[Gloria_delta]

Se me plantea el siguiente problema que no logro resolver, ¿alguna idea?

"Sea \( k\geq{4} \) un número natural. Exprese \( k^4 \) como combinación lineal de los número combinatorios\(  \displaystyle\binom{k}{1} \),\( \displaystyle\binom{k}{2} \),\( \displaystyle\binom{k}{3} \) y \( \displaystyle\binom{k}{4} \).

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

"Sea \( k\geq{4} \) un número natural. Exprese \( k^4 \) como combinación lineal de los número combinatorios\(  \displaystyle\binom{k}{1} \),\( \displaystyle\binom{k}{2} \),\( \displaystyle\binom{k}{3} \) y \( \displaystyle\binom{k}{4} \).

Plantea la ecuación:

\(
k^4=a\displaystyle\binom{k}{1}+b\displaystyle\binom{k}{2}+c\displaystyle\binom{k}{3}+d\displaystyle\binom{k}{4} \)

Después:

- O bien desarrolla los términos de la derecha hasta obtener un polinomio de grado cuatro en \( k \) e iguala coeficientes con el polimomio \( k^4 \).

- O bien dando valores a \( k \) obtienes:

\( 1=a \)
\( 2^4=2a+b \)
\( 3^4=3a+3b+c \)
\( 4^4=4a+6b+4c+d \)

 En ambos casos se termina resolviendo el sistema.

Saludos.

[Gloria_delta]

Genial, gracias!!:))