[manooooh]

Hola!


Sea \((G,*)\) un grupo abeliano y \[f:G\to G\mid f(x)=x':\]

a) Demuestre que \(f\) es un automorfismo (endomorfismo biyectivo),

b) Considerando \((G,*)=(\Bbb Z_{18},\overline+)\), halle el grupo cociente por \(H=\langle12\rangle\).



a)

Recordemos que un automorfismo de grupos dice, dados \((G_1,*_1)\) y \((G_2,*_2)\) dos grupos y la aplicación \(f:G_1\to G_2\), se cumple que para todo \(a,b\in G\) \[f(a*_1b)=f(a)*_2f(b).\] Veremos que \(f:G\to G\) tal que \(f(x)=x'\) es un automorfismo. En efecto, para todo \(a,b\in G\) tenemos \[f(a*_1b)=(a*_1b)'=b'*_1a'\underbrace=_{\text{Hipótesis}}a'*_1b'.\] Ahora bien, \[f(a)*_2f(b)=a'*_2b',\] por tanto \(f(a*_1b)=f(a)*_2f(b)\), así que \(f\) es automorfismo.


b)

Notemos que \(H=\langle12\rangle=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}\).


Dato de color (ustedes digan si vale la pena ponerlo o no). Notemos que \((\Bbb Z_{18},\overline+)\) es un grupo de orden finito, y además \(H\neq\emptyset\), \(H\subseteq\Bbb Z_{18}\) y \((H,\overline+/H)\) es grupo. Estamos en las condiciones del teorema de Lagrange, por lo que el orden de \(H\) divide al de \(\Bbb Z_{18}\). Como \(|H|=3\) y \(|\Bbb Z_{18}|=18\) luego habrán \(18/3=6\) elementos del grupo cociente. Hallémoslos.


Por enunciado el grupo es abeliano, así que no habrá distinción entre clases laterales a derecha ni a izquierda. Considerando esta última, tenemos

\[
\begin{gather*}
\overline0\overline+H=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}=\overline6\overline+H=\overline{12}\overline+H\\
\overline1\overline+H=\{\overline1,\overline7,\overline{13}\}=\overline7\overline+H=\overline{13}\overline+H\\
\overline2\overline+H=\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\overline8\overline+H=\overline{14}\overline+H\\
\overline3\overline+H=\{\overline3,\overline9,\overline{15}\}=\overline9\overline+H=\overline{15}\overline+H\\
\overline4\overline+H=\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}=\overline{10}\overline+H=\overline{16}\overline+H\\
\overline5\overline+H=\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\overline{11}\overline+H=\overline{17}\overline+H.
\end{gather*}
\]

Por tanto, el grupo cociente por \(H=\langle12\rangle\) es \[\Bbb Z_{18}/H=\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\}.\]


¿Qué les parece?

Gracias!
Saludos

P.D. No sé por qué el enunciado sigue apegándose a la notación \(x'\) en vez de \(x^{-1}\) .

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \((G,*)\) un grupo abeliano y \[f:G\to G\mid f(x)=x':\]

a) Demuestre que \(f\) es un automorfismo (endomorfismo biyectivo),

b) Considerando \((G,*)=(\Bbb Z_{18},\overline+)\), halle el grupo cociente por \(H=\langle12\rangle\).



a)

Recordemos que un automorfismo de grupos dice, dados \((G_1,*_1)\) y \((G_2,*_2)\) dos grupos y la aplicación \(f:G_1\to G_2\), se cumple que para todo \(a,b\in G\) \[f(a*_1b)=f(a)*_2f(b).\] Veremos que \(f:G\to G\) tal que \(f(x)=x'\) es un automorfismo. En efecto, para todo \(a,b\in G\) tenemos \[f(a*_1b)=(a*_1b)'=b'*_1a'\underbrace=_{\text{Hipótesis}}a'*_1b'.\] Ahora bien, \[f(a)*_2f(b)=a'*_2b',\] por tanto \(f(a*_1b)=f(a)*_2f(b)\), así que \(f\) es automorfismo.

Aunque es muy evidente te falta demostrar que la aplicación es biyectiva; basta notar que ella misma es su propia inversa.

Notemos que \(H=\langle12\rangle=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}\).


Dato de color (ustedes digan si vale la pena ponerlo o no). Notemos que \((\Bbb Z_{18},\overline+)\) es un grupo de orden finito, y además \(H\neq\emptyset\), \(H\subseteq\Bbb Z_{18}\) y \((H,\overline+/H)\) es grupo. Estamos en las condiciones del teorema de Lagrange, por lo que el orden de \(H\) divide al de \(\Bbb Z_{18}\). Como \(|H|=3\) y \(|\Bbb Z_{18}|=18\) luego habrán \(18/3=6\) elementos del grupo cociente. Hallémoslos.


