[petras]

Si la medida del arco \( MN  \) menos la medida del arco \( AB  \) es igual a \( 30  \) grados, Calcula \( x \). (R: \( 15^o \))

[ancape]

Si la medida del arco \( MN  \) menos la medida del arco \( AB  \) es igual a \( 30  \) grados, Calcula \( x \). (R: \( 15^o \))

Hola
¿Está bien la respuesta R? A mi me sale que el ángulo x es igual que la diferencia de arcos MN y AB (mido los arcos con vértice en la circunferencia, NO como ángulos centrales)
Saludos

[ancape]

Hola

Si interpretamos la medida de un arco como el ángulo central que abarca, el resultado es correcto, es más, la diferencia de ángulos es en cualquier caso el doble del ángulo x de la figura.
Para la demostración, basta observar la figura que adjunto y hacer la cuenta con el hecho de que los ángulos que concurren en B son iguales dos a dos (por opuestos por el vértice)
He eliminado las circunferencias para resaltar que lo único importante son dos triángulos pegados por un lado.

Saludos

[ani_pascual]

Si la medida del arco \( MN  \) menos la medida del arco \( AB  \) es igual a \( 30  \) grados, Calcula \( x \). (R: \( 15^o \))

Hola:

Spoiler

Trazando la tangente a la circunferencia grande en \( M \) y la tangente a la circunferencia pequeña por \( B \) se obtienen dos rectas que forman el ángulo \( x \) con vértice en su intersección \( P \). Tomando los ángulos semiinscritos \( (180^{\circ}-\widehat{PMB}) \) y \( \widehat{PBM} \) de las circunferencias grande y pequeña respectivamente, se ve que en el triángulo \( \triangle{PMB} \) se ha de cumplir \( x+180^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}\Longrightarrow x=\dfrac{\beta-\alpha}{2}=\dfrac{30^{\circ}}{2}=\boxed{15^{\circ}} \), donde es \( \alpha=\widehat{AQB} \) y \( \beta=\widehat{MON} \) atendiendo a la figura adunta:
\( \widehat{PBM}=\dfrac{\alpha}{2} \) y \( (180^{\circ}-\widehat{PMB})=\dfrac{\beta}{2} \)
Por tanto, \( x+\widehat{PBM}+\widehat{PMB}=180^{\circ}\Longleftrightarrow x+\dfrac{\alpha}{2}+180^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}=180^{\circ}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\beta-\alpha}{2}=\dfrac{30^{\circ}}{2}=\boxed{15^{\circ}} \)

[cerrar]

Intento hacer un dibujo
Saludos

[petras]

Si la medida del arco \( MN  \) menos la medida del arco \( AB  \) es igual a \( 30  \) grados, Calcula \( x \). (R: \( 15^o \))

Hola:

Spoiler

Trazando la tangente a la circunferencia grande en \( M \) y la tangente a la circunferencia pequeña por \( B \) se obtienen dos rectas que forman el ángulo \( x \) con vértice en su intersección \( P \). Tomando los ángulos semiinscritos \( (180^{\circ}-\widehat{PMB}) \) y \( \widehat{PBM} \) de las circunferencias grande y pequeña respectivamente, se ve que en el triángulo \( \triangle{PMB} \) se ha de cumplir \( x+180^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}\Longrightarrow x=\dfrac{\beta-\alpha}{2}=\dfrac{30^{\circ}}{2}=\boxed{15^{\circ}} \), donde es \( \alpha=\widehat{AQB} \) y \( \beta=\widehat{MON} \) atendiendo a la figura adunta:
\( \widehat{PBM}=\dfrac{\alpha}{2} \) y \( (180^{\circ}-\widehat{PMB})=\dfrac{\beta}{2} \)
Por tanto, \( x+\widehat{PBM}+\widehat{PMB}=180^{\circ}\Longleftrightarrow x+\dfrac{\alpha}{2}+180^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}=180^{\circ}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\beta-\alpha}{2}=\dfrac{30^{\circ}}{2}=\boxed{15^{\circ}} \)

[cerrar]

Intento hacer un dibujo
Saludos

No entendí muy bien... calculaste x pero x llamaste ángulo MPB.
El ángulo "x" buscado es el ángulo MEB.

¿Serían iguales y por qué?
Saludos

[ancape]

Hola

Son iguales pues tienen sus lados prependiculares

Saludos

[ani_pascual]

No entendí muy bien... calculaste x pero x llamaste ángulo MPB.
El ángulo "x" buscado es el ángulo MEB.

¿Serían iguales y por qué?
Saludos

Hola:
Aquí un dibujo

Saludos

[petras]

Otra solución

\( \triangle OMN: \angle OMN \cong \angle OMN =\dfrac{180^o-\theta}{2}\\
\angle NBG \cong \angle ABO_1 = x+\dfrac{180^o -\theta}{2}\\
\triangle ABO_1: \alpha + 2( x+\dfrac{180^o -\theta}{2})=180^o  \implies 2\alpha +4x+360^o -2\theta = 360^o \\
4x = 2(\theta - \alpha) = 2(30^o) \therefore \boxed{x = 15^o }
 \)





(Solución por: Geobson-adaptada)

[petras]

No entendí muy bien... calculaste x pero x llamaste ángulo MPB.
El ángulo "x" buscado es el ángulo MEB.

¿Serían iguales y por qué?
Saludos

Hola:
Aquí un dibujo

Saludos

Agradecido

Saludos

[ani_pascual]

Otra solución

\( \triangle OMN: \angle OMN \cong \angle OMN =\dfrac{180^o-\theta}{2}\\
\angle NBG \cong \angle ABO_1 = x+\dfrac{180^o -\theta}{2}\\
\triangle ABO_1: \alpha + 2( x+\dfrac{180^o -\theta}{2})=180^o  \implies 2\alpha +4x+360^o -2\theta = 360^o \\
4x = 2(\theta - \alpha) = 2(30^o) \therefore \boxed{x = 15^o }
 \)
(Solución por: Geobson-adaptada)

Saludos