Hola.
Hola!! Buenos días!! Tengo una duda con el problema siguiente:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar los números 1,2,4,5,6,8,9,10,12 y 15 en una fila de tal modo que cualquier número aparezca antes que su doble?
En un principio intenté resolverlo por partes partiendo de que si o si los números 1,2,4 y 8 deben estar en ese orden e intentando meter el resto en medio con números combinatorios. Pero se me ha hecho muy extraño y me gustaría saber otras formas de hacerlo porque dudo mucho que esté bien. Muchas gracias de antemano!!!
Sí, perdona, que anoche pensé que podría haber esa ambigüedad y no me atreví a decir nada, pero pensaba explicarte mi manera de pensarlo:
Yo esto lo suelo pensar así, con números que se colocan en unas plazas.
Tienes 10 posiciones para colocar los números de izquierda a derecha: - - - - - - - - - -
Si tuvieras dos posiciones nada más y una sola pareja, sólo podrías colocarlos de una manera, ya que uno siempre tiene que estar a la izquierda y otro a la derecha; es decir, serían la mitad de las permutaciones \( \dfrac{2!}{2}
\). Por las mismas, si tuvieras tres posiciones y una pareja, sería la mitad de las variaciones de 2 agrupadas de tres en tres, \( \dfrac{3!}{2}
\) (lo puedes hacer a mano buscándolas; en este caso quedaría una casilla vacía para un número suelto cualquiera).
EDITADOEn tu problema, hay algunas parejeas que comparten números y otras independientes, que son 5,10 y 6,12
Para 5,10 tienes \( (V_{10,2})/2=45
\); para la otra quedan dos lugares menos, ocho, (ya están colocados el 5 y el 10 en todas sus posiciones) entonces son \( (V_{8,2})/2=28
\)
...
Ahora quedan las formadas por 1,2,4,8, que son tres parejas, pero no son independientes
Si tomamos la pareja formada con los dos del centro, 2,4, quedan seis posiciones y tenemos : \( (V_{6,2})/2=15
\).
Cada una de éstas forman dos variaciones con los otros dos números, 1 y 8, ya que, el 1 quede siempre a la izquierda del 2 y el 4 a la izquierda del 8; las multiplica por 2.
\( 45\cdot28\cdot15\cdot2=37800
\).
Yo creo que así se ve bastante bien; si acaso, ponte un ejemplo con menos parejas, que tú puedas hacerlo colocando de verdad las cosas y contándolas por la cuenta de la vieja, así se todo mucho mejor.
Saludos.