[petras]

En la figura, el radio del semicírculo mayor mide \( 2 \) y el del menor, \( 1 \). Entre las alternativas , la que tiene el valor más próximo a \( "R"  \)es:\( (R:1,4) \)



Sólo he podido conseguirlo mediante geogebra....¿habrá alguna propiedad que permita resolverlo?

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa el dibujo.


 
 En el triángulo \( BFH \) y con la ceviana \( FA \) aplica el Teorema de Stewart:

\(  BF^2\cdot AH+FH^2\cdot AB=BH(FA^2+BA\cdot AH) \)

 Queda:

\(  (2+x)^2\cdot 2+(1+x)^2\cdot 1=3((3-x)^2+1\cdot 2) \)

 Resolviendo se obtiene \( x=6/7 \).

 Ahora nos fijamos en el cuadrilátero \( ABNF \) donde conocemos los lados y las diagonales en función de \( x=6/7 \)  e \( y \):

\( BN=2+y,\quad NF=x+y,\quad FA=3-x,\quad AB=1,\quad BF=2+x,\quad AN=3-y \)

 Ahora no se si hay una forma más fácil de relacionar estos datos, pero puede hacerse así:

\( area(BFN)+area(BFA)=area(ANF)+\color{red}area(ABN)\color{black} \)

 donde cada uno de estas áreas se puede hallar en función de los lados y con la fórmula de Herón. De ahí despejando \( y=3/5 \).

 Finalmente en el triángulo \( BNF \) se tiene que:

\(  R=\dfrac{BN\cdot  NF\cdot FB}{4\cdot area(BNF)} \)

 donde todos los datos son conocidos. Operando queda:

\( R=\dfrac{221}{154}=1.43506493506494\ldots \)

Saludos.

CORREGIDO

[petras]

Hola

 Observa el dibujo.


 
 En el triángulo \( BFH \) y con la ceviana \( FA \) aplica el Teorema de Stewart:

\(  BF^2\cdot AH+FH^2\cdot AB=BH(FA^2+BA\cdot AH) \)

 Queda:

\(  (2+x)^2\cdot 2+(1+x)^2\cdot 1=3((3-x)^2+1\cdot 2) \)

 Resolviendo se obtiene \( x=6/7 \).

 Ahora nos fijamos en el cuadrilátero \( ABNF \) donde conocemos los lados y las diagonales en función de \( x=6/7 \)  e \( y \):

\( BN=2+y,\quad NF=x+y,\quad FA=3-x,\quad AB=1,\quad BF=2+x,\quad AN=3-y \)

 Ahora no se si hay una forma más fácil de relacionar estos datos, pero puede hacerse así:

\( area(BFN)+area(BFA)=area(ANF)+area(BFN) \)

 donde cada uno de estas áreas se puede hallar en función de los lados y con la fórmula de Herón. De ahí despejando \( y=3/5 \).

 Finalmente en el triángulo \( BNF \) se tiene que:

\(  R=\dfrac{BN\cdot  NF\cdot FB}{4\cdot area(BNF)} \)

 donde todos los datos son conocidos. Operando queda:

\( R=\dfrac{221}{154}=1.43506493506494\ldots \)

Saludos.

Excelente, agradecido.

Saludos

[electron]

Alternativamente al estupendo resultado de Luis, he investigado otra forma posible de resolverlo.

Echamos un vistazo a las características de la cadena de Pappus:

https://mathworld.wolfram.com/PappusChain.html

He comprobado que las fórmulas para los radios y los centros de las circunferencias funcionan si las multiplicamos por el diámetro de la principal (que en este caso vale \( 6 \)). Todavía no entiendo bien por qué, pero resultará interesante investigarlo... Creo que son resultados genéricos para una circunferencia principal de diámetro unidad.

En todo caso, aquí vemos unas cuantas posiciones de los centros y valores de radios para nuestro caso (\( r=2/3 \)):



Puede comprobarse que las 3 primeras coinciden con los valores experimentales que ha encontrado petras con Geogebra.

Ahora queremos hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos \( B(2,0),F(30/7,12/7),N(3,12/5) \), así que planteamos el sistema de ecuaciones:

\( (2-x_0)^2+(0-y_0)^2=R^2 \)
\( (30/7-x_0)^2+(12/7-y_0)^2=R^2 \)
\( (3-x_0)^2+(12/5-y_0)^2=R^2 \)

que tiene como solución válida \( x_0=2357/770, y_0=372/385, R=221/154 \).

Saludos.

[petras]

¿Es correcta esta relación?
\( area(BFN)+area(BFA)=area(ANF)+area(BFN) \implies area(BFA)=area(ANF)   \)

Creo que hubo un error tipográfico. Debe ser \( area(ANF)+area(ABN)   \)

[Luis Fuentes]

Hola

Alternativamente al estupendo resultado de Luis, he investigado otra forma posible de resolverlo.

Echamos un vistazo a las características de la cadena de Pappus:

https://mathworld.wolfram.com/PappusChain.html

He comprobado que las fórmulas para los radios y los centros de las circunferencias funcionan si las multiplicamos por el diámetro de la principal (que en este caso vale \( 6 \)). Todavía no entiendo bien por qué, pero resultará interesante investigarlo... Creo que son resultados genéricos para una circunferencia principal de diámetro unidad.

¡Claro! Simplemente es por ese motivo que indicas en la frase en rojo.

¿Es correcta esta relación?
\( area(BFN)+area(BFA)=area(ANF)+area(BFN) \implies area(BFA)=area(ANF)   \)

Creo que hubo un error tipográfico. Debe ser \( area(ANF)+area(ABN)   \)

Si, claro. Ya lo he corregido.

Saludos.