[manooooh]

Hola!

Quería saber si \( 0\mid0 \), es decir, \( 0 \) es divisible por \( 0 \).

Recordando la definición, \( a\mid b \) si \( b=ak,\;k\in\Bbb{Z} \). En este caso, \( a=b=0 \), luego \( 0=0k \) (para todo \( k \) entero), y por lo tanto \( 0\mid0 \).

Pero si pregunto en WolfamAlpha, divisors 0 responde que:

(Todos los enteros distintos de cero son divisores de 0)

¿Por qué agrega la restricción de "distinto de cero"? ¿Acaso no se cumple que \( 0 \) es un divisor de \( 0 \)?

Gracias!!
Saludos

[Masacroso]

Hola!

Quería saber si \( 0\mid0 \), es decir, \( 0 \) es divisible por \( 0 \).

Recordando la definición, \( a\mid b \) si \( b=ak,\;k\in\Bbb{Z} \). En este caso, \( a=b=0 \), luego \( 0=0k \) (para todo \( k \) entero), y por lo tanto \( 0\mid0 \).

Pero si pregunto en WolfamAlpha, divisors 0 responde que:

(Todos los enteros distintos de cero son divisores de 0)

¿Por qué agrega la restricción de "distinto de cero"? ¿Acaso no se cumple que \( 0 \) es un divisor de \( 0 \)?

Gracias!!
Saludos

Es cierto, ya que cuando escribimos \( a\mid b \) significa que existe un \( x \) tal que \( b=x\cdot a \). En el caso del cero podemos escribir \( 0=0\cdot x \) para cualquier \( x \), por lo tanto \( 0\mid 0 \). Lo de WolframAlpha no sé por qué será, supongo será la convención que ellos utilizan porque lo que he comentado antes lo he visto en algún libro de teoría de números.

[feriva]

Hola!

Quería saber si \( 0\mid0 \), es decir, \( 0 \) es divisible por \( 0 \).

Recordando la definición, \( a\mid b \) si \( b=ak,\;k\in\Bbb{Z} \). En este caso, \( a=b=0 \), luego \( 0=0k \) (para todo \( k \) entero), y por lo tanto \( 0\mid0 \).

Pero si pregunto en WolfamAlpha, divisors 0 responde que:

(Todos los enteros distintos de cero son divisores de 0)

¿Por qué agrega la restricción de "distinto de cero"? ¿Acaso no se cumple que \( 0 \) es un divisor de \( 0 \)?

Gracias!!
Saludos

Porque hay que sacarlo del conjunto de los divisores de los enteros para que no se cargue toda la teoría de números.

Pregúntale a Wolfram, por que ejemplo, que cuántos y cuáles son los divisores de 10; pues te dirá que son 1,2,5,10, sin el cero. Además, si se considerara divisor de enteros, ¿cuál sería el MCD de 25 y 50, por ejemplo, el cero? Wolfram tiene que ser coherente con otras respuestas que da.

Por otra parte, debido a eso, muchas y demostraciones (como la estándar de la identidad de Bezóut, por poner sólo un caso) tienen que considerar el conjunto de los divisores sin el cero, si no, sería imposible probar muchas cosas.
Con las definiciones pasa igual, un primo tiene dos divisores (positivos, se entiende) por definición, la unidad y el propio número; se incluyes el cero hay que decir que tiene tres; o, en éste y otros casos, ir añadiendo excepciones cada dos por tres (que a partir de muchos contextos ya no serían seis, sino cero).

El cero es múltiplo de todos los números, no divisor.

Saludos, manooooh.

[Luis Fuentes]

Hola

Pregúntale a Wolfram, por que ejemplo, que cuántos y cuáles son los divisores de 10; pues te dirá que son 1,2,5,10, sin el cero. Además, si se considerara divisor de enteros, ¿cuál sería el MCD de 25 y 50, por ejemplo, el cero? Wolfram tiene que ser coherente con otras respuestas que da.

Por otra parte, debido a eso, muchas y demostraciones (como la estándar de la identidad de Bezóut, por poner sólo un caso) tienen que considerar el conjunto de los divisores sin el cero, si no, sería imposible probar muchas cosas.
Con las definiciones pasa igual, un primo tiene dos divisores (positivos, se entiende) por definición, la unidad y el propio número; se incluyes el cero hay que decir que tiene tres; o, en éste y otros casos, ir añadiendo excepciones cada dos por tres (que a partir de muchos contextos ya no serían seis, sino cero)

Eso no tiene nada que ver con lo que dice manooooh. En ningún caso tendría sentido considera el cero como divisor del \( 10 \) o un primo, porque no cumple ninguna definición razonable de divisor: no hay ningún número que multiplicado por cero de \( 10 \).

manooooh pregunta por que el cero no se considera divisor de cero, pese a que Si hay un número (cualquiera de hecho) que multiplicado por cero de cero.

Saludos.

[geómetracat]

Porque hay que sacarlo del conjunto de los divisores de los enteros para que no se cargue toda la teoría de números.

Pregúntale a Wolfram, por que ejemplo, que cuántos y cuáles son los divisores de 10; pues te dirá que son 1,2,5,10, sin el cero. Además, si se considerara divisor de enteros, ¿cuál sería el MCD de 25 y 50, por ejemplo, el cero? Wolfram tiene que ser coherente con otras respuestas que da.

Por otra parte, debido a eso, muchas y demostraciones (como la estándar de la identidad de Bezóut, por poner sólo un caso) tienen que considerar el conjunto de los divisores sin el cero, si no, sería imposible probar muchas cosas.
Con las definiciones pasa igual, un primo tiene dos divisores (positivos, se entiende) por definición, la unidad y el propio número; se incluyes el cero hay que decir que tiene tres; o, en éste y otros casos, ir añadiendo excepciones cada dos por tres (que a partir de muchos contextos ya no serían seis, sino cero).

El cero es múltiplo de todos los números, no divisor.

Saludos, manooooh.

Me parece que te estás liando. El cero no es divisor de ningún número que no sea cero, porque \( n=0k \) no tiene solución si \( n \neq 0 \). Por tanto el hecho de que cero sea divisor de cero no afecta a nada de lo que dices, ni a los divisores de \( 10 \), ni al mcd, ni a la identidad de Bézout.

PD: Se adelantó Luis.

[feriva]

Gracias, Luis y Geómetracat.

Sí, es cierto que me he despistado; pero creo que me he despistado porque en el fondo intuía algo que me hacía dudar sobre esa condición de ser divisor de sí mismo; pienso que de alguna manera afecta a los demás números.

Creo que puedo sintetizar lo que quiero decir.

Cero es múltiplo de cero; y es verdad:

\( 0=0\cdot0
  \).

Pero si digo, cero es divisor de cero... entonces, con esa definición, puedo pensar así:

Dividiendo a ambos lados entre cero

\( \dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}\cdot0
  \).

\( 1=1\cdot0
  \).

\( 1=0
  \).

Luego cero divide a todos los primos, puesto que son divisibles por la unidad.

En otro caso, \( \dfrac{0}{0}=n:\, n|n\neq0
  \) y aparece igualmente la contradicción; n es cero y no es cero.

Queda como posibilidad (hasta donde yo llego) que \( \dfrac{0}{0}=0
  \), y entonces existen un entero “n” tal que \( \dfrac{n}{n}
  \) no es el neutro.

En fin... yo, ahora mismo, le veo problemas serios a eso. Si me decís dónde cometo el error al pensar o me lo justificáis, quedaré conforme, pero de momento veo encontronazos con las otras definiciones.

Saludos.

[geómetracat]

Es que no puedes dividir por cero porque no existe el inverso de 0, normal que si lo haces encuentres contradicciones por todas partes.
La cuestión es como se define "ser divisor de". Si defines "\( n \) es divisor de \( m \)" como "existe un \( k \in \Bbb Z \) tal que \( m=nk \)", entonces puedes decir que \( 0 \) es divisor de \( 0 \) y no hay problema, no vas a llegar a ninguna contradicción a partir de ahí. Fíjate que de esa definición de ninguna manera se deduce que exista el inverso multiplicativo de \( 0 \) ni que puedas dividir por cero ni nada parecido.

[feriva]

Es que no puedes dividir por cero porque no existe el inverso de 0, normal que si lo haces encuentres contradicciones por todas partes.
La cuestión es como se define "ser divisor de". Si defines "\( n \) es divisor de \( m \)" como "existe un \( k \in \Bbb Z \) tal que \( m=nk \)", entonces puedes decir que \( 0 \) es divisor de \( 0 \) y no hay problema, no vas a llegar a ninguna contradicción a partir de ahí. Fíjate que de esa definición de ninguna manera se deduce que exista el inverso multiplicativo de \( 0 \) ni que puedas dividir por cero ni nada parecido.

Gracias, Geómetracat.

Pero, entonces, ¿cuál es la utilidad de definirlo como divisor de sí mismo en los enteros? Quiero decir, cuál es el problema teórico si se dice “cero se múltiplo de cualquier entero pero no es divisor de ningún entero”.

Saludos.

[geómetracat]

Pues la utilidad es bastante limitada, al fin y al cabo es un caso particular un tanto trivial. Pero la cuestión es que con la definición de divisibilidad que dí (que es la de manoooh) cero cumple que es divisor de cero, y yo no veo ningún motivo de peso para modificar la definición en este caso. Pero si dijeras que cero no divide a cero pues tampoco pasaría nada grave. Tal como yo lo veo es otra de estas situaciones que se resuelven por convenio y causan tantas polémicas, como el valor de \( 0^0 \) y otros similares que se han discutido en el foro.

[feriva]

Pues la utilidad es bastante limitada, al fin y al cabo es un caso particular un tanto trivial. Pero la cuestión es que con la definición de divisibilidad que dí (que es la de manoooh) cero cumple que es divisor de cero, y yo no veo ningún motivo de peso para modificar la definición en este caso. Pero si dijeras que cero no divide a cero pues tampoco pasaría nada grave. Tal como yo lo veo es otra de estas situaciones que se resuelven por convenio y causan tantas polémicas, como el valor de \( 0^0 \) y otros similares que se han discutido en el foro.

Muchísimas gracias, Geómetracat.

Yo sabía que a veces se considera \( \dfrac{0}{0}=1
  \), porque lo vi por aquí en un hilo; y hay calculadoras que dan esa respuesta. Pero no sabía que se entendiese \( 0|0
  \) en el contexto de la divisibilidad.

Saludos.