[petras]

Si \( AS=8, AC=CB \) y \( AC \) toma el valor entero más pequeño. Calcular la medida del ángulo SKL (K: punto de tangencia).(R:\( 16^o \))

[Luis Fuentes]

Hola


 El triángulo \( SKA \) (y por tanto el \( ASB \)) es rectángulo porque el vértice \( S \) está sobre la circunferencia y el lado \( KA \) es un diámetro.

 En el triángulo \( ASB \):

\(  (2AC)^2=8^2+BS^2 \) (*)

 Por tanto \( AC>4 \) y su valor entero más pequeño es \( AC=5 \). De (*), entonces \( BS=6 \) y por potencia de un punto (el \( B \)) exterior respecto a una circunferencia:

\( AB\cdot BC=BS\cdot BK \)

 es decir:

\( 10\cdot 5=6\cdot (6+SK) \)

 de donde:

\( SK=\dfrac{7}{3} \)

 y:

\( \widehat{SKL}=\widehat{SAK}=arctan\left(\dfrac{SK}{AS}\right)=arctan\left(\dfrac{7}{24}\right)\approx 16.26^o \)

Saludos.

[petras]

Hola


 El triángulo \( SKA \) (y por tanto el \( ASB \)) es rectángulo porque el vértice \( S \) está sobre la circunferencia y el lado \( KA \) es un diámetro.

 En el triángulo \( ASB \):

\(  (2AC)^2=8^2+BS^2 \) (*)

 Por tanto \( AC>4 \) y su valor entero más pequeño es \( AC=5 \). De (*), entonces \( BS=6 \) y por potencia de un punto (el \( B \)) exterior respecto a una circunferencia:

\( AB\cdot BC=BS\cdot BK \)

 es decir:

\( 10\cdot 5=6\cdot (6+SK) \)

 de donde:

\( SK=\dfrac{7}{3} \)

 y:

\( \widehat{SKL}=\widehat{SAK}=arctan\left(\dfrac{SK}{AS}\right)=arctan\left(\dfrac{7}{24}\right)\approx 16.26^o \)

Saludos.

Agradecido

Saludos

[ancape]

...........

\( SK=\dfrac{7}{3} \)

 y:

\( \widehat{SKL}=\widehat{SAK}=arctan\left(\dfrac{SK}{AS}\right)=arctan\left(\dfrac{7}{24}\right)\approx 16.26^o \)

Hola

Mira los números pues a mi sí me sale 16º exactos

Saludos

[petras]

Hola


 El triángulo \( SKA \) (y por tanto el \( ASB \)) es rectángulo porque el vértice \( S \) está sobre la circunferencia y el lado \( KA \) es un diámetro.

 En el triángulo \( ASB \):

\(  (2AC)^2=8^2+BS^2 \) (*)

 Por tanto \( AC>4 \) y su valor entero más pequeño es \( AC=5 \). De (*), entonces \( BS=6 \) y por potencia de un punto (el \( B \)) exterior respecto a una circunferencia:

\( AB\cdot BC=BS\cdot BK \)

 es decir:

\( 10\cdot 5=6\cdot (6+SK) \)

 de donde:

\( SK=\dfrac{7}{3} \)

 y:

\( \widehat{SKL}=\widehat{SAK}=arctan\left(\dfrac{SK}{AS}\right)=arctan\left(\dfrac{7}{24}\right)\approx 16.26^o \)

Saludos.

Sólo una pregunta... ¿por qué AC >4?

[Luis Fuentes]

Hola

Sólo una pregunta... ¿por qué AC >4?

Por que si:

\( (2AC)^2=8^2+BS^2 \)

entonces:

\( (2AC)^2=8^2+BS^2>8^2\quad \Rightarrow{}\quad 2AC>8\quad \Rightarrow{}\quad  AC>4 \)

Mira los números pues a mi sí me sale 16º exactos.

No creo que salga \( 16^o \). Una cosa es que hayas hecho un dibujo en el que por algún redondeo te parezca que las cosas cuadran con \( 16^o \). Pero no es así.

