B)^2+R^2 \)

\( d(P,A)^2+r^2=d(P,B)^2+R^2 \)

Ahora cambias los radios de miembro pasándolos al lado opuesto son signo negativo:

\( d(P,A)^2-R^2=d(P,B)^2-r^2 \)

donde:

\( d(P,A)^2-R^2 \) es la potencia del punto \( P \) respecto de la circunferencia \( [A;R] \)
\( d(P,B)^2-r^2 \) es la potencia del punto \( P \) respecto de la circunferencia \( [B;r] \)

Saludos.

[milibach]

Ok gracias