Por enunciado el grupo es abeliano, así que no habrá distinción entre clases laterales a derecha ni a izquierda. Considerando esta última, tenemos

\[
\begin{gather*}
\overline0\overline+H=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}=\overline6\overline+H=\overline{12}\overline+H\\
\overline1\overline+H=\{\overline1,\overline7,\overline{13}\}=\overline7\overline+H=\overline{13}\overline+H\\
\overline2\overline+H=\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\overline8\overline+H=\overline{14}\overline+H\\
\overline3\overline+H=\{\overline3,\overline9,\overline{15}\}=\overline9\overline+H=\overline{15}\overline+H\\
\overline4\overline+H=\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}=\overline{10}\overline+H=\overline{16}\overline+H\\
\overline5\overline+H=\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\overline{11}\overline+H=\overline{17}\overline+H.
\end{gather*}
\]

Por tanto, el grupo cociente por \(H=\langle12\rangle\) es \[\Bbb Z_{18}/H=\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\}.\]

Está bien lo que haces; aunque estrictamente sólo describes los elementos del grupo cociente pero no su estructura de grupo.

Normalmente cuando queremos identificar un grupo cociente interesa dar un grupo "conocido" isomorfo con el; en tu caso el cociente es isomorfo con \( \mathbb{Z}_6 \) siendo el generador la clase \( \{\overline1,\overline7,\overline{13}\} \).

P.D. No sé por qué el enunciado sigue apegándose a la notación \(x'\) en vez de \(x^{-1}\) .

A mi tampoco me gusta la "comita". Pero hay que acostumbrarse a manejar diferentes notaciones. La notación es lo de menos.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Aunque es muy evidente te falta demostrar que la aplicación es biyectiva; basta notar que ella misma es su propia inversa.

Cierto.

¿Al decir "basta notar" estás mencionando una condición suficiente?

¿Por qué notar que es su propia inversa es equivalente a mostrar que es biyectiva?

Intento esto:

Ahora probemos que \(f\) es biyectiva. Es inyectiva puesto que para todo \(x,y\in G\) \[f(x)=f(y)\implies x'=y'\implies x=y,\]

pero no sé cómo probar la sobreyectividad . La definición es \[\forall y\in G,\exists x\in G\mid f(x)=y.\]

Está bien lo que haces; aunque estrictamente sólo describes los elementos del grupo cociente pero no su estructura de grupo.

Otras veces no me dijiste nada y lo dabas por terminado al ejercicio.

¿Describir su estructura de grupo es describir el conjunto y la operación? En este caso el grupo cociente (grupo = conjunto + operación) es \[(\Bbb Z_{18}/H,\overline+)=\left(\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\},\overline+\right)\text?\]

Normalmente cuando queremos identificar un grupo cociente interesa dar un grupo "conocido" isomorfo con el; en tu caso el cociente es isomorfo con \( \mathbb{Z}_6 \) siendo el generador la clase \( \{\overline1,\overline7,\overline{13}\} \).

Aunque es muy interesante lo que planteás, creo que el enunciado no pide identificar, sino hallar. ¿Es algo aparte esto?

De todas maneras, no tengo ni idea cómo supiste que es ese generador .

Saludos

[manooooh]

Agrego con respecto a

Está bien lo que haces; aunque estrictamente sólo describes los elementos del grupo cociente pero no su estructura de grupo.

Otras veces no me dijiste nada y lo dabas por terminado al ejercicio.

¿Describir su estructura de grupo es describir el conjunto y la operación? En este caso el grupo cociente (grupo = conjunto + operación) es \[(\Bbb Z_{18}/H,\overline+)=\left(\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\},\overline+\right)\text?\]

Algunas citas:

(...) Todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto de grupos \( \mathbb{Z}_k \); entonces cuando uno coge práctica en si es capaz de identificar el grupo con el correspondiente prodcuto de grupos de ese tipo le será más fácil manejarlo, porque los grupos de enteros módulo \( k \)  son bien conocidos.

Ciertamente cuando hablamos de isomorfismo, si queremos profundizar en él deberíamos detallar cual es. En este caso:

\( \mathbb{Z_6}\to A,\quad [n ]\to (-x)^n. \)

(...) El grupo/conjunto cociente está formado por clases de equivalencia (...)

(...) La segunda es que me parece raro que no se cambie la notación para el grupo cociente. A veces, cuando es muy claro el grupo de donde se toman los elementos, pues no hay problema, pero en general sí prefiero añadirle algo.

Todo me parece indicar que grupo cociente = conjunto cociente.