Más allá del dibujo indica las cuentas precisas con las cuáles según tú se obtiene como resultado \( 16^o \).

Saludos.

[ancape]

.........
No creo que salga \( 16^o \). Una cosa es que hayas hecho un dibujo en el que por algún redondeo te parezca que las cosas cuadran con \( 16^o \). Pero no es así.

Más allá del dibujo indica las cuentas precisas con las cuáles según tú se obtiene como resultado \( 16^o \).

Hola

Ya he visto dónde está el fallo. En el enunciado dice AS =8 y por tanto el ángulo ASB no es 90º, esto es, K,S,B no están alineados.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ya he visto dónde está el fallo. En el enunciado dice AS =8 y por tanto el ángulo ASB no es 90º, esto es, K,S,B no están alineados.

Supongo que te refieres al fallo en tu dibujo.

En el enunciado es claro que \( KB \) es un segmento recto que corta en \( S \) a la circunferencia (cualquier otra interpretación sería exótica o grotesca).

El fallo en el ejercicio está en todo caso en poner como respuesta \( 16^o \). Pero esto es debido a un convenio típico de ciertas colecciones de problemas de geometría que pululan por ahí (creo que en particular peruanos), donde suele aproximarse:

\( sin(16^o)=\dfrac{7}{25},\quad cos(16^o)=\dfrac{24}{25},\quad tan(16^o)=\dfrac{7}{24} \)

 cuando en realidad esas razones trigonométricas son las del ángulo \( 16.2602\ldots \).

Saludos.

[ancape]

Hola

Ya he visto dónde está el fallo. En el enunciado dice AS =8 y por tanto el ángulo ASB no es 90º, esto es, K,S,B no están alineados.

Supongo que te refieres al fallo en tu dibujo.

En el enunciado es claro que \( KB \) es un segmento recto que corta en \( S \) a la circunferencia (cualquier otra interpretación sería exótica o grotesca).

El fallo en el ejercicio está en todo caso en poner como respuesta \( 16^o \). Pero esto es debido a un convenio típico de ciertas colecciones de problemas de geometría que pululan por ahí (creo que en particular peruanos), donde suele aproximarse:

\( sin(16^o)=\dfrac{7}{25},\quad cos(16^o)=\dfrac{24}{25},\quad tan(16^o)=\dfrac{7}{24} \)

 cuando en realidad esas razones trigonométricas son las del ángulo \( 16.2602\ldots \).

Saludos.

Hola

Perdona, pero mira bien el enunciado 'Si AS=8,AC=CB y AC toma el valor entero más pequeño. Calcular la medida del ángulo SKL (K: punto de tangencia).(R:16o) pone claramente que AS son 8 uds, En ningun sitio pone \( 'KB \) es un segmento recto que corta en \( S \) a la circunferencia (cualquier otra interpretación sería exótica o grotesca)'.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Perdona, pero mira bien el enunciado 'Si AS=8,AC=CB y AC toma el valor entero más pequeño. Calcular la medida del ángulo SKL (K: punto de tangencia).(R:16o) pone claramente que AS son 8 uds, En ningun sitio pone \( 'KB \) es un segmento recto que corta en \( S \) a la circunferencia (cualquier otra interpretación sería exótica o grotesca)'.

 ¡Pero hombre! No lo pone pero se deduce del dibujo.   

 Tampoco pone que \( AK \) sea un diámetro; ni que \( AB \) sea un segmento recto que corta a la circunferencia en \( C \). Pero parte del enunciado es el dibujo. Y tan claro es que \( KB \) es un segmento recto, como que lo es \( AB \), como que  \( AK \) es un diámetro y la curva una circunferencia.

 Si del dibujo NO supones que el ángulo \( ASB=ASK \) es de 90 grados, entonces , ¿por qué habría de ser \( 16^o \) la solución y no cualquier otro ángulo?. El problema tendría infinitas soluciones.

 Es curioso que violentes la interpretación del dibujo para forzar que \( 16^o \) sea solución, interpretándolo como un dibujo engañoso, en lugar de considerar que lo único erróneo (o inexacto) es la solución del problema que se ofrece.

Saludos.