[petras]

Desde un punto fuera de un círculo, dibuja los segmentos tangentes \( PE  \) y \( PF  \)(puntos de tangencia \( E  \) y \( F \)). En el arco \( EF  \) está marcado el punto \( M \), ortocentro del triángulo \( PEF \). Calcule \( m < PME \) (R:\( 120^o \) )

[ani_pascual]

Desde un punto fuera de un círculo, dibuja los segmentos tangentes \( PE  \) y \( PF  \)(puntos de tangencia \( E  \) y \( F \)). En el arco \( EF  \) está marcado el punto \( M \), ortocentro del triángulo \( PEF \). Calcule \( m < PME \) (R:\( 120^o \) )

Hola:

Spoiler

El segmento \( \overline{FQ} \) es la altura relativa al lado \( \overline{PE} \) del triángulo \( \triangle{EPF} \). Se tiene que \( \widehat{EPF}=180^{\circ}-\widehat{EOF} \). Por otra parte, el ángulo inscrito \( \widehat{QFP}=\dfrac{\widehat{POF}}{2}=\dfrac{\widehat{EOF}}{4} \) y además \(  
\widehat{QFP}=90^{\circ}-\widehat{EPF}=90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{EOF})=\widehat{EOF}-90^{\circ}\Longrightarrow \dfrac{\widehat{EOF}}{4}=\widehat{EOF}-90^{\circ}\Longleftrightarrow \widehat{EOF}=120^{\circ} \). Por tanto, en el triángulo \( \triangle{FMP} \) se tiene que \( \widehat{FMP}=180^{\circ}-\widehat{OPF}-\widehat{QFP}=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=\boxed{120^{\circ}} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Desde un punto fuera de un círculo, dibuja los segmentos tangentes \( PE  \) y \( PF  \)(puntos de tangencia \( E  \) y \( F \)). En el arco \( EF  \) está marcado el punto \( M \), ortocentro del triángulo \( PEF \). Calcule \( m < PME \) (R:\( 120^o \) )

Hola:

Spoiler

El segmento \( \overline{FQ} \) es la altura relativa al lado \( \overline{PE} \) del triángulo \( \triangle{EPF} \). Se tiene que \( \widehat{EPF}=180^{\circ}-\widehat{EOF} \). Por otra parte, el ángulo inscrito \( \widehat{QFP}=\dfrac{\widehat{POF}}{2}=\dfrac{\widehat{EOF}}{4} \) y además \(  
\widehat{QFP}=90^{\circ}-\widehat{EPF}=90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{EOF})=\widehat{EOF}-90^{\circ}\Longrightarrow \dfrac{\widehat{EOF}}{4}=\widehat{EOF}-90^{\circ}\Longleftrightarrow \widehat{EOF}=120^{\circ} \). Por tanto, en el triángulo \( \triangle{FMP} \) se tiene que \( \widehat{FMP}=180^{\circ}-\widehat{OPF}-\widehat{QFP}=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=\boxed{120^{\circ}} \)

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Saludos

Excelente.
Agradecido

Saludos