[Margarita Castillo]

Hola colegas, tengo un problema, no se como demostrar o refutar el siguiente problema, cualquier ayuda o sugerencia la agradeceria mucho.
Sea \( S(10)=\{e^{\frac{2\pi i k}{10}}:k=0,1,…,9\} \). Demostrar o refutar que el subespacio topológico \( N_n(S(10))=\{X \in C^{n\times n}:X^{\ast}X=XX^{\ast} \wedge \det(X)\in S(10)\} \) es conexo por trayectorias con respecto a la topología métrica determinada por la métrica de Frobenius sobre \( C^{n\times n} \)).

[Masacroso]

Hola colegas, tengo un problema, no se como demostrar o refutar el siguiente problema, cualquier ayuda o sugerencia la agradeceria mucho.
Sea \( S(10)=\{e^{\frac{2\pi i k}{10}}:k=0,1,…,9\} \). Demostrar o refutar que el subespacio topológico \( N_n(S(10))=\{X \in C^{n\times n}:X^{\ast}X=XX^{\ast} \wedge \det(X)\in S(10)\} \) es conexo por trayectorias con respecto a la topología métrica determinada por la métrica de Frobenius sobre \( C^{n\times n} \)).

Pista: con la norma de Frobenius tienes que \( \mathbb{C}^{n\times n} \) es isométrico a \( \mathbb{C}^{n^2} \), donde el segundo es el típico espacio euclídeo, y de ahí puedes deducir que la función determinante \( \det: \mathbb{C}^{n\times n}\to \mathbb{C} \) es continua.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola colegas, tengo un problema, no se como demostrar o refutar el siguiente problema, cualquier ayuda o sugerencia la agradeceria mucho.
Sea \( S(10)=\{e^{\frac{2\pi i k}{10}}:k=0,1,…,9\} \). Demostrar o refutar que el subespacio topológico \( N_n(S(10))=\{X \in C^{n\times n}:X^{\ast}X=XX^{\ast} \wedge \det(X)\in S(10)\} \) es conexo por trayectorias con respecto a la topología métrica determinada por la métrica de Frobenius sobre \( C^{n\times n} \)).

Me resulta un poco curioso este problema. O me pierdo algo o me parece mucho ruido y pocas nueces.

 Por completar lo indicado por Masacroso si ahora consideras la aplicación determinante, por ser continua debe de llevar conexos en conexos. Pero \( det(N_n(S(10)))\subset S(10) \). Claramente \( S(10) \) no es conexo (son diez puntos aislados). Si pruebas que existen matrices en \( N_n(S(10)) \) con distinto determinante (es bastante fácil), puedes deducir que no es conexo (ya que su imagen es un no conexo).

Saludos.

[Margarita Castillo]

Si llegue a la misma conclusion, lo unico que me hace falta verificar es que la funcion \( \det   \) es continua bajo la norma de Frobenius, ya lo demás lo logre ver y probar.

[geómetracat]

Para ver que \[ \det \] es continua fíjate en que es un polinomio en las entradas de la matriz.