Saludos

[Fernando Revilla]

Para demostrar que es sobreyeciva: dado \( y\in G \), eligiendo \( x=y' \), obtenemos \( f(x)=(y')'=y. \) Como dice Luis, no basta dar el conjunto, tienes que definir la operación. Al menos decir que \( (x+H)+(y+H)=(x+y)+H \) y que a partir de ahí es inmediato construir la tabla de Cayley. No obstante, siempre es interesante intentar simplificar buscando un grupo isomorfo al dado y más manejable. En nuestro caso:

        \( \begin{gather*}
\overline0\overline+H=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}=\overline{0}\overline+H\\
\overline1\overline+H=\{\overline1,\overline7,\overline{13}\}=\overline{1}\overline+H\\
\overline2\overline+H=\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\overline{2}\overline+H\\
\overline3\overline+H=\{\overline3,\overline9,\overline{15}\}=\overline{3}\overline+H\\
\overline4\overline+H=\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}=\overline{4}\overline+H\\
\overline5\overline+H=\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\overline{5}\overline+H.
\end{gather*} \)

Observa que \( \Phi: \mathbb{Z}_6\to \mathbb{Z}_{18}/H \) dado por \( \Phi (\bar x)=\bar x\bar +H \) es isomorfismo, y por tanto decir que \( \mathbb{Z}_{18}/H \) es el grupo \( \mathbb{Z}_6 \) es la mejor simplificación que podemos dar.

P.D. Con más conocimientos de teoría de grupos, estas cuestiones son bastante mecánicas. Por ejemplo se sabe que todo grupo de orden \( 6 \) es o bien isomorfo a \( \mathbb{Z}_6 \) (si es abeliano) o bien isomorfo a \( S_3 \) (si no es abeliano).

[manooooh]

Hola Fernando, gracias por completar la parte a) y demostrar qué estructura tiene el grupo cociente en b).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Todo me parece indicar que grupo cociente = conjunto cociente.

Lo que te tiene que quedar claro es que un grupo es más que en conjunto; es un conjunto y una operación (con ciertas propiedades definidas en el). Entonces los elementos del grupo cociente son los elementos del conjunto cociente; pero además en la información de un grupo va incluida indicar la operación que tenemos definida en él.

Por ejemplo en un mismo conjunto \( \{0,1,2,3\} \) podemos definir las operaciones que toman a \( 0 \) como neutro, lo convierten en grupo abeliano y:

A) \( 1+1=2 \), \( 1+2=3 \), \( 1+3=0 \), \( 2+2=0 \), \( 2+3=1 \), \( 3+3=2 \)

ó

B) \( 1+1=0 \), \( 1+2=3 \), \( 1+3=2 \), \( 2+2=0 \), \( 2+3=1 \), \( 3+3=0 \)

y tendrás dos estructuras de grupo diferentes: la operación A define un grupo isomorfo a \( \mathbb{Z}_4 \) y la operación B uno isomorfo a \( \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \).

Aunque es muy interesante lo que planteás, creo que el enunciado no pide identificar, sino hallar. ¿Es algo aparte esto?

Más allá de lo que tu profesor espere exactamente que respondas a la pregunta que te hace (que puede ser subjetivo); interesa que entiendas que interés tiene "hallar", "conocer", "identificar" un grupo.

Se trata de tener la mayor información posible sobre el grupo que se supone que tendrá interés para usar ese grupo como modelo de aquello sobre lo que estemos trabajando.

Entonces la forma típica de tener esa información es detectar si ese grupo es isomorfo, es decir como grupo tiene las mismas propiedades, que un grupo conocido.

Y por eso cuando "hallamos" un grupo lo ideal es asociarlo a un grupo conocido.

Saludos.

[manooooh]

Hola

No entiendo cuál es la operación que le han puesto al conjunto cociente \( \Bbb Z_{18}/H \). ¿La respuesta final (sin isomorfismos de por medio) sería?:

\[(\Bbb Z_{18}/H,\overline+)=\left(\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\},\overline+\right)\]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo cuál es la operación que le han puesto al conjunto cociente \( \Bbb Z_{18}/H \). ¿La respuesta final (sin isomorfismos de por medio) sería?:

\[(\Bbb Z_{18}/H,\overline+)=\left(\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\},\overline+\right)\]

mmmm... veamos si entiendes o no cual es la operación. ¿Cuánto sería?:

\( \{\overline1,\overline7,\overline{13}\}\overline+,\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\ldots \)
\( \{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}\overline+\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\ldots \)

Saludos.

[manooooh]

Hola

mmmm... veamos si entiendes o no cual es la operación. ¿Cuánto sería?:

\( \{\overline1,\overline7,\overline{13}\}\overline+,\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\ldots \)
\( \{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}\overline+\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\ldots \)

Ambas arrojan \( \{\overline3,\overline9,\overline{15}\} \).

Saludos