[alesan000]

saben cual es mi gran duda, es respecto a la proyeccion de el gradiente sobre un recta, cuyo resultado es la derivada direccional en ese punto de una cierta cuva la cual puede ser un campo escalar ¿o no?
bueno ese campo escalar al calcular el gradiente en ese punto es un vecto normal a la tangente en ese punto y esa tangente es la derivada direccional y al proyectar el vector gradiente en esa direccion es cero o no es asi? en vez de darme la derivada direccional.
por favor ejemplos de esto en tres diemnsiones muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ufff.. parece un trabalenguas. Podrías poner un ejemplo concreto de a que te refieres.

 En principio si tenemos una función:

\(  z=f(x,y) \)

 el gradiente de \( f \) nos da la dirección en que más rápidamente crece \( z \).

 La gráfica de \( z=f(x,y) \), es una superficie. Si la restringimos sobre la recta que determina el gradiente tenemos una curva; es la curva cuya pendiente es máxima en un entorno del punto donde trabajamos.

Saludos.

[alesan000]

Hola

 Ufff.. parece un trabalenguas. Podrías poner un ejemplo concreto de a que te refieres.

 En principio si tenemos una función:

\(  z=f(x,y) \)

 el gradiente de \( f \) nos da la dirección en que más rápidamente crece \( z \).

 La gráfica de \( z=f(x,y) \), es una superficie. Si la restringimos sobre la recta que determina el gradiente tenemos una curva; es la curva cuya pendiente es máxima en un entorno del punto donde trabajamos.

Saludos.

Y ESA PENDIENTE MAXIMA ES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL EN ESE PUNTO.

SI ES ASI COMO PUEDE SER SI EL GRADIENTE ESTA PERPENDICULAR A LA PENDIENTE LA CUAL ES LA DERIVADA Y AL PROYECTAR EL VECTOR GRADIENTE ME DA CERO, PORQUE COS 90º ES 0.

[Luis Fuentes]

Hola

Y ESA PENDIENTE MAXIMA ES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL EN ESE PUNTO.

¿La derivada direccional en que dirección? No llega con decir "derivada direccional" sin indicar el vector sobre el cual la calculamos. La pendiente máxima es la derivada direccional de la función en la dirección del gradiente.

SI ES ASI COMO PUEDE SER SI EL GRADIENTE ESTA PERPENDICULAR A LA PENDIENTE LA CUAL ES LA DERIVADA Y AL PROYECTAR EL VECTOR GRADIENTE ME DA CERO, PORQUE COS 90º ES 0.

mmmm... realmente no sé a que te refieres. A ver si es lo siguiente el vector gradiente es perpendicular a las curvas de nivel cuyas ecuación son:

\( f(x,y)=cte \)

La recta tangente a dicha curva en un punto \( (x_0,y_0) \) es:

\( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0,y_0)(y-y_0)=0 \)

Su vector normal es precisamente el gradiente y por tanto es perpendicular al vector tangente de la recta.

Saludos.

[alesan000]

Hola

Y ESA PENDIENTE MAXIMA ES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL EN ESE PUNTO.

¿La derivada direccional en que dirección? No llega con decir "derivada direccional" sin indicar el vector sobre el cual la calculamos. La pendiente máxima es la derivada direccional de la función en la dirección del gradiente.

SI ES ASI COMO PUEDE SER SI EL GRADIENTE ESTA PERPENDICULAR A LA PENDIENTE LA CUAL ES LA DERIVADA Y AL PROYECTAR EL VECTOR GRADIENTE ME DA CERO, PORQUE COS 90º ES 0.

mmmm... realmente no sé a que te refieres. A ver si es lo siguiente el vector gradiente es perpendicular a las curvas de nivel cuyas ecuación son:

\( f(x,y)=cte \)

La recta tangente a dicha curva en un punto \( (x_0,y_0) \) es:

\( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0,y_0)(y-y_0)=0 \)

Su vector normal es precisamente el gradiente y por tanto es perpendicular al vector tangente de la recta.

Saludos.

y si z=f(x,y) no es cte y para cierto puto de la curva la derivada direccional es tang a la curva en ese punto por ende el gradiente en ese es normal a la curva en ese punto y por ende a la pendiente de la recta tang en ese punto por lo tanto a la dervada direccional.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por favor intenta expresarte en más detalle. Llevamos varios mensajes y no acabo de ver a que te refieres; sería bueno que precisases cada cosa de la que hablas.

Dices:

y si z=f(x,y) no es cte y para cierto puto de la curva  la derivada direccional es tang a la curva en ese punto por ende el gradiente en ese es normal a la curva en ese punto y por ende a la pendiente de la recta tang en ese punto por lo tanto a la dervada direccional.

 ¿De qué curva?. En principio \( z=f(x,y) \) es la ecuación de una superficie. Nota que cuando hablé de \( f(x,y)=cte \) me refería a las curvas de nivel de esa superficie.

 El gradiente exactamente de que función; derivada direccional en que dirección.

 Sino te esfuerzas en detallar las cosas será imposible entenderse.

Saludos.

[alesan000]

Hola

 Por favor intenta expresarte en más detalle. Llevamos varios mensajes y no acabo de ver a que te refieres; sería bueno que precisases cada cosa de la que hablas.

Dices:

y si z=f(x,y) no es cte y para cierto puto de la curva  la derivada direccional es tang a la curva en ese punto por ende el gradiente en ese es normal a la curva en ese punto y por ende a la pendiente de la recta tang en ese punto por lo tanto a la dervada direccional.

 ¿De qué curva?. En principio \( z=f(x,y) \) es la ecuación de una superficie. Nota que cuando hablé de \( f(x,y)=cte \) me refería a las curvas de nivel de esa superficie.

 El gradiente exactamente de que función; derivada direccional en que dirección.

 Sino te esfuerzas en detallar las cosas será imposible entenderse.

Saludos.

AL CALCULAR LA DERIVADA DIRECCIONAL ME DICEN EN QUE DIRECCION?

ES LA DIRECCION DE LA PENDIENTE EN ESE PUNTO PARTICULAR DE ESA CURVA ES UNICA LA DIRECCION POR MAS QUE ME DIGAN QUE EXISTE INFINITAS DERIVADAS DIRECCIONALES, A MI ME PARECE QUE NO AL TOMAR UN PUNTO PARTICULAR PERTENECIENTE A ESA CURVA.
Y EN ESE PUNTO TOMAMOS Y UN VECTOR PERPENDICULAR A ESA PENDIENTE COINCIDE CON EL GRADIENTE Y SI ESTA LO PROYECTAMOS SOBRE ESA PENDIENTE ES CERO SU PROYECCION ¿ASI QUE MAXIMA DERIVADA ME HABLAN ?LA MISMA ES CERO, ES ASI.
HABLO TODO EN R3

[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que no me has entendido cuando digo que detalles las cosas.

Hablas todo el tiempo de una curva. ¿Qué curva?. Especifica el tipo de ecuación que la define. Y mejor aun, pon un ejemplo.

AL CALCULAR LA DERIVADA DIRECCIONAL ME DICEN EN QUE DIRECCION?

 Si, para hablar de derivada direccional debemos de especificar en que dirección la calculamos.

Y EN ESE PUNTO TOMAMOS Y UN VECTOR PERPENDICULAR A ESA PENDIENTE COINCIDE CON EL GRADIENTE Y SI ESTA LO PROYECTAMOS SOBRE ESA PENDIENTE ES CERO SU PROYECCION ¿ASI QUE MAXIMA DERIVADA ME HABLAN ?LA MISMA ES CERO, ES ASI.

 Bufff... esta frase es ininteligible. Intenta redactar mejor, con más calma. Sin prisas, y a poder ser en minúsculas, reservando las mayúsculas para aquellos casos en lo que las normas gramaticales lo exigen.

