[Ariel Fernández]

Buenas noches a todos. Tengo nuevamente una duda teórica referida a la definición de espacio topológico. Sabemos que se deben cumplir tres condiciones para que un espacio \( X \) y una colección de subconjuntos del mismo, llamémosla \( T \), constituyan un espacio topológico. Ahora bien, la pregunta es ¿por qué esos tres? Tengo entendido, por lo que leí, que se deben dar esas propiedades para que sea posible la definición de conceptos como continuidad y límite. Pero eso me parece un poco vago. Me gustaría escuchar alguna explicación más detallada. ¿En qué afectaría, de manera concreta, por ejemplo, que no se cumpla la condición de que la intersección finita  de abiertos debe ser abierta o, de la misma manera, que la unión arbitraria de abiertos también debe estar en T ?

Saludos

[Eparoh]

Hola Ariel.

La verdad es que lo que planteas es algo que yo también me plantee cuando comencé a estudiar topología y que aún a día de hoy no tengo una respuesta clara, por lo que será genial leer las respuestas que puedan ofrecer otros miembros del foro que saben un infinito no numerable más que yo.

Pero, mietras tanto, la mejor motivación que yo conozco sobre el porqué de la definición la leí del libro Topología de Joaquín Arregui (se puede "encontrar por la red", pero por si acaso te dejo aquí solo las primeras páginas donde se explica aquello que nos interesa ahora).

Recuerda que al definir una topología lo que buscamos es generalizar la noción de distancia, sin la necesidad de tener una distancia definida. Es decir, buscamos establecer una cierta noción de proximidad en un conjunto en base únicamente a los subconjuntos del propio conjunto.

Para ello en el libro define lo que llama sistemas de bases de entornos abiertos como generalización de los intervalos abiertos en torno de un punto en la recta real, y a partir de ellos constuye la noción de topología. En el libro está mucho mejor explicado de lo que yo lo vaya a hacer, pero el esquema que sigue es el siguiente:

• Parte de aquellas propiedades de las familias de intervalos abiertos de \( \mathbb{R} \) que resultan utiles para estudiar la noción de proximidad.
• A partir de estas propiedades generaliza estas "familias de intervalos" para conjuntos cualesquiera, a lo que llama sistemas de bases de entornos abiertos.
• Define los abiertos de forma parecida a la intuición que uno tiene con espacios métricos a través de estos sistemas de entornos abiertos.
• Demuestra que con esta noción de abiertos, se cumplen las tres propiedades de una topología.
• Demuestra que cualquier familia \( H \) de subconjuntos de un conjunto \( X \) que cumpla estas tres propiedades, permite definir un sistema de bases de entornos abiertos de modo que todos los abiertos respecto a este sistema sean precisamente los elementos de \( H \).

Por tanto, llega a que estas tres propiedades son suficientes para encapsular la noción de "proximidad" que nos dan los sistemas de entornos abiertos, y en general son mucho más fáciles de verificar y de manejar que dichos sistemas. Por eso es conveniente utilizarlas como base para esta estructura extra que imponemos sobre los conjuntos.

Un saludo y espero que te sea útil.