[adhemir]

Buenos dias, tengo una duda sobre la aplicación del lema de Gronwall, agradeceria si alguien me da una ayuda.

\( \|u_{1}(t)\|^2+\|u_{2}(t)\|^2 \leq{Ch^{2}+ Ch^{-2}\displaystyle\int_{0}^{t}\|u_{1}(s)\|^2+\|u_{2}(s)\|^2 ds  } \)

donde \( 0<h<1 \) y \( C \) denota una constante cualquiera, entonces por Gronwall:

\( \|u_{1}(t)\|^2+\|u_{2}(t)\|^2 \leq{Ch^{2} e^{(t-s)h^{-2}C}}\leq{Ch^{2}e^{CT}} \)

no entendi la última desigualdad,
es cierto que:\( h^{-2}C \), es posible limitarlo por otra  constante mayor "arbitraria" digamos \( C \)  
sabiendo que \( h^{-2} \), varia (no es fijo), 

[Willix]

Buenas.

Tu punto inicial es \( t_{0} = 0 \) y \( h \) es constante (puede ser cualquier elemento del \( ]0,1[ \), pero está fijo). Partiendo de que se cumple la primera desigualdad que has puesto, entonces por el lema de Gronwall puedes asegurar que

\( f(t) \leq C h^{2} e^{C h^{-2} (t-\textcolor{red}{0})} \)

ahora, si prefieres compactar la expresión a

\( f(t) \leq C h^{2} e^{CT}, \ \ \text{donde } T = t h^{-2} \)

no hay ningún problema; pero es compactar, no reacotar.

es cierto que:h^{-2}C, es posible limitarlo por otra  constante mayor "arbitraria" digamos C   :¿eh?:

No es cierto. \( C \) es arbitraria y \( h^{-2} \) es un factor mayor que uno, por lo que C no acota superiormente a \( C h^{-2} \)

[adhemir]

Muy bien gracias, pero al final preciso se tiene que llegar a:
\( f(t)\leq{Ch^{2}} \), donde \( C \) es una constante cualquiera independiente de \( h \), pero veo que \( e^{t h^{-2}} \), va a quedar en funcion de \( h \),
a menos que pueda todo eso limitar por otra constante mayor e arbitraria e independiente de \( h \), sera que se puede hacer eso

[Willix]

Vamos a hacerlo bien: ¿qué es exactamente lo que tienes que hacer? Vamos a empezar por ahí para no dar vueltas, porque no estoy entendiendo del todo tu problema.

[adhemir]

Lo que exactamente se tiene que probar al final es que:
\( \|u_1(t)\|^2+\|u_2(t)\|^2 \leq{C h^{2}} \), donde \( C \), es una constante independiente de \( h \).

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que exactamente se tiene que probar al final es que:
\( \|u_1(t)\|^2+\|u_2(t)\|^2 \leq{C h^{2}} \), donde \( C \), es una constante independiente de \( h \).

Revisa si estás omitiendo algún dato adicional; tal como está \( h^{-2} \) tiende a infinito cuando \( h\to 0 \) y no puedes prentender acotarlo.

Saludos.

[adhemir]

Es el Teorema 3, del articulo, que adjunte.

[Luis Fuentes]

Hola

Es el Teorema 3, del articulo, que adjunte.

En el artículo aparece un término que has omitido:

\( \|u_{1}(t)\|^2+\|u_{2}(t)\|^2 \leq{Ch^{2}\color{red}\displaystyle\int_{0}^{t}(\|E\|^2+\|N\|^2)d\tau\color{black}+ Ch^{-2}\displaystyle\int_{0}^{t}\|u_{1}(s)\|^2+\|u_{2}(s)\|^2 ds  } \)

Hay que mirar con calma que significa la notación, pero supongo que esa es la clave.

Saludos.

[adhemir]

Esse termino que he omitido es absorvido por la constante \( C \), ya que por hipotesis
del Teorema \( C \) depende solo de \( E,N,T \), pero tiene que ser independiente de \( h \).