[petras]

Según el gráfico, calcula el área de la región sombreada si \( AO=5 \) es \( PM=MB \). Considere que\(  N, T \) y \( M \) son puntos de tangencia.(S:\( \frac{37\pi}{10} \))

(*dibujo sin escala)

No pude desarrollar esta pregunta ni dibujar la figura en geogebra con las condiciones dadas

[Luis Fuentes]

Hola

Según el gráfico, calcula el área de la región sombreada si \( AO=5 \) es \( PM=MB \). Considere que\(  N, T \) y \( M \) son puntos de tangencia.(S:\( \frac{37\pi}{10} \))

Si llamas \( \color{red}R,r\color{black} \) respectivamente a los radios de la circunferencia mayor y menor tienes que:

\( R=P\color{red}O\color{black}+r=OA+r=5+\color{red}r\color{black} \) (ya que como \( PM=MB \) entonces \( PO=OB=OA \)).

Además en el triángulo rectángulo \( PMO \):

\( (R/2)^2+r^2=OP^2=5^2 \)

De ambas ecuaciones se obtiene \( r=3 \) y \( R=4 \).

Entonces \( \alpha=arctan(3/4) \) y:

\( \widehat{AOB}=2\pi-2\widehat{POB}=2(\pi-\widehat{POB})=4\alpha \)

El área buscada será:

\( \dfrac{1}{2}r^2\cdot \widehat{AOB}=18\cdot arctan(3/4) \)

En la solución que te dan están aproximando \( arctan(3/4) \) por \( 37^o \); pero en realidad eso no es exacto.

Saludos.

CORREGIDO (gracias petras)

[petras]

Hola

Según el gráfico, calcula el área de la región sombreada si \( AO=5 \) es \( PM=MB \). Considere que\(  N, T \) y \( M \) son puntos de tangencia.(S:\( \frac{37\pi}{10} \))

Si llamas \( r,R \) respectivamente a los radios de la circunferencia mayor y menor tienes que:

\( R=PQ+r=OA+r=5+R \) (ya que como \( PM=MB \) entonces \( PO=OB=OA \)).

Además en el triángulo rectángulo \( PMO \):

\( (R/2)^2+r^2=OP^2=5^2 \)

De ambas ecuaciones se obtiene \( r=3 \) y \( R=4 \).

Entonces \( \alpha=arctan(3/4) \) y:

\( \widehat{AOB}=2\pi-2\widehat{POB}=2(\pi-\widehat{POB})=4\alpha \)

El área buscada será:

\( \dfrac{1}{2}r^2\cdot \widehat{AOB}=18\cdot arctan(3/4) \)

En la solución que te dan están aproximando \( arctan(3/4) \) por \( 37^o \); pero en realidad eso no es exacto.

Saludos.

Agradecido. El problema es que la imagen original está completamente fuera de escala, estaba considerando AO casi perpendicular a PB.

[petras]

Hola

Según el gráfico, calcula el área de la región sombreada si \( AO=5 \) es \( PM=MB \). Considere que\(  N, T \) y \( M \) son puntos de tangencia.(S:\( \frac{37\pi}{10} \))

Si llamas \( r,R \) respectivamente a los radios de la circunferencia mayor y menor tienes que:

\( R=PQ+r=OA+r=5+R \) (ya que como \( PM=MB \) entonces \( PO=OB=OA \)).

Además en el triángulo rectángulo \( PMO \):

\( (R/2)^2+r^2=OP^2=5^2 \)

De ambas ecuaciones se obtiene \( r=3 \) y \( R=4 \).

Entonces \( \alpha=arctan(3/4) \) y:

\( \widehat{AOB}=2\pi-2\widehat{POB}=2(\pi-\widehat{POB})=4\alpha \)

El área buscada será:

\( \dfrac{1}{2}r^2\cdot \widehat{AOB}=18\cdot arctan(3/4) \)

En la solución que te dan están aproximando \( arctan(3/4) \) por \( 37^o \); pero en realidad eso no es exacto.

Saludos.

"Si llamas a r,R respectivamente los radios de la circunferencia mayor y menor tienes que hacerlo."

Creo que debería ser R,r respectivamente….

"R=PQ+r=OA +R" creio que deberia ser R=PO+r=OA +r