 Lo siento en el alma, pero si no te explicas mejor (quizá sea yo el obtuso) soy incapaz de entederte, de responderte con precisión.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Yo tampoco entiendo a qué se refiere exactamente alesan000. Tal vez esté relacionado con esto:

Para \( f:A\subset{\mathbb{R}^3}\rightarrow{\mathbb{R}} \) con \( A \) abierto, diferenciable en \( a\in{A} \) fijo, y \( v\in{\mathbb{R}^3} \) unitario y variable la derivada direccional de \( f \) en \( a \) según \( v \) viene dada por:

\( D_vf(a)=\left<{(\nabla}f)(a),v\right>= \left\|{(\nabla f)(a)}\right\|\cos ((\nabla f)(a),v) \)

Dado que \( (\nabla f)(a) \) es constante, el valor de \( D_vf(a) \) depende del coseno, siendo máximo cuando el ángulo es 0, es decir cuando \( (\nabla f)(a) \) y \( v \) tienen la misma dirección y sentido i.e. \( v=\lambda (\nabla f)(a)\;(\lambda >0)  \). Dado que \( v \) es unitario, necesariamente \( v=(\nabla f)(a)/ \left\|{(\nabla f)(a)}\right\| \).

Por otra parte, si el ángulo es \( \pi/2 \), es decir cuando \( (\nabla f)(a) \) y \( v \) son perpendiculares, \( Dvf(a)=0 \) y si el ángulo es \( \pi \) es decir,  \( v=-(\nabla f)(a)/ \left\|{(\nabla f)(a)}\right\| \) la derivada  \( D_vf(a) \) es mínima.

Saludos.

[alesan000]

Yo tampoco entiendo a qué se refiere exactamente alesan000. Tal vez esté relacionado con esto:

Para \( f:A\subset{\mathbb{R}^3}\rightarrow{\mathbb{R}} \) con \( A \) abierto, diferenciable en \( a\in{A} \) fijo, y \( v\in{\mathbb{R}^3} \) unitario y variable la derivada direccional de \( f \) en \( a \) según \( v \) viene dada por:

\( D_vf(a)=\left<{(\nabla}f)(a),v\right>= \left\|{(\nabla f)(a)}\right\|\cos ((\nabla f)(a),v) \)

Dado que \( (\nabla f)(a) \) es constante, el valor de \( D_vf(a) \) depende del coseno, siendo máximo cuando el ángulo es 0, es decir cuando \( (\nabla f)(a) \) y \( v \) tienen la misma dirección y sentido i.e. \( v=\lambda (\nabla f)(a)\;(\lambda >0)  \). Dado que \( v \) es unitario, necesariamente \( v=(\nabla f)(a)/ \left\|{(\nabla f)(a)}\right\| \).

Por otra parte, si el ángulo es \( \pi/2 \), es decir cuando \( (\nabla f)(a) \) y \( v \) son perpendiculares, \( Dvf(a)=0 \) y si el ángulo es \( \pi \) es decir,  \( v=-(\nabla f)(a)/ \left\|{(\nabla f)(a)}\right\| \) la derivada  \( D_vf(a) \) es mínima.

Saludos.

SABEN LO QUE PASA DISCULPE QUE SEA MEDIO VASCO (JEJEJE CON CARIÑO LO DIGO); PERO ME HAN DICHO QUE EN LOS CAMPOS ESCALARES SEA CAMPO MAGNETICOS, ELECTRICOS ETC ETCC ETC SE TOMAN VECTORES LOS CUALES SON PERPENDICULARES A ESE PUNTO EN ESA CURVA Y ESOS VECTORES SON GRADIENTES EN ESE PUNTO, Y SI YO TOMO O QUIERO LA DERIVADA DIRECCIONAL EN ESE PUNTO EXISTE INFINITAS DE ELLAS LAS CUALES PASAN POR ESE PUNTO Y EN SI SE PODRIA TOMAR UN PLANO TANG AL CAMPO O CURVA EN ESE PUNTO Y RESULTA QUE PARA ESE PUNTO EL GRADIENTE ES PERPENDICULAR Y AL QUERER HALLAR LA DERIVADA DIRECCIONAL PARA ESE PUNTO EN UNA DIRECCION RESULTA QUE EL GRADIENTE ES PERPENDICULAR Y AL PROYECTARLO ME DARA CERO Y AHI ESTA MI GRAN CONFUSION.
MUCHAS GRACIAS.