[follonic]

Nos dan un curva en cartesianas:

 \( \displaystyle y=\frac{-x^2}{72}+x \)

Los autores(Larson/Edwards, cap.10.2) la parametrizan así:

\( x=24t\sqrt{2} \)

\( y=-16t^2+24t\sqrt{2} \)

Soy consciente que puede parametrizarse de diversas maneras. Esta, en concreto, no sé como obtenerla. Pero, ¿a qué tal parametrización cabiendo la más simple?; es decir:

\( x=t \)
\( \displaystyle y=\frac{-t^2}{72}+t \).

La gráfica es la misma para ambas parametrizaciones.

Saludos

[DaniM]

\( x=24t\sqrt{2} \)

\( y=-16t^2+24t\sqrt{2} \)

Se me ocurre que eligen \( x=24t\sqrt{2} \) para asegurarse de que el primer coeficiente de \( y \) les queda entero, al dividir \( - \displaystyle\frac{(24\sqrt{2})^2}{72} \), pero también les hubiera salido un número entero (y más pequeño) si hubieran elegido \( x=18t\sqrt{2} \) o \( x=12t\sqrt{2} \), así que no estoy seguro de por qué han elegido ese valor en concreto, pero bueno, a falta de más contexto, cualquiera hubiera servido igual.

[Luis Fuentes]

Hola

Nos dan un curva en cartesianas:

 \( \displaystyle y=\frac{-x^2}{72}+x \)

Los autores(Larson/Edwards, cap.10.2) la parametrizan así:

\( x=24t\sqrt{2} \)

\( y=-16t^2+24t\sqrt{2} \)

Soy consciente que puede parametrizarse de diversas maneras. Esta, en concreto, no sé como obtenerla. Pero, ¿a qué tal parametrización cabiendo la más simple?; es decir:

\( x=t \)
\( \displaystyle y=\frac{-t^2}{72}+t \).

La gráfica es la misma para ambas parametrizaciones.

Si lees el texto completo del ejemplo, verás que se refiere a la trayectoria de un objeto que es lanzado a una velocidad inicial de \( 48 \) pies por segundo.



La parametrización está elegida para que el parámetro \( t \) represente el tiempo, y por tanto para que la velocidad inicial sea la indicada ha de cumplirse que:

\( \|(x'(0),y'(0))\|=\sqrt{x'(0)^2+y'(0)}=48 \)

Saludos.

[follonic]

La parametrización está elegida para que el parámetro \( t \) represente el tiempo, y por tanto para que la velocidad inicial sea la indicada ha de cumplirse que:

\( \|(x'(0),y'(0))\|=\sqrt{x'(0)^2+y'(0)}=48 \)

Saludos.

En efecto, el resultado es 48; pero, ¿cómo obtener la parametrización en cuestión?. Derivando la ecuación de la trayectoria dada \( \displaystyle\frac{-x^2}{72}+x \) para tener la de la velocidad(resultado:\( \displaystyle1-\frac{x}{36} \)) y resolviendo para \( 48 \)(\( \displaystyle1-\frac{x}{36}=48 \)) me da \( -1692 \); con lo que me quedo igual.

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En efecto, el resultado es 48; pero, ¿cómo obtener la parametrización en cuestión?. Derivando la ecuación de la trayectoria dada \( \displaystyle\frac{-x^2}{72}+x \) para tener la de la velocidad(resultado:\( \displaystyle1-\frac{x}{36} \)) y resolviendo para \( 48 \)(\( \displaystyle1-\frac{x}{36}=48 \)) me da \( -1692 \); con lo que me quedo igual.

No hay un argumento exclusivamente matemático para justificar que la parametrización dada es la correcta. Podrían darse parametrizaciones muy estrambóticas de la curva \( y=-\dfrac{x^2}{72}+x \), donde la velocidad inicial, entendida como la norma del vector tangente en el origen, fuese la indicada.

El argumento es físico. Tiene que ver con que el tiro parábolico es un movimiento uniformemente acelerado. Como se hace con un ángulo de 45 grados el vector velocidad inicial es:

\( \vec v_0=48(cos(45),sin(45)) \)

La aceleración:

\( \vec a=(0,-g) \)

y a partir de ahí puede deducirse que el vector de posición en un instante \( t \) es:

\( (x(t),y(t))=t\vec v_0+\dfrac{t^2}{2}\vec a_0 \)

En el ejercicio manea una gravedad aproximada de \( 32 \) pies por segundo al cuadrado.

Saludos.

[follonic]

\( 48\cdot{cos(\displaystyle\frac{\pi}{4})}= 24\sqrt{2} \) \( \Rightarrow{x(t)= 24t\sqrt{2}} \)
\( tv_0+\displaystyle\frac{t^2}{2}g \) con \( g= 32 \frac{feet}{s} \) \( \Rightarrow{y(t)= 16t^2+24t\sqrt{2}} \)

Ahora sí me cuadra; tampoco habia caido en el dato de que el lanzamiento era a 45º, pero aún así, no hubiera dado con esta parametrización.

Gracias y